点评： 本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．
11．（5分）过抛物线y=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则
的值等于（）
D．2
2
A． 5 B． 4 C． 3
考点： 直线的倾斜角；抛物线的简单性质． 专题： 计算题；综合题；压轴题．
分析： 设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合然后求其比值．
解答： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
，
又
，可得
，
，
，求出A、B的坐标，
则，
故选C．
点评： 本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．
12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（） A．
B．
C． 3
D．2
，
考点： 椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
解答： 解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2 ∵∠F1PF2=
，
2
2
2
∴由余弦定理可得4c=（r1）+（r2）﹣2r1r2cos在椭圆中，①化简为即4c=4a﹣3r1r2，
2
2
，①
即，②
2
2
在双曲线中，①化简为即4c=4a1+r1r2， 即
，③
联立②③得，=4，
由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+），
2
即（）=
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2 ∵∠F1PF2=
，
2
2
2
∴由余弦定理可得4c=（r1）+（r2）﹣2r1r2cos=（r1）+（r2）﹣r1r2，
22
由，得，
∴=，
令m===，
当时，m，
∴即∴
，
的最大值为
，
故选：A
点评： 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知向量=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，m），且⊥，则m的值为5．
考点： 向量的数量积判断向量的共线与垂直． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由于⊥，可得解答： 解：∵⊥， ∴
=﹣8﹣2+2m=0，
=0．
解得m=5． 故答案为：5．
点评： 本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
14．（5分）已知过点（1，1）且与2x+y+1=0平行的直线经过抛物线y=mx的焦点，则实数m=6．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 求出过点（1，1）且与2x+y+1=0平行的直线，进而得到直线与x轴的交点，进而可
2
得抛物线y=mx的焦点，结合抛物线的性质，可得答案．
解答： 解：∵设过点（1，1）且与2x+y+1=0平行的直线为：2x+y+C=0， 将（1，1）代入后解得：C=﹣3，
故过点（1，1）且与2x+y+1=0平行的直线为2x+y﹣3=0，
2
∵抛物线y=mx的焦点在x轴上， 当y=0时，由2x+y﹣3=0得：x=， 即=，
故m=2p=6． 故答案为：6
点评： 本题考查的知识点是与直线平行的直线的求法，抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题． 15．（5分）给出下列命题： （1）空间中点P的柱坐标为
，则点P的直角坐标为
；
2
（2）若曲线=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4）；
（3）已知A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣，
则点M的轨迹方程为=1；
（4）已知双曲线方程为x﹣
2
=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B
两点，使点P是线段AB的中点．
其中正确命题的序号是（2）．
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 综合题；简易逻辑．
分析： 对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
解答： 解：（1）空间中点P的柱坐标为z=1，故不正确； （2）曲线
，则x=2cos=，y=2sin=1，
=1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，∴k的取值范围是（1，+∞）
∪（﹣∞，﹣4），正确；
（3）已知A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣，
则点M的轨迹方程为=1（x≠±5），故不正确；
（4）设过点P（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1或x=1
①当k存在时，联立得（2﹣k）x+（2k﹣2k）x﹣k+2k﹣3=0，当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k﹣2k）﹣4（2﹣k）（﹣k+2k﹣3）＞0，k＜
又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标，P是线段AB的中点，∴x1+x2=2，∴k=2
2
∴k=2，使2﹣k≠0但使△＜0 因此当k=2时，方程无实数解
故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在． 当x=1时，直线经过点P但不满足条件， 综上，符合条件的直线l不存在 故答案为：（2）．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
2
2
2
2
2
2
2
2
16．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分
别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
．
分析： 先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，
0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．
