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习题一
1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明.
答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数.
答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. （4）2x?3?5 答：不是命题.
（5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学.
答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题.
（9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题.
（10）圆的面积等于半径的平方乘以?. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪.
答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明.
（2）p:错误！未找到引用源。是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学.
（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数.
答：否定式：5是无理数. p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.
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（2）25不是无理数.
答：否定式：25是有理数. p：25不是无理数. q：25是有理数. 其否定式q的真值为1.
（3）2.5是自然数.
答：否定式：2.5不是自然数. p：2.5是自然数. q：2.5不是自然数. 其否定式q的真值为1.
（4）ln1是整数.
答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数. 其否定式q的真值为1.
4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数
答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为p?q，其真值为1.
（2）不但?是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.
答：p：?是无理数，q：自然对数的底e是无理数，符号化为p?q，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.
答：p：2是最小的素数，q：2是最小的自然数，符号化为p??q，其真值为1. （4）3是偶素数.
答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为p?q，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.
答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为?p??q，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.
（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.
答: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数, t:5是偶数 (1) 符号化: p?q，其真值为1. (2) 符号化：p?r，其真值为1. (3) 符号化：r?t，其真值为0. (4) 符号化：?q??s，其真值为1.
(5) 符号化：?r??s，其真值为0. 6.将下列命题符号化.
（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.
答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p?q. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为: (?p?q)?(p??q). 7.设p：王冬生于1971年，q：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化
答:列出两种符号化的真值表：
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p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式. 8.将下列命题符号化,并指出真值.
（1）只要错误！未找到引用源。,就有错误！未找到引用源。； （2）如果错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。； （3）只有错误！未找到引用源。,才有错误！未找到引用源。； （4）除非错误！未找到引用源。,才有错误！未找到引用源。； （5）除非错误！未找到引用源。,否则错误！未找到引用源。； （6）错误！未找到引用源。仅当错误！未找到引用源。.
答:设p:错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。:错误！未找到引用源。;设q:错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。:错误！未找到引用源。.
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
9.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值： （1）错误！未找到引用源。； （2）错误！未找到引用源。；； （3）错误！未找到引用源。； （4）错误！未找到引用源。； （5）错误！未找到引用源。； （6）错误！未找到引用源。； （7）错误！未找到引用源。.
答:根据题意,p为假命题,q为真命题.
（1） （2） （3） 自然语言 只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球 只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 真值 1 0 1 1 0 0 0 1 符号化 真值 1 文章来源：http://www.7zhao.net
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（4） （5） （6） （7） 只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多 只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球 只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多 只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球 1 1 0 1
10．设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值： （1）错误！未找到引用源。； （2）错误！未找到引用源。； （3）错误！未找到引用源。； （4）错误！未找到引用源。.
答:根据题意,p为真命题,q为假命题. （1） （2） （3） （4） 自然语言 9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 真值 0 1 1 0 11．将下列命题符号化,并给出各命题的真值： （1）若2+2=4,则地球是静止不动的； （2）若2+2=4,则地球是运动不止的；
（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；
（4）若地球上没有水,则错误！未找到引用源。是无理数. 答:
（1） （2） （3） （4） 命题1 p:2+2=4 p:2+2=4 p:地球上有树木 p:地球上有树木 命题2 q:地球是静止不动的 q:地球是静止不动的 q:人类能生存 q:人类能生存
12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值： （1）2+2=4当且仅当3+3=6；
（2）2+2=4的充要条件是3+3错误！未找到引用源。6； （3）2+2错误！未找到引用源。4与3+3=6互为充要条件；
（4）若2+2错误！未找到引用源。4,则3+3错误！未找到引用源。6,反之亦然. 答:设p:2+2=4,q:3+3=6.
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符号化 真值 0 1 1 1 符号化 真值 1 0 去找 QQ头像 http://www.7zhao.net
(3) (4) 13.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值： （1）若今天是星期一,则明天是星期二； （2）只有今天是星期一,明天才是星期二； （3）今天是星期一当且仅当明天是星期二； （4）若今天是星期一,则明天是星期三.
