09级自动控制原理期中试卷参考答案
一、求图1所示无源网络的运动方程和传递函数，图中电压u1(t)和u2(t)分别为输入量和输出量。（10分）
CR1u1(t)R2u2(t)
图1 题一图
解：设电阻R1上电流为i1，电容C上的电流为i2，则电阻R2上的电流i=i1+i2。 由图得：
1?Ri??11C?i2dt??u2?R2i?R2(i1?i2) ?u?Ri?u112?1?于是
i1?u1?u2di1d(u?u)， i2?R1C1?R1C??12 R1dtR1dt从而
?u?u1d(u?u)?u2?R2i?R2?12?R1C??12?
R1dt?R1?
整理，由上述方程组可得无源网络的运动方程为：
R1R2Cdu2du?(R1?R2)u2?R1R2C1?R2u1 dtdt对上述方程中各项求拉氏变换得：
R1R2CsU2(s)?(R1?R2)U2(s)?R1R2CsU1(s)?R2U1(s)
所以，无源网络的传递函数为：
G(s)?
U2(s)R2(R1Cs?1)? U1(s)R1R2Cs?(R1?R2)二、用结构图简化方法或信号流图法求图2所示闭环传递函数C(s)R(s)。（10分）
HR(s)-+G1G3++G2C(s)
图2 题二图
解：
G1HR(s)G1G3+-+G2C(s)
R(s)G1?G3C(s)(G1?G3)G2 ?R(s)1?G1G2H1G21?G1G2HC(s)
或解：
??1??L1?1?GG12H
P2?G3G2,?2?1?L(1)?1 1?G1G2,?1?1?L(1)?1 ，PGG?G2G3P??P?C(s) ?P?1122?12R(s)?1?G1G2H
三、在零初始条件下，系统在单位阶跃输入r(t)?1(t)的输出响应为c(t)?1?e?2t?e?t，试求系统的传递函数和脉冲响应。（10分） 解：r(t)?1(t)，
?tR(s)?1 s
c(t)?1?e?2t111s2?4s?2 ???e， C(s)??ss?2s?1s(s?1)(s?2)系统的传递函数：
C(s)s2?4s?2 ?R(s)(s?1)(s?2)于是，系统的脉冲响应为：
2?C(s)?12??1?s?4s?2??1?g(t)?L??L?L1???(s?1)(s?2)????s?1s?2?? ?R(s)??? ??(t)?e?t?2e?2t (t?0)?1
四、单位负反馈系统的开环传递函数为Go(s)?10。试求其静态位置、速度
s(0.1s?1)(0.5s?1)和加速度误差系数，并求输入信号为r(t)?1(t)?6t时系统的稳态误差终值ess。（10分） 解:I型系统 所以 Kp=?