解答： 解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则
与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，
∴=﹣3，
∴a=2b， ∴∴e==
．
． =
b，
故答案为：
点评： 本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离．
x，且双曲线过点
黑龙江省牡丹江一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）
2
1．（5分）抛物线y=﹣16x的焦点坐标为（） A． （0，﹣4） B． （4，0） C． （0，4） D．（﹣4，0） 2．（5分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（） A． 双曲线 B． 双曲线的一支 C． 两条射线 D．一条射线 3．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（） A．
B．
C． 或
D． 以上都不对
4．（5分）平面上动点A（x，y）满足 A． |AB|+|AC|＜10
5．（5分）设
B． |AB|+|AC|≤10
+
=1，B（﹣4，0），C（4，0），则一定有（） C． |AB|+|AC|＞10
=﹣2+﹣3，
D．|AB|+|AC|≥10 =3+2+5，（其中
=2﹣+，=+3﹣2，
是两两垂直的单位向量），若
是（） A． 1，﹣2，﹣3
，则实数λ，μ，ν的值分别
B． ﹣2，1，﹣3
22
22
C． ﹣2，1，3
2
D．﹣1，2，3
6．（5分）在同一坐标系中，方程ax+by=1与ax+by=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）
A． B． C． D．
7．（5分）已知直线y=kx+1与椭圆 A． m≥1
恒有公共点，则实数m的取值范围为（）
B． m≥1，或0＜m＜1 C． 0＜m＜5，且m≠1 D．m≥1，且m≠5
8．（5分）F1，F2是椭圆AF1F2的面积为（） A． 7
B．
的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形
C． D．
9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的
中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．
10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为
+
=1，双曲线C2的方程为
﹣
=1，C1
B．
C．
D．
与C2的离心率之积为 A． x±
y=0
，则C2的渐近线方程为（） B．
2
x±y=0 C． x±2y=0 D．2x±y=0
11．（5分）过抛物线y=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则 A． 5
B． 4
的值等于（）
C． 3
D．2
，
12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（） A．
B． C． 3 D．2
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知向量=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，m），且⊥，则m的值为．
14．（5分）已知过点（1，1）且与2x+y+1=0平行的直线经过抛物线y=mx的焦点，则实数m=． 15．（5分）给出下列命题： （1）空间中点P的柱坐标为
，则点P的直角坐标为
；
2
（2）若曲线=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4）；
（3）已知A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣，
则点M的轨迹方程为=1；
（4）已知双曲线方程为x﹣
2
=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B
两点，使点P是线段AB的中点． 其中正确命题的序号是．
16．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线
=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分
别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±x，且双曲线过点 （1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离． 18．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．
19．（12分）已知直线l的参数方程：
（t为参数），曲线C的参数方程：
（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=
时，|AB|的长度；
（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|?|PB|的范围． 20．（12分）已知动圆E过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点A为直线l：x﹣y﹣2=0上任意一点，过A做曲线C的切线，切点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过定点，并求出该定点． 21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P﹣AD﹣M的大小为
．
22．（12分）已知F1，F2是椭圆
=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足
=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，
（1）求点P坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值； （3）求△PAB面积的最大值．
黑龙江省牡丹江一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）抛物线y=﹣16x的焦点坐标为（） A． （0，﹣4） B． （4，0） C． （0，4） D．（﹣4，0）
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
