(C)P{X?Y?0}?12
(D)P{X?Y?1}?12
三、(本题满分6分)
设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求
dzdx.
四、(本题满分5分)
求I??xL(esiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的弧.
五、(本题满分6分)
设函数y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1.过曲线y?y(x)上任意一
点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y?y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2S1?S2恒为1,求曲线y?y(x)的方程.
六、(本题满分7分) 论证:当x?0时,(x2?1)lnx?(x?1)2.
七、(本题满分6分)
为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
八、(本题满分7分)
x2设S为椭球面y22?2?z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离,求
??zS?(x,y,z)dS.
九、(本题满分7分)
?设ann??40tanxdx:
??(1)求
1(an?an?2)的值. n?1n:对任意的常数??0,级数??(2)试证an?收敛. n?1n
十、(本题满分8分)
?设矩阵A??a?1c?
?5b3?,其行列式|A|??1,又A的伴随矩阵A*有一个
?1?c0?a????特征值?0,属于?0的一个特征向量为α?(?1,?1,1)T,求a,b,c和?0的值.
十一、(本题满分6分)
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证
BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n.
十二、(本题满分8分)
设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 y3 P(X?xi)?pi? x 11 8 x12 8 P(Y?yi)?p1?j 6 1
十三、(本题满分6分)
?设X的概率密度为f(x)??6x??3(??x) 0< x??,X1,X2,?,Xn是取自总体
??0 其它X的简单随机样本
(1)求?的矩估计量??.
(2)求??的方差D(??). 2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
?1202x?xdx=_____________.
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
?1??x1?(4)已知方程组?12?23a?2??x???1??2?3无解,则a= _____________. ?2???????1a????x3????0??(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为
19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当
a?x?b时,有
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x)
(B)f(x)g(a)?f(a)g(x)
(C)f(x)g(x)?f(b)g(b)
(D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)??xdS?4??xdS
(B)
SS??ydS?4??xdS
1SS1
(C)
??zdS?4??xdS
(D)
SS??xyzdS?4S??xyzdS
1S1?(3)设级数
?un收敛,则必收敛的级数为
n?1?(A)?(?1)nun
(B)
n?1n??u2n
n?1(C)
???(u2n?1?u2n)
(D)
?un?1)
n?1?(unn?1(4)设n维列向量组α1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为
(A)向量组α1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示 (B)向量组β1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示
(C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价 (D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价
(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与??X?Y不相关的充分必要条件为
(A)E(X)?E(Y)
(B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
(C)E(X2)?E(Y2)
(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
三、(本题满分6分)
1求lim(2?exx??4?sinx1?exx).
四、(本题满分5分)
设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求
?2z?x?y.
五、(本题满分6分)
计算曲线积分I???xdy?ydxL4x2?y2,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周
(R?1),取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
???xf(x)d?ydz(x)yf?2xxedzdx?其中函数0z,dxdf(yx)在(0,??)内具有连
S续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.
(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.
x?1
(3)与两直线 y??1?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.
z?2?t (4)设
L为取正向的圆周
x2?y2?9,则曲线积分
??2L(x2?y2y?)dx?(x= _____________. 4x)dy(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
a与b,使等式lim1xt2求正的常数x?0bx?sinx?0a?t2dt?1成立.
三、(本题满分7分)
(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求
?u??x,v?x.
?301?(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A???110?,求矩阵B. ?4??01??四、(本题满分8分)
求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,
只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处
(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值
(D)f(x)的导数不存在
s(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值
(A)依赖于s和t
(B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s
(D)依赖于s,不依赖于t
?(3)设常数k?0,则级数
?(?1)nk?nn?1n2 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛
(D)散敛性与k的取值有关 (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则
|A*|等于
(A)a
(B)
1a
(C)an?1
(D)an
六、（本题满分10分） 求幂级数
??1xn?1n?1n?2n的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分）
求曲面积分
I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,
?其中?是由曲线f(x)????z?y?1 1?y?3?绕?x?0y轴旋转一周而成的曲面,其法
向量与y轴正向的夹角恒大于
?2.