答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.
(1) (2) (3) (4) 14.将下列命题符号化：
（1）刘晓月跑得快,跳得高； （2）老王是山东人或者河北人；
（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服； （4）王欢与李乐组成一个小组； （5）李欣与李末是兄弟； （6）王强与刘威都学过法语； （7）他一面吃饭,一面听音乐；
（8）如果天下大雨,他就乘班车上班； （9）只有天下大雨,他才乘班车上班；
（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班； （11）下雪路滑,他迟到了；
（12）2与4都是素数,这是不对的； （13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的. 答: (1) (2) (3) (4) 命题1 p:刘晓月跑得快 p:老王是山东人 p:天气冷 p:王欢与李乐组成命题2 q:刘晓月跳得高 q:老王是河北人 q:我穿羽绒服 - 命题3 - - - - 必然为1 符号化 真值讨论 0 1 不会出现前句为真,后句为假的情况 不会出现前句为真,后句为假的情况 若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为1 符号化 p:王欢与李乐组成一个文章来源：http://www.7zhao.net
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一个小组 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) p:李辛与李末是兄弟 p:王强学过法语 p:他吃饭 p:天下大雨 p:天下大雨 p:天下大雨 p:下雪 p:2是素数 p:2是素数 - q:刘威学过法语 q:他听音乐 q:他乘车上班 q:他乘车上班 q:他乘车上班 q:路滑 q:4是素数 q:4是素数 - - - - - - r:他迟到了 - - 小组 p:李辛与李末是兄弟
15.设p：2+3=5.
q：大熊猫产在中国. r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值： （1）错误！未找到引用源。 （2）错误！未找到引用源。 （3）错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。
解：p真值为1，q真值为1，r真值为0. （1）0，（2）0，（3）0，（4）1
16.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值： （1）错误！未找到引用源。 （2）错误！未找到引用源。 （3）错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。 解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）1 17.判断下面一段论述是否为真：“错误！未找到引用源。是无理数.并且,如果3是无理数,则错误！未找到引用源。也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”
解：p:错误！未找到引用源。是无理数q: 3是无理数r:错误！未找到引用源。是无理数s: 6能被2整除t：6能被4整除
符号化为:错误！未找到引用源。 ，该式为重言式，所以论述为真。 18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”
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解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
错误！未找到引用源。 真值为1.错误！未找到引用源。真值为0.可得，p真值为1，q真值为0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型: （1）错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。p错误！未找到引用源。 （3）错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。 （5）错误！未找到引用源。 （6）错误！未找到引用源。 （7）错误！未找到引用源。. 解： （1） p 0 0 0 0 1 1 1 1 此式为重言式 （2） p 0 0 1 1 此式为可满足式
（3） q 0 0 1 1 此式为矛盾式
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q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q 0 1 0 1 （p错误！未找到引用源。 1 0 1 1 r 0 1 0 1 0 0 0 0 去找 QQ头像 http://www.7zhao.net
（4） p 0 0 1 1 此式为重言式
（5） p 0 0 0 0 1 1 1 1 此式为可满足式
（6） p 0 0 0 0 1 1 1 1 此式为重言式
（7） p 0 0 0 q 0 0 0 r 0 0 1 s 0 1 0 1 0 0 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 q 0 1 0 1 1 1 1 1 文章来源：http://www.7zhao.net
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0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值： （1）错误！未找到引用源。 （2）错误！未找到引用源。 （3）错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。 解： p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 由真值表得：（1）的成真赋值是01，10,11（2）的成真赋值是00，10,11 （3）的成真赋值是00，01,10 （4）的成真赋值是01，10,11
21.求下列各公式的成假赋值： （1）错误！未找到引用源。 （2）错误！未找到引用源。 （3）错误！未找到引用源。 解： p 0 0 0 0 1 1 q 0 0 1 1 0 0 r 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 文章来源：http://www.7zhao.net
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1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 由真值表得：（1）的成假赋值是011 （2）的成假赋值是010,110 （3）的成假赋值是100,101
22.已知公式错误！未找到引用源。是矛盾式，求公式错误！未找到引用源。成真和成假赋值.