22
分析： 由已知中抛物线y=﹣16x的方程，分析抛物线y=﹣16x的点，可得答案．
2
解答： 解：∵抛物线的方程为：y=﹣16x， 即2p=﹣16， 故p=﹣8，
2
则=﹣4，
∴抛物线y=﹣16x的焦点坐标是（﹣4，0）， 故选：D．
点评： 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键． 2．（5分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（） A． 双曲线 B． 双曲线的一支 C． 两条射线 D．一条射线
考点： 轨迹方程． 专题： 常规题型．
2
分析： 根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹． 解答： 解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|， 点P的轨迹为一条射线 故选D．
点评： 本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线． 3．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（） A．
B．
C． 或
D． 以上都不对
考点： 椭圆的标准方程． 专题： 计算题．
分析： 设出椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，根据长轴与短轴的和为18列出关于a与b
222
的方程记作①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质a﹣b=c，把c的值代入即可得到关于a与b的另一关系式记作②，将①②联立即可求出a和b的值，然后利用a与b的值写出椭圆的方程即可．
解答： 解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b， 则2（a+b）=18，即a+b=9①，
222
由焦距为6，得到c=3，则a﹣b=c=9②， 由①得到a=9﹣b③，把③代入②得：
（9﹣b）﹣b=9，化简得：81﹣18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5， 所以椭圆的方程为：
+
=1或
+
=1．
22
故选C．
点评： 此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道综合题．学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况．
4．（5分）平面上动点A（x，y）满足 A． |AB|+|AC|＜10 B． |AB|+|AC|≤10
考点： 曲线与方程．
专题： 计算题；直线与圆．
+=1，B（﹣4，0），C（4，0），则一定有（） C． |AB|+|AC|＞10
D．|AB|+|AC|≥10
分析： 作出解答： 解：
++
=1的图象如图所示，根据图象的对称性，即可得出结论． =1的图象如图所示，
∵B（﹣4，0），C（4，0），
∴|AB|+|AC|≤10，当且仅当A为（0，±3）时，等号成立． 故选：B．
点评： 本题考查曲线与方程，正确作出方程对应的曲线是关键．
5．（5分）设
=2﹣+，
=+3﹣2，
=﹣2+﹣3，
=3+2+5，（其中
是两两垂直的单位向量），若
是（） A． 1，﹣2，﹣3 B． ﹣2，1，﹣3 C． ﹣2，1，3
考点： 向量的数量积判断向量的共线与垂直． 专题： 平面向量及应用．
分析： 利用向量的线性运算、向量相等即可得出．
，则实数λ，μ，ν的值分别
D．﹣1，2，3
解答： 解：∵，
∴3+2+5=λ（2﹣+）+μ（+3﹣2）+v（﹣2+﹣3）=（2λ+μ﹣2v）+
+
，
∴，解得．
故选：B．
点评： 本题考查了向量的线性运算、向量相等，属于基础题．
6．（5分）在同一坐标系中，方程ax+by=1与ax+by=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）
22
22
2
A． B． C． D．
考点： 椭圆的定义；抛物线的定义． 专题： 数形结合．
22222
分析： 根据题意，a＞b＞0，可以整理椭圆ax+by=1与抛物线ax+by=0变形为标准形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案． 解答： 解：由a＞b＞0，
椭圆ax+by=1，即
2222
+=1，焦点在y轴上；
抛物线ax+by=0，即y=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；
分析可得，D符合， 故选D．
点评： 本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析焦点等位置．
7．（5分）已知直线y=kx+1与椭圆
恒有公共点，则实数m的取值范围为（）
22
A． m≥1 B． m≥1，或0＜m＜1 C． 0＜m＜5，且m≠1 D．m≥1，且m≠5
考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 计算题．
分析： 由于直线y=kx+1恒过点M（0，1），直线y=kx+1与椭圆只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上
解答： 解：由于直线y=kx+1恒过点M（0，1） 要使直线y=kx+1与椭圆
恒有公共点，则
恒有公共点，则只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上
从而有，解可得m≥1且m≠5
故选D．
点评： 本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，解题的关键是要看到直线y=kx+1恒过定点（0，1），要使直线y=kx+1与椭圆
内部或在椭圆上，解答中容易漏掉m≠5的限制条件
8．（5分）F1，F2是椭圆AF1F2的面积为（） A． 7
B．
C．
D．
的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形
恒有公共点，则只要M（0，1）在椭圆的
考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题．
分析： 求出F1F2的 长度，由椭圆的定义可得AF2=6﹣AF1，由余弦定理求得AF1=，从而求得三角形AF1F2的面积． 解答： 解：由题意可得 a=3，b=
2
2
2
，c=
2
，故
，AF1+AF2=6，AF2=6﹣AF1，
∵AF2=AF1+F1F2﹣2AF1?F1F2cos45°=AF1﹣4AF1+8，
