第3课时 两平面垂直的性质
学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．
知识点 平面与平面垂直的性质定理
思考 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直． 梳理 文字语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β 图形语言
1．若平面α⊥平面β，任取直线l?α，则必有l⊥β.( × )
2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( × )
类型一 平面与平面垂直的性质定理
例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
证明 (1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.
反思与感悟 当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线．
跟踪训练1 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
证明 如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC， BC?平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵PA∩AD＝A， ∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
类型二 立体几何中的折叠问题
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D—ABCE.
求证：BE⊥平面ADE.
证明 在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2， 在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2， 故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2， ∴BE⊥AE.
又平面ADE⊥平面ABCE， 且平面ADE∩平面ABCE＝AE， BE?平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.
反思与感悟 (1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变． (2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性．
跟踪训练2 如图①所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图②所示．
求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明 ∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，
过B作BO⊥AC，垂足为O， 由AB＝BC知，O为AC的中点， 作OE⊥AC交AD于点E， 则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE. 而OE∩AC＝O， ∴BO⊥平面ACD.
∵CD?平面ACD，∴BO⊥CD. 又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC， ∵AB?平面ABC，
∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD. 又∵AB?平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BCD.
类型三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以四边形ABED为平行四边形， 所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF. 又CD?平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
反思与感悟 (1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：
(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
跟踪训练3 如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：
(1)EF⊥CD；
(2)平面SCD⊥平面SCE. 证明 (1)连结AC，AF，BF.
∵SA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴SA⊥AC. 1
∴AF为Rt△SAC的斜边SC上的中线，∴AF＝SC.
2
又∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥AB.
而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA.又SA∩AB＝A. ∴CB⊥平面SAB. ∵SB?平面SAB， ∴CB⊥SB，
1
∴BF为Rt△SBC的斜边SC上的中线，∴BF＝SC.
2∴△AFB为等腰三角形， ∵E为AB的中点，∴EF⊥AB. 又CD∥AB，∴EF⊥CD.
(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，
∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC. 又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C， ∴EF⊥平面SCD.
又EF?平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.
1．给出下列四个说法：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中正确的是________．(填序号) 答案 ②④
解析 ①中若两直线平行，则结论错误；②正确；在空间中③错误；④正确．
2．已知平面α⊥平面β，直线a∥α，则直线a与β的位置关系可能是________．(填序号) ①a⊥β；②a∥β；③a与β相交． 答案 ①②③
3．若将边长为2的正方形ABCD沿AC折叠成直二面角，则B，D两点间的距离为________． 答案 2
4.如图，在三棱锥P—ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
答案
5
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)， ∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝5. 5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.
考点 平面与平面垂直的性质 题点 面面垂直性质的综合应用
证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面SDC. 又因为BC?平面SBC， 所以平面SDC⊥平面SBC.
面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
一、填空题
1．下列命题中错误的是________．(填序号)
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ； ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. 答案 ④
解析 如果平面α⊥平面β，平面α内的直线有的与平面β平行，有的与平面β相交，故④错误．
2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________． 答案 平行
解析 ∵α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l， ∴n⊥α.又∵m⊥α，∴m∥n.
3．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：
①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥平面BCD；④△ABC是等边三角形．其中正确结论的个数为________．
答案 4
解析 ①正确，因为∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，由题意知∠BDC＝90°，所以BD⊥CD；②正确，易知BD⊥平面ACD，所以BD⊥AC；③正确，因为折叠后仍有AD⊥BD，AD⊥DC，易知AD⊥平面BCD；④正确，因为AD＝BD＝DC，且以D为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形．
4．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
答案 a
解析 取BC的中点M，连结AM，DM，则AM⊥BC，
由题意得AM⊥平面BDC， ∴△AMD为直角三角形， 且AM＝MD＝2
a，∴AD＝a. 2
5．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①a与b可能垂直，但不可能平行； ②a与b可能垂直，也可能平行；
③a与b不可能垂直，但可能平行； ④a与b不可能垂直，也不可能平行． 答案 ③
解析 由题意知，当a∥l，l∥b时，a∥b.故①④错； 若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l， 由面面垂直的性质定理得AB⊥α. ∵a?α，∴AB⊥a.又a⊥b，AB∩b＝A， ∴a⊥β?a⊥l.这和a与l不垂直相矛盾． ∴不可能a⊥b.故②错，故填③.
6．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.
答案
61
解析 作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥AB，DE⊥CE，在Rt△ACE中，
CE＝AC2＋AE2＝45，
在Rt△CED中，CD＝CE2＋DE2＝61.
7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.
答案
5∶2
5525
＝，cosβ＝，292925＋4
解析 由题意，得两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cosα＝所以cosα∶cosβ＝5∶2.