解：∵ 错误！未找到引用源。是矛盾式 ∴错误！未找到引用源。也是矛盾式。 由此可得：该式无成真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,111
23.已知公式错误！未找到引用源。是重言式,求公式错误！未找到引用源。的成真和成假赋值.
解：∵错误！未找到引用源。是重言式，∴错误！未找到引用源。也是重言式。 由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,111
24.已知错误！未找到引用源。是重言式，试判断公式错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。的类型.
解：∵错误！未找到引用源。是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11，∴错误！未找到引用源。都是重言式。
25.已知错误！未找到引用源。是矛盾式，试判断公式错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。的类型.
解：∵错误！未找到引用源。是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有00，∴错误！未找到引用源。都是重言式。
26.已知错误！未找到引用源。是重言式，错误！未找到引用源。是矛盾式，试判断错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。的类型. 解：错误！未找到引用源。是矛盾式。
错误！未找到引用源。是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,?,pn的公式,证明:错误！未找到引用源。是重言式当且仅当A和B都是重言式. 解： A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 0 0 0 1 由真值表可得，当且仅当A和B都是重言式时，错误！未找到引用源。是重言式。
28. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,?,pn的公式,已知错误！未找到引用源。是矛盾式,能得出A和B都是矛盾式的结论吗?为什么? 解：
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A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 0 0 0 1 同样由真值表可得，错误！未找到引用源。的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。
29. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,?,pn的公式,证明:错误！未找到引用源。是矛盾式当且仅当A和B都是矛盾式. 解： A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 0 1 1 1 由真值表可得，当且仅当A和B都是矛盾式时，错误！未找到引用源。是矛盾式。
30. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,?,pn的公式,已知错误！未找到引用源。是重言式,能得出A和B都是重言式的结论吗? 解： A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 0 1 1 1 由真值表可得错误！未找到引用源。的成真赋值有01,10，11.所以无法得到A和B都是重言式。
习 题 二
1.设公式A?p?q,B?p??q，用真值表验证公式A和B适合德摩根律： ?(A?B)??A??B
p q 0 0 0 1 1 0 1 1 A 1 1 0 1 B 0 0 1 0 ?(A?B) 1 0 0 0 ?A??B 1 0 0 0 2.公式A和B同题（1），用真值表验证公式A和B适合蕴涵等值式.
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A?B??A?B
p q B A 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 A?B 0 0 1 0 ?A?B 0 0 1 0 3．用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出
成真赋值.
（1）?(p?q?q) 答：原式=?(?(p?q)?q) =?(?p??q?q) = 0 是矛盾式.
4.用等值演算法证明下面等值式.