八、（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组
x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x
2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?1?x2?2x?1?e,则X的数学
期望为____________,X的方差为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
10?x?1e?yfX(x)? 0
其它,fy)? 0 y?0Y(y?0, 求Z?2X?Y的概率密度函数.
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
(1)设f(x)可导且f?(x0)?(A)与?x等价的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小
1,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是 2 (B)与?x同阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小
(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?(1)求幂级数?(x?3)nn的收敛域. n?1n3(2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.
(3)设?为曲面x2?y2?z21?的外侧,计算曲面积分I????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.
?二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(1)若f(t)?lim12txx??t(1?x),则f?(t)= _____________.
3(2)设f(x)连续且
?x?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)? 2?1?x?0x2 0?x?1,
则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4
维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式A?B= _____________. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
f(x)在点x0处
(A)取得极大值
(B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加
(D)某邻域内单调减少
(3)设
空
间
区?2?y2?z2?R2,z?0,?222R21:x2:x?y?z?,x?0,y?0,z?0,则
(A)???xdv?4???dv
(B)????ydv?4???ydv
1?2?1?2(C)
???zdv?4
(D)
xyzdv?4????zdv
????xyzdv1????21?2?(4)设幂级数
?a(nnx?1)在x??1处收敛,则此级数在x?2处 n?1(A)条件收敛
(B)绝对收敛
(C)发散
(D)收敛性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0
(B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关
(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
域
函数
四、(本题满分6分)
存在唯一的?,使曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3倍.
xy?2u?2u设u?yf()?xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2?y.
yx?x?x?y五、(本题满分8分)
设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切
线与曲线y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x).
六、（本题满分9分）
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为kr2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在
此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.
七、（本题满分6分）
?100??100?
已知AP?BP,其中B???000?,P??2?10?,求A,A5.????00?1????
?211??八、（本题满分8分）
?200??200已知矩阵A???001?与B???0y0?相似?1x????. ?0???00?1??(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P. 九、（本题满分9分）
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于
1927,则事件A在一次试验中出现的概率是____________. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于
65”的概率为____________.
(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
2?(x)??x1?u??2?e2du,?(2.5)?0.9938, 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率密度函数为f1X(x)??(1?x2),求随机变量Y?1?3X的概率密度函数fY(y).
1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)h?02h= _____________.
(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则f(x)=_____________.
(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分
?2L(x?y2)ds=_____________.
(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.
??30?0?(5)设矩阵
A??14I???矩1阵??0,?1??00?????则
0?3??001(A?I?21=_____________. )二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,
只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当x?0时,曲线y?xsin1x (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线
(D)既无水平渐近线,又无
铅直渐近线
(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面
2x?2y?z?1?0,则点的坐标是
(A)(1,?1,2) (B)(?1,1,2) (C)(1,1,2)
(D)(?1,?1,2)
(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是
(A)c1y1?c2y2?y3
(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3
(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
2?,(4)设函数f(x)?x,0?x?1,而S(x)??bnsinn?x,???x???,其中
n?1b11n?2?0f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?2)等于
(A)?112 (B)?4
(C)114 (D)2
(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0
(B)必有两列元素对应成比例
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合
(D)任一列向量是其余列向
量的线性组合
0
(C)P(AB)?P(A)P(B) (D)P(AB)?P(A)P(B)
三、(本题满分5分)
求直线l:x?1y1?1?z?1?1在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确
定
常
数
?,使在右半平面
x?0上的向量
A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求
u(x,y).
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开
始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y?y(v).
六、(本题满分7分)
计算??axdydz?(z?a)2dxdy22212,其中?为下半平面z??a2?x2?y2的上?(x?y?z)侧,a为大于零的常数.
七、(本题满分6分)
?2?
求lim?sin??x???nsin?n???sin??.?n?111??n?2n?n??
八、（本题满分5分）
??设正向数列{a}单调减少,且?(?1)na1nnn发散,试问级数n?1?()是否收敛?
n?1an?1并说明理由.
九、（本题满分6分）
设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在
区间[x0,1]上以y?f(x)为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?(x)??2f(x)x,证明(1)中的x0是唯一的.