∴（6﹣AF1）=AF1﹣4AF1+8，AF1=，故三角形AF1F2的面积S=××
2
2
×=．
点评： 本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出 AF1 的值，
是解题的关键．
9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．
B．
C．
D．
考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可． 解答： 解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D
∴D1B∥DF1
∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角 设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=故选A
，
，DF1=
点评： 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为
+
=1，双曲线C2的方程为
﹣
=1，C1
与C2的离心率之积为 A． x±
考点： 专题： 分析：
y=0
，则C2的渐近线方程为（） B．
x±y=0
C． x±2y=0
D．2x±y=0
双曲线的简单性质．
圆锥曲线的定义、性质与方程．
求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
解答： 解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为
+
=1，C1的离心率为：
，
双曲线C2的方程为
﹣
=1，C2的离心率为：
，
∵C1与C2的离心率之积为
，
∴，
∴=，，
，即x±
y=0．
C2的渐近线方程为：y=故选：A．
考点： 双曲线的简单性质；双曲线的标准方程． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）设双曲线方程为：3x﹣y=λ（λ≠0），点代入得：λ=3，可求双曲线的方程；
（2）利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到渐近线的距离． 解答： 解：（1）设双曲线方程为：3x﹣y=λ（λ≠0），点所以所求双曲线方程为：
2
2
22
代入得：λ=3，
（2）双曲线的焦点坐标为（±2，0），到渐近线的距离为=．
点评： 本题考查双曲线方程，考查点到直线的距离公式，比较基础． 18．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．
考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用． 分析： （1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直． （2）利用向量法求线面角的大小．
解答： 解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC， ∵平面ACDE⊥平ABC， ∴EA⊥平面ABC，
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz． 设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2）， ∵M是正方形ACDE的对角线的交点， ∴M（0，1，1）…3
=（0，1，1），0）=（2，0，0）， ∴
，
=（0，2，0）﹣（0，0，2）=（0，2，﹣2），=（2，2，0）﹣（0，2，
，
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC． …（5分） （2）∵AM⊥平面EBC，∴∵
=（0，1，1），
为平面EBC的一个法向量，
=（2，2，0），
．
∴cos
∴=60°．
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）
点评： 本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．
19．（12分）已知直线l的参数方程：
（t为参数），曲线C的参数方程：
（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=
时，|AB|的长度；
（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|?|PB|的范围．
考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 选作题；坐标系和参数方程．
分析： （Ⅰ）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线
AB的方程，代入（Ⅱ）直线参数方程代入出|PA|?|PB|的范围．
，可得3x﹣4x=0，即可求出|AB|的长度；
，A，B对应的参数为t1，t2，则|PA|?|PB|=﹣t1t2，即可求
2
解答： 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：
．
当θ=
时，直线AB的方程为，y=x﹣1，
（α为参数），曲线C的普通方程为
代入∴|AB|=
，可得3x﹣4x=0，∴x=0或x= ?=
；
，得（cosθ+2sinθ）t+2tcosθ﹣1=0．
=
∈．
2
2
2
2
（Ⅱ）直线参数方程代入
设A，B对应的参数为t1，t2，∴|PA|?|PB|=﹣t1t2=
点评： 本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键． 20．（12分）已知动圆E过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点A为直线l：x﹣y﹣2=0上任意一点，过A做曲线C的切线，切点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过定点，并求出该定点．
考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题： 证明题；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设动圆圆心的坐标为E（x，y），由动圆E过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4，即可列式求得曲线C的方程；
2
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，与（1）中求得的曲线C的方程联立，消去y得：x﹣4kx