（p?q）?（p??q）（1）p? （q??q）答：右式=p?=p?1=p
（2）((p?q)?(p?r))?(p?(q?r))
答：右式=?p?(q?r)=(?p?q)?(?p?r)=(p?q)?(p?r))=左式 （3）?(p?q)?(p?q)??(p?q) 答：左式=?(?p?q)??(p??q)
=(p?(?p?q))?(?q?(?p?q)) =(p?q)??(p?q)
（4）(p??q)?(?p?q)?(p?q)??(p?q)
答：左式=(p?(?p?q))?(?q?(?p?q)) =(p?q)??(p?q)
5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （1）(?p?q)?(?q?p) 答：
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(?p?q)?(?q?p)?(p?q)?(?q?p)??(p?q)?(?q?p)?(?p??q)?(?q?(p??p))?(p?(q??q) ?(p?q)?(p??p)?(?p??q)?m0?m2?m3成真赋值为00,10,11. （2）?(p?q)?q?r
答：?(p?q)?q?r??(?p?q)?q?r?p??q?q??0 所以为矛盾式。
（3）(p?(q?r))?(p?q?r) 答
(p?(q?r))?(p?q?r)??(p?(q?r))?(p?q?r)?(?p??(q?r))?(p?q?r)?(?p?(?q??r))?(p?q?r)?(?p??q)?(?p??r)?(p?q?r)?(?p??q?(r??r)?(?p?(q??q)??r)?(p?(q??q)?(r??r))?((p??p)?q?(r??r))?((p??p)?(q??q)?r)?(?p??q?r)?(?p??q??r)?(?p?q??r)?(p?q?r)?(p??q?r)?(p?q??r)?(p??q??r)?(?p?q?r)?m0?m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7所以是重言式，真值为000,001,010,011,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （1）?(q??p)??p
答：?(q??p)??p??(?q??p)??p?q?p??p?0，是矛盾式，所有赋值均为成真赋值。
（2）(p?q)?(?p?r)
答：(p?q)?(?p?r)?(p??p?r)?(q??p?r)?(?p?q?r)?M4，成假赋值为100.
（3）(p?(p?q))?r
答：(p?(p?q))?r?(?p?(p?q))?r?(?p?p?q?r?1，所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。
7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）(p?q)?r
答：(p?q)?r?(p?q?(r??r))?((p??p)?(q??q)?r)
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?(p?q?(r??r))?((p??p)?(q??q)?r)?(p?q?r)?(p?q??r)?(p??q?r)?(?p?q?r)?(?p??q?r) ?m1?m3?m5?m6?m7?M0?M2?M4（2）(p?q)?(q?r) 答：
(p?q)?(q?r)?(?p?q)?(?q?r)?(?p??q)?(?p?r)?(q??q)?(q?r)?(?p??q?(r??r))?(?p?(q??q)?r)?((p??p)?q?r)?(?p??q?r)?(?p??q??r)?(?p?q?r)?(p?q?r)?m0?m1?m3?m7?M2?M4?M5?M68.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式： （1）(p?q)?q
答：(p?q)?q??(p?q)?q??p??q?q?1?m0?m1?m2?m3 为重言式。
（2）(p?q)?r
答：(p?q)?r??((p?q)?(?p??q))?r?(?(p?q)??(?p??q))?r
?((?p??q)?(p?q))?r?(?p??q?r)?(p?q?r)?M0?M6 ?m1?m2?m3?m4?m5?m7（3）?(r?p)?p?q
答：?(r?p)?p?q?r??p?p?q
?M0?M1?M2?M3?M4?M5?M6?M7 ?0
因此为矛盾式.
9.用真值表求下面的公式的主析取范式. （1）(p?q)?(?p?r) 答：公式的真值表如下： q p r ?p p?q ?p?r (p?q)?(?p?r) 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 文章来源：http://www.7zhao.net
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0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 其成真赋值为001,010,011,100,101,110,111，所以其主析取范式为
m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7
（2）(p?q)?(p??q) 答：公式的真值表如下： ?q q p 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 p?q 1 1 0 1 p??q 0 1 1 0 (p?q)?(p??q) 0 1 1 0 (p?q)?(p??q)?(p??q)?((?p??q)?(p?q))
?(?p?q)?(p??q) 故其成真赋值为001，010. 所以其主析取范式为m1?m2. 10.用真值表求下面公式的主合取范式. （1）(p?q)?r
答：(p?q)?r?(p?r)?(q?r) ?M0?M2?M4 （2）(p?q)?(q?r)
答：(p?q)?(q?r)?(?p?q)?(?q?r) ?M2?M4?M5?M 6 11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式. （1）(p?q)?r （2）p?(p?q?r) （3）?(q??p)??p
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p q r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 (p?q)?r 0 0 0 1 0 1 0 1 p?(p?q?r) ?(q??p)??p 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 答：（1）由真值表可得成真赋值为011,101,111，故主析取范式为m3?m5?m7，主合取范式为M0?M1?M2?M4?M6
（2）由真值表可得无成假赋值，故主析取范式为
m0?m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7，主合取范式为1.