十、（本题满分6分）
已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换
??x??????y?P???化为椭圆柱面方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵P.
?????z???????
十一、（本题满分4分）
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向量α,且
Ak?1α?0.
证明:向量组α,Aα,?,Ak?1α是线性无关的.
十二、（本题满分5分）
已知方程组
a11x1?a1x2?2??anx1,n2?02(Ⅰ)
a21x1?a2x2?2??anx2,n2?02 ?
an1x1?anx2?2??annx,2n?20的一个基础解析为(bTT,?,bT11,b12,?,b1,2n),(b21,b22,?,b2,2n),?,(bn1,bn2n,2n).试写出线性方程组
b11y1?b12y2???b1,2ny2n?0(Ⅱ)
b21y1?b22y2???b2,2ny2n?0 ?
bn1y1?bn2y2???bn,2ny2n?0的通解,并说明理由.
十三、（本题满分6分）
设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X?Y的方差.
十四、（本题满分4分）
从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间
(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?
附:标准正态分布表
?(x)??z122?e?t2??dt z 1.28 1.645 1.96 2.33 ?(x) 0.900 0.950 0.975 0.990
十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t分布表
P{t(n)?tp(n)}?p
0.95 0.975 35 1.6896 2.0301
36
1.6883 2.0281 1999年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(1x?0x2?1xtanx)=_____________. (2)dxdx?0sin(x?t)2dt=_____________. (3)y???4y?e2x的通解为y=_____________.
(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条
件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?12, 且已知P(A?B?C)?916,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 (B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数
?(2)设f(x)??1?cosx?x x?0,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x?0处 ??x2g(x) x?0(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导
(D)可导
?x 0?x?1f(x)???1,S(x)?a?(3)设?0?2?2x 2?x?12??ancosn?x,???x???, n?1其中a1n?2?0f(x)cosn?xdx (n?0,1,2,?),则S(?52)等于 (A)12 (B)?12
(C)34 (D)?34
(4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则
(A)当m?n时,必有行列式|AB|?0
(B)当m?n时,必有行列式
|AB|?0
(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0
(D)当n?m时,必有行列式
|AB|?0
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则 (A)P{X?Y?0}?12
(B)P{X?Y?1}?12
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X的数学期望E(X)=____________.
(2)设X和Y为两个随机变量,且
2234P{X?0,Y?0}?,P{X?0}?P{Y?0}?,
77则P{max(X,Y)?0}?____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率密度为
e?xx?0 , fX(x)?
0x?0X求随机变量Y?e的概率密度fY(y).
1996年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设lim(x?2ax??x?a)x?8,则a=_____________.
(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________.
(3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向
的方向导数为_____________.
?1(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2而,B??02??020??103?,则????r(AB)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)已知(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数的全微分,a则等于 (A)-1 (B)0 (C)1
(D)2
(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f?(0)?0,limf??(x)x?0x?1,则 (A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点 (3)设an?0(n?1,2,?),且
??an收敛,常数??(0?,则
),级数n?12??(?1)n(ntan?)an?1n2n (A)绝对收敛
(B)条件收敛
(C)发散
(D)散敛性与?有关
(4)设有f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt,且
x?0时,F?(x)与xk是同阶无穷小,则k等于
(A)1 (B)2 (C)3
(D)4
a100b1(5)四阶行列式
0a2b200a3b30的值等于 b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4
当
(C)(a1a2?bb12)(a3a4?b3b4)
(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?bb14)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.
(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)计算曲面积分
??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面
Sz?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
u?x?2y2
(2)设变换 v?x?ay可把方程6?2z?2z?z?2z?x2??x?y??y2?0简化为
?u?v?0,求常数a.
五、(本题满分7分) 求级数
??1n?1(n2?1)2n的和.
六、(本题满分7分)
设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
1xx?0f(t)dt,求f(x)的一般表达式.
七、（本题满分8分）
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证明f?(c)?2a?b2.
八、（本题满分6分）
设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT
是ξ的转置.证明
(1)A2?A的充分条件是ξTξ?1.