8.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在直线________上．
答案 AB
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，BC1∩AB＝B，BC1，AB?平面ABC1， 得AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC， ∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在交线AB上．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列说法正确的是________．(填序号)
①平面ABD⊥平面ABC； ②平面ADC⊥平面BDC； ③平面ABC⊥平面BDC； ④平面ADC⊥平面ABC. 答案 ④
解析 如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.
10．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是________三角形． 答案 直角
解析 如图所示，连结BD，作AE⊥BD于点E，因为平面ABD⊥平面BCD，易知AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以BC⊥AE.
又因为AD⊥平面ABC， BC?平面ABC，所以BC⊥AD. 又AE∩AD＝A，所以BC⊥平面ABD. 而AB?平面ABD，则BC⊥AB， 所以△ABC为直角三角形． 二、解答题
11.如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.求证：AD⊥CE.
证明 如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，连结OD.
由于AO⊥BC且平面ABC⊥平面BCDE，所以AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，
由
OCCD1
＝＝知， CDDE2
Rt△OCD∽Rt△CDE， 从而∠ODC＝∠CED， 于是CE⊥OD.
又∵CE⊥AO，AO∩OD＝O， ∴CE⊥平面AOD.
∵AD?平面AOD，∴AD⊥CE.
12.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且
AEAF
＝＝λ(0<λ<1)． ACAD
(1)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ABC? (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD? 解 (1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BC且AB∩BC＝B， ∴CD⊥平面ABC. AEAF
又∵＝＝λ(0<λ<1)，
ACAD∴不论λ为何值，恒有EF∥CD， ∴EF⊥平面ABC. ∵EF?平面BEF，
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC. (2)由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD， 平面BEF∩平面ACD＝EF， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°， ∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6， ∴AC＝AB2＋BC2＝7. 由AB2＝AE·AC，得AE＝AE6∴λ＝＝.
AC7
6
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
7
13.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
6， 7
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥
侧面BB1C1C；
(3)如果截面MBC1⊥侧面BB1C1C，那么AM＝MA1吗？请你叙述判断理由． (1)证明 ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C， 平面ABC∩侧面BB1C1C＝BC， ∴AD⊥侧面BB1C1C. 又CC1?平面BB1C1C， ∴AD⊥CC1.
(2)证明 如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连结C1N.
∵AM＝MA1，MA1∥BB1， 1
∴A1M＝BB1，
2NA1＝A1B1. ∵A1B1＝A1C1， ∴A1C1＝A1N＝A1B1， ∴C1N⊥C1B1.
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C， 平面NB1C1∩侧面BB1C1C＝C1B1， ∴C1N⊥侧面BB1C1C. 又∵C1N?平面MBC1， ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)解 过点M作ME⊥BC1于点E，连结DE. ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，
截面MBC1∩侧面BB1C1C＝BC1， ∴ME⊥侧面BB1C1C. 又∵AD⊥侧面BB1C1C，
∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面． ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE. ∵AM∥CC1，∴DE∥CC1.
∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点． 11
∴AM＝DE＝CC1＝AA1，
22∴AM＝MA1. 三、探究与拓展
14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
答案
6
解析 取CD的中点G，连结MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2， NG＝2.
因为平面ABCD⊥平面DCEF， 平面ABCD∩平面DCEF＝CD. 所以MG⊥平面DCEF， 又NG?平面DCEF， 可得MG⊥NG，
所以MN＝MG2＋NG2＝6.
15.如图所示，在几何体ABC—A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的射影分别为A，B，C，且AB⊥BC，E为AB1的中点，AB＝AA1＝BB1＝2CC1.求证：
(1)CE∥平面A1B1C1； (2)平面AB1C1⊥平面A1BC.
证明 (1)由题意知AA1⊥平面ABC，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC，
∴AA1∥BB1∥CC1，
取A1B1的中点F，连结EF，FC1. ∵E为AB1的中点， 11
∴EF∥A1A，EF＝A1A，
22又AA1＝2CC1，
11
∴CC1∥AA1，CC1＝AA1，
22∴EF∥CC1，EF＝CC1， ∴四边形EFC1C为平行四边形， ∴CE∥C1F.
又CE?平面A1B1C1，C1F?平面A1B1C1， ∴CE∥平面A1B1C1.
(2)∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC. 又AB⊥BC，AB∩BB1＝B， ∴BC⊥平面AA1B1B.
∵AB1?平面AA1B1B，∴BC⊥AB1. ∵AA1＝BB1＝AB，AA1∥BB1，
∴四边形AA1B1B为正方形，∴AB1⊥A1B. ∵A1B∩BC＝B，∴AB1⊥平面A1BC. ∵AB1?平面AB1C1， ∴平面AB1C1⊥平面A1BC.