（3）由真值表可得无成真赋值，故主析取范式为0，主合取范式为
M0?M1?M2?M3.
12.已知公式A含3个命题变项p,q,r，并且它的成真赋值为000，011，110，求A的主合取范式和主析取范式.
答：由题意得，A的主主合取范式为M1?M2?M4?M5?M7，主析取范式
m0?m3?m6.
13. 已知公式A含3个命题变项p,q,r，并且它的成真赋值为000，011，110，求A的主合取范式和主析取范式.
答：由题意得，A的主主合取范式为M2?M3?M6?M7，主析取范式
m0?m1?m5?m7.
14.已知公式A含n个命题变相p1,p2,......,pn，并且无成假赋值，求A的主合取范式. 答：A的主合取范式为1..
15.用主析取范式判断下列公式是否等值： （1）(p?q)?r与q?(p?r) 答：(p?q)?r?(p??q)?r
?m1?m3?m4?m5?m7
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q?(p?r)??p??q?r
?m0?m1?m2?m3?m4?m5? m所以上述公式不等值. （2）?(p?q)与?(p?q) 答：?(p?q)??p??q ?m0?m1?m2 ?(p?q)??p??q ?m0
16.用主合取范式判断下列公式是否等值. （1）p?(q?r)与?(p?q)?r 答：p?(q?r)?M6 ?(p?q)?r=M6
（2）p?(q?r)与(p?q)?r 答：p?(q?r)?M6
(p?q)?r=M 0?M2?M6 17.将下列公式化成与之等值且仅含??,?,??中联结词的公式： （1）?(p?(q?(q?r)))
答：?(p?(q?(q?r)))??(?p?(q?(q?r))) ?p??(?(q?r))
?p??((?q?(q?r))?(q??(q?r))) （2）(p?q)??r
答：(p?q)??r，原式已满足题目要求. （3）p?(q?r)
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答：p?(q?r)?(p?(q?r))?((?r)?p)
?(?p?((?q?r)?(q??r)))?(?((?q?r)?(q??r))?p) 18.将下列公式化成与之等值且仅含{?,?}中联结词的公式： （1）p??q??r
答：此公式已经符合题目要求. （2）(p?r)?q
答：(p?r)?q?((p?r)?(r?p))?q ?((?p?r)?(?r?p))?q ?(?(p??r)??(r??p))?q （3）(p?(q?r))?q
答：(p?(q?r))?q?(?p?(q?r))?p ??(p??(q?r))?p ??((p??(q?r))??p)
19.将下列公式化成与之等值且仅含??,??中联结词的公式. （1）(?p??q)?r
答：(?p??q)?r??(?(?p??q)??r) （2）(p?(q??p))?q?r
答：(p?(q??p))?q?r??(?(?p??(?q?p))??q??r)
（3）p?q??r
答：p?q??r??(?p??q?r)
20．将下列公式化成与之等值且仅含{?，?}中联结词的公式： （1）(p?q)?r（2）(p??q)?r（3）(p?q)?r
答：(p?q)?r??(?p??q)?r??(p??q)?r?(p??q)?r (2)(p??q)?r
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答：(p??q)?r??(?(p??q)??r)??((p??q)??r) (3)(p?q)?r
答：(p?q)?r?(?(?p??q)?r)?(r??(?p??q))
??(?(?(?p??q)?r)??(r??(?p??q))) ??((?(p??q)?r)??(r??(p??q)))
21．证明：
（1）(p?q)?(q?p)，(p?q)?(q?p).