﹣4b=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合韦达定理可求得以点P为切点的切线的方程为y=x1x﹣
，同理可得过点Q的切线的方程为y=x2x﹣
，二式联立可求得交点A的坐标，
将所求的点A的坐标代入直线l的方程x﹣y﹣2=0，即可证得直线PQ恒过定点，并求出该定点．
解答： （1）解：设动圆圆心的坐标为E（x，y），依题意，化简得：x=4y，
2
所以曲线C的方程为x=4y；
（2）证明：设直线PQ的方程为y=kx+b，由
，消去y得：x﹣4kx﹣4b=0，
2
2
=，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，且△=16k+16b．
2
以点P为切点的切线的斜率为kP=x1，其切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1）， 即y=x1x﹣
，
，
同理过点Q的切线的方程为y=x2x﹣
依题意，两条直线的交点为A（xA，yA）在直线l：x﹣y﹣2=0上，
所以，即A（2k，﹣b），
则：2k﹣（﹣b）﹣2=0，即b=2﹣2k，
所以直线y=kx+2﹣2k，即y=k（x﹣2）+2，显然该直线恒过定点（2，2）（证毕）．
点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查直线方程与圆锥曲线方程的联立及韦达定理的应用，考查化归思想、方程思想与综合运算能力，属于难题． 21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P﹣AD﹣M的大小为
．
考点： 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；空间角．
分析： （1）通过证明BD⊥平面PAD，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面MBD⊥平面PAD．
（2）以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系，求出点O，A，D，B，P，C的坐
标，设法向量为出
．
（0＜λ＜1），平面PAD的法向量可取：，求出平面MAD的
．求
，利用空间向量的数量积，结合二面角P﹣AD﹣M的大小为
解答： （本小题满分12分）
解：（1）证明：因为BD=AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=6，
所以有AD+BD=AB，
即AD⊥BD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以PD⊥平面PAD，
2
2
2
BD?平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．
（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO垂直于AD， 由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E，则有OE⊥AD，
所以分别以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系 所以点O（0，0，0），A（3，0，0），D（﹣3，0，0），B（﹣3，8，0），P（0，0，3）， 由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（﹣6，4，0）， 设
（0＜λ＜1），则有
，因为由（1）的证明可知BD⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量可取：，设平面MAD的法向量
为
，则有
，即有
由由二面角P﹣AD﹣M的大小为．==，解得
故当M满足：PM=PC时符合条件．
点评： 本题考查二面角的求法与应用，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
22．（12分）已知F1，F2是椭圆
=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足
=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，
（1）求点P坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值； （3）求△PAB面积的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）求出椭圆的两焦点坐标，设P（x，y），（x＞0，y＞0），由数量积坐标公式和点在椭圆上，列出方程，解出，即可得到P的坐标；
（2）设出直线PA，PB的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理，即可解得A，B的横坐标，再由直线方程，得到纵坐标，再由斜率公式，即可得证；
（3）设出直线AB的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，再由面积公式，运用基本不等式，即可得到最大值．
解答： （1）解：F1，F2是椭圆则c=
=
，即有F1（0，
2
2
=1的两焦点， ），F2（0，﹣
），设P（x，y），（x＞0，y＞0），
则由=1，得x+y=3，又=1，解得，x=1，y=．
则有点P的坐标为；
（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，
设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为，
由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，则直线PA：y﹣=﹣k（x﹣1）．
由，消去y，得，
设A（xA，yA），B（xB，yB），由韦达定理，得1+xB=
，
即有
，yB=
同理可得
，yA=
，
所以为定值．
，
（3）解：由（2）可设直线AB的方程为
联立方程，得，消去y，得，
由判别式8m﹣16（m﹣4）＞0，得|AB|=
易知点P到直线AB的距离为所以
，
， =
22
，x1+x2=﹣
m，x1x2=
，
当且仅当m=±2时取等号，满足，
所以△PAB面积的最大值为．
点评： 本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查平面向量的数量积的坐标该函数，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，和弦长公式解题，考查直线的斜率和方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．