(2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵.
九、（本题满分8分）
已知二次型f(x2221,x2,x3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.
(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(12)2)的随机变量,则随机变量???的数学期望E(???)=____________.
十一、（本题满分6分）
设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为
1P(??i)?,i?1,2,3.
3又设X?max(?,?),Y?min(?,?).
(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).
1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
3sinx?x2cos1(1)limxx?0(1?cosx)ln(1?x)=_____________.
(2)设幂级数???an?1nx的收敛半径为3,则幂级数
的收敛区间为
n?1?na(xnn?1)n?1_____________.
?(3)对数螺线??e?在点(?,?)?(2e?2,处
)切线的直角坐标方程为_____________.
?(4)设A??12?2??4t3?,B为三阶非零矩阵,且AB?O,则=_____________.
??t?3?11??(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从
袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
xy(1)二元函数f(x,y)? x2?y2 (x,y)?(0,0),在点(0,0)处
0 (x,y)?(0,0)(A)连续,偏导数存在
(B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令
Sb11??af(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?2[f(a)?f(b)](b?a),
则
(A)S1?S2?S3
(B)S2?S1?S3 (C)S3?S1?S2
(D)S2?S3?S1
(3)设F(x)??x?2?txesinsintdt,则F(x)
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零
(D)不为常数
?(4)设α?a1????b1????c1??1??a2??,α2??b2?,α3??c2,则三条直线 ?a3????b3?????c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中a2i?b2i?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关
(B)α1,α2,α3线性无关 (C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2)
(D)α1,α2,α3线性相关
,α1,α2线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量
3X?2Y的方差是
(A)8 (B)16 (C)28
(D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算I????(x2?y2)dv,其中?为平面曲线 y2?2z绕轴旋转一周所
?x?0z成的曲面与平面z?8所围成的区域.
(2)计算曲线积分
??(z?y)dx?(x?)zd?y(?x)其y中dzc是曲线cx2?y2?1x?y?z?2从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)
(1)设直线l: x?y?b?0x?ay?z?3?0在平面?上,而平面?与曲面z?x2?y2相切
于点(1,?2,5),求a,b之值.
(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(exsiny)满足方程
?2z?2?x2?z?y2?e2xz,求f(u).
五、(本题满分6分)
设f(x)连续,?(x)??1f(x)0f(xt)dt,且limx?0x?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续性.
六、(本题满分8分)
设a111?0,an?1?2(an?a)(n?1,2,?),证明 n
(1)limx??an存在.
? (2)级数?(ana?1)收敛.
n?1n?1
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
(1)设B是秩为2的5?4矩阵
,α1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1]T,α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方程组Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
?1??2?12
(2)已知ξ???1?是矩阵A???5a3?的一个特征向量.
???????1????1b?2?? 1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.
2)问A能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆.
(2)求AB?1.
九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
十、（本题满分5分） 设总体X的概率密度为
(??1x)?0?x?1 f(x)?
其它0其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.
1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)lim1?x?1?x?2x?0x2=_____________.
(2)设z?1xf(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?2z?x?y=_____________. 22(3)
设
l为
椭
圆
x4?y3?1,其周长记为a,则
??(2xy?3x2?4y2)ds=_____________. L(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2?E必有特征值_____________.
(5)设平面区域D由曲线y?12x及直线y?0,x?1,x?e所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)连续,则dxdx?0tf(x2?t2)dt= (A)xf(x2)
(B)?xf(x2) (C)2xf(x2)
(D)?2xf(x2)
(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
(3)已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x1?x2??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷小,y(0)??,则y(1)等于
(A)2?
(B)?
??(C)e4
(D)?e4
(4)设矩阵
??a1b1c1??a2b2c?2??a3b? 3c3??是满秩的,则直线
x?a3y?b3z?a??c3与直线x?a1y?b1z?c11?a2b1?b2c1?c2a?b? 2?a32?b3c2?c3(A)相交于一点
(B)重合 (C)平行但不重合
(D)异面
(5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有
(A)P(A|B)?P(A|B)
(B)P(A|B)?P(A|B)