（2）(p?(q?r))?((p?q)?r)，(p?(q?r))?((p?q)?r). 证明：(1)p?q??(p?q)??(q?p)?q?p；
p?q??(p?q)??(q?p)?q?p
(2)令p?0,q?0,r?1则
p?(q?r)?1,(p?q)?r?0，p?(q?r)?1,(p?q)?r?0.，可知(p?(q?r))?((p?q)?r)，(p?(q?r))?((p?q)?r).
22.从表2.6中，找出与下列公式等值的真值函数： （1）p?q
（2）p?q
（3）(p??q)?(?p?q) （4）?(p?q)
(2)(2)(2)(2)答：(1)F;(2)F;(3)F;(4)F14862
23．设A、B、C为任意的命题公式，证明： （1）等值关系有自反性：A?A
（2）等值关系有对称性：若A?B,则B?A
（3）等值关系有传递性：若A?B且B?C，则A?C
答：(1)A?A?(A?A)?(A?A)?A?A??A?A?1
(2)B?A?(?B?A)?(?A?B)?(?A?B)?(?B?A)?A?B (3)
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若A?B且B?C?(A?B)?(B?A)?(B?C)?(C?B)?(A?B)?(B?C)?(C?B)?(B?A)?(A?C)?(C?A)
?A?C即A?C24．设A、B为任意的命题公式，证明：?A??B当且仅当A?B 答：?A??B?(A??B)?(B??A)?(A?B)?(B?A)?A?B. 因此?A??B当且仅当A?B。
25．设A、B、C为任意的命题公式，（1）若A?C?B?C，举例说明A?B不一定成立。（2）若A?C?B?C，举例说明A?B不一定成立。由（1）、（2）可知，联结词
?与?不满足消去率。
答：(1)设A?p?1,B?q?0,C?r?1，则A?C?1?B?C?1
，但
A?1,B?0，二者不等价。
（2）设A?p?1,B?q?0,C?r?0，则A?C?0?B?C?0，但
A?1,B?0，二者不等价。
26．在上题（25）中，若已知A?C?B?C，在什么条件下，A?B一定成立？又若已知A?C?B?C，在什么条件下，A?B一定成立？ 解：若C?0;则A?C?B?C，A?B一定成立。 若C?1；则A?C?B?C，A?B一定成立。
27．某电路中有一个灯泡和三个开关A、B、C。已知在且仅在下述四种情况下灯亮： （1）C的扳键向上，A、B的扳键向下。（2）A的扳键向上，B、C的扳键向下。（3）B、C的扳键向上，A的扳键向下。（4）A、B的扳键向上，C的扳键向下。 设F为1表示灯亮，p、q、r分别表示A、B、C的扳键向上。 （a）求F的主析取范式。
（b）在联结词完备集{?，?}上构造F。 （c）在联结词完备集{?，?，?}上构造F。 答：（a）由题意知，灯亮的情况如下：
F?(p??q??r)?(?p??q?r)?(?p?q?r)?(p?q??r) ?m1?m3?m4?m6
（b）F?(p??q??r)?(?p??q?r)?(?p?q?r)?(p?q??r)
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1?x(F(x)?G(x)) 前提引入 (4)○
2F(y)?G(y) ○1UI ○
3?x(?G(x)??R(x)) 前提引入 ○
4?G(y)??R(y) ○3UI ○
5?xR(x) 前提引入 ○
6R(y) ○5UI ○
7?G(y) ○4○6析取三段论 ○
8F(y) ○2○7析取三段论 ○
9?xF(x) ○8UG ○
16.找一个解释I,在I下，使得?xF(x)??xG(x)为真，而使得?x(F(x)?G(x))为假，从而说明?xF(x)??xG(x)??x(F(x)?G(x))。
答：取个体域为自然数集合N，F(x):x为奇数，G(x):x为偶数，则在以上解释下，
?xF(x)??xG(x)为真而?x(F(x)?G(x))为假。
17.给定推理如下：前提：
?x(F(x)??G(x)),?x(H(x)?G(x))；结论：
?x(H(x)??F(x))。有些人证明如下：
1?xH(x) 附加前提引入 ○
2H(y) ○1UI ○
3?x(H(x)?G(x)) 前提引入 ○
4H(y)?G(y) ○3UI ○
5G(y) ○2○5假言推理 ○
6?x(F(x)??G(x)) 前提引入 ○
7F(y)??G(y) ○6UI ○
8?F(y) ○5○7拒取式 ○
9?x?F(x) ○8UG ○