Kv=limsGo(s)?lims?010?10
s?0(s?1)(0.5s?1)Ka=0
输入信号中是阶跃和斜坡信号的叠加，而无抛物线函数，所以稳态误差为一常数。 所以 ess?lime(t)?6?t??11?6??0.6 Kv10
五、控制系统结构如图3所示，试选择参数K1和Kt，使系统的?n?6，ζ=0.6。（10分）
R?s???K125s?s?0.8?C?s?Kts
图3 题五图
解：求出图中所示系统的闭环传递函数，并将其与二阶系统的传递函数的标准形式相比较，便可得所求参数。
通过简化结构图，可得系统的开环和闭环传递函数为：
G?s??25K1
s?s?0.8?25K1Kt???s??25K1 2s??0.8?25K1Kt?s?25K1二阶系统的传递函数的标准形式为
2?n ??s??22s?2??ns??n2比较可得：25K1??n，0.8?25K1Kt?2??n
解之得：K1=
368=1.44，Kt=≈0.18 2545六、设单位负反馈控制系统的开环传递函数为Go(s)?K，试确定使系统稳2s(s?2)(s?s?1)定的K的取值范围。如果想让闭环极点位于s??1之左，K应取何值。（15分） 解:D(s)?s4?3s3?3s2?2s?K
s4 1 3 Ks3 3 2s2 7/3 K s1 14/3-3Ks0 K当K?0 and K?14/9，系统稳定 。
D(s1)?(s1?1)4?3(s1?1)3?3(s1?1)2?2(s1?1)?K ?s14?4s13?6s12?4s1?1?3(s13?3s12?3s1?1)?3(s12?2s1?1)?2(s1?1)?K ?s14?4s13?6s12?4s1?1 ?3s13?9s12?9s1?3 ?3s12?6s1?3 ?2s1?2?K ?s14?s13?0s12?s1?K?1
因为缺项，所以，无论K应取何值，系统都不可能有位于s??1之左的闭环极点。
七、系统如图4所示。要求：
(1) 当a=0时，试求系统单位阶跃响应的最大超调量、调整时间和单位斜坡函数输入时系统的稳态误差ess(∞（7分） )；
(2) 当a=0.2时，系统的超调量、调整时间和单位斜坡函数输入时系统的稳态误差
ess(∞)有何变化？（注： ?p?eR?s????/1??2*100%，ts?8s?s?2?as3??n）（8分）
C?s?+－+－
图4 题七图
解：(1) 当a?0时，根据图1可得系统的开环传递函数为：
?n8 G?s???s?s?2?s?s?2??n?2则系统的自然频率与阻尼比为：?n?22?2.83；??24?0.35。 超调量：σp=e-ζπ/1-ζ2×100%≈30.5%
3调整时间：ts==3
ζωn同时可知，系统是Ⅰ型系统，且Kv?4，故在单位斜坡函数输入时系统的稳态误差为：
ess(?)?1Kv?0.25。
(2) 当a=0.2时，根据图4可得系统的开环传递函数为
?n8 G?s???s?s?2?8a?s?s?2??n?20.636 ωn=22，2ζωn=2+8a，得ζ≈超调量：σp=e调整时间：ts=-ζπ/1-ζ2×100%≈7.5%
35=≈1.67 ζωn320，故单位斜坡函数输入时系统的稳态误9由于系统是Ⅰ型系统，且Kv=8/(2+8a)=19差为：ess(∞)===0.45
Kv20 加入测速反馈环节后，增大了阻尼比，因此系统的超调量下降，调整时间缩短，但稳态误差增大。
八、设单位负反馈系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图，并确定分离点坐标d和临界增益Kc。（20分）
G?s??Ks?0.2s?1??0.5s?1?
解：系统的开环传递函数可变换如下
G?s??K10Ks?0.2s?1??0.5s?1??s?s?5??s?2? 令K??10K，即K?为根轨迹增益。
（1）根轨迹的分支和起点与终点
由于n?3，m?0，n?m?3，故根轨迹有三条分支，其起点分别为p1?0，p3??5，其终点都为无穷远处。 （2）实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹分布区为?0,?2?，??5,???。 （3）根轨迹的渐近线
??2?57a?03??3， ??a??3,?
（4）根轨迹的分离点
特征方程：s(s+5)(s+2)+10K=0 根轨迹的分离点坐标满足：
dKds=0 解得：s1=-0.88，s2=-3.79（舍去） 求得分离点的坐标为：d=-0.88。 （5）根轨迹与虚轴的交点和临界开环增益 用s=jω代入特征方程：1+G(s)=0，得
jω(jω+5)(jω+2)+10K=0
整理得：
10K-7ω2+jω(10-ω2)=0
令10K-7ω2=0，10-ω2=0，解得：ω=10，K=7
因此轨迹与虚轴的交点为（0，j10)和
（0，-j10)；临界开环增益Kc=7。 p2??2，
根据以上几点，可以画出概略根轨迹如下图所示。
642j?-5-4-3?-0.88-2-1?01-2-4-6