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并且说由附加前提证明法可知，推理正确，请指出以上证明的错误。 答：由第16题可知，本题不能用附加前提证明法。
18.给出上题的正确推理证明。
1?x(F(x)??G(x)) 前提引入 证明：○
2?x(H(x)?G(x)) 前提引入 ○
3F(y)??G(y) ○1UI ○
○
4H(y)?G(y) ○
5G(y)??F(y) ○
6H(y)??F(y) ○
7?x(H(x)??F(x)?? 19在自然推理系统F中，构造下面的推理证明; 前提：?xF(x)??xG(x) 结论：?x(F(x)?G(x)) 证明：1 ?xF(x)??xG(x)
2 F(c)??yG(y)
3 ?x(F(x)?G(x))
20 在自然推理系统F中，构造下面的推理证明; (1)前提：?x(F(x)?G(x)) 结论：?xF(x)??xG(x) 证明：1 ?x(F(x)?G(x)) 2 F(x)?G(x) 3 ?xF(x) 附加前提
4 ?xG(x)
（2）前提：?x(F(x)?G(x))
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○2UI ○3置换 ○4○5假言三段论 ○
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结论：??xF(x)??xG(x) 证明：1 ?x(F(x)?G(x)) 2 F(x)?G(x) 3 ??xF(x) 附加前提 4 ?x?F(x)
5 ?F(c) 6 G(c) 7 ?xG(x)
21在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：
没有白色的乌鸦，北京鸭都是白色的，因此北京鸭不是乌鸦。 答：设F(x)：x是白色的
G(x)：x是乌鸦 H(x)：x是北京鸭
前提：?x(G(x)??F(x)) ?x(H(x)?F(x ))结论：?x(H(x)??G(x)) 证明：1 ?x(G(x)??F(x)) 2 G(x)??F(x)
3 F(x)??G(x) 4 ?x(H(x)?F(x)) 5 H(x)?F(x) 6 H(x)??G(x) 7 ?x(H(x)??G(x))
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22在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：
(1)偶数都能被2整除。6是偶数，所以6能被2整除。 答：设F(x)：x是偶数
G(x)：x能被2整除
前提：?x(F(x)?G(x)) F(6) 结论：G(6)
证明：1 ?x(F(x)?G(x))
2 F(6)?G(6) 3 F(6) 4 G(6)
（2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。 答：设F(x)：x是大学生
G(x)：x是勤奋的
C：王晓山
前提：?x(F(x)?G(x)) ?G(c) 结论：?F(c)
证明：1 ?x(F(x)?G(x))
2 F(c)?G(c) 3 ?G(c)??F(c) 4 ?G(c) 5 ?F(c)
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23 在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：
（1）每个有理数都是实数。有的有理数是整数。因此有的实数是整数。 答：设F(x)：x是有理数
G(x)：x是实数
H(x)：x是整数
前提：?x(F(x)?G(x))
?x(F(x)?H(x))
结论：?x(G(x)?H(x)) 证明：1 ?x(F(x)?H(x))
2 F(c)?H(c) 3 ?x(F(x)?G(x)) 4 F(c)?G(c) 5 G(c) 6 G(c)?H(c) 7 ?x(G(x)?H(x))
（2）有理数，无理数都是实数。虚数不是实数，因此虚数既不是有理数也不是无理数。 答：设F(x)：x是有理数
G(x)：x是实数 H(x)：x是无理数数 P(x)：x是虚数
前提： ?x(F(x)?G(x))
?x(H(x)?G(x)) ?x(P(x)??G(x))
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