西城区高三模拟测试;
数学（理科）;2018.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）;
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．若集合A?{x|0?x?1}，B?{x|x2?2x?0}，则下列结论中正确的是 （A）AB??
（B）AB?R
（C）A?B
2．若复数z满足(1?i)?z?1，则z? （A）
1i? 22
1i（B）??
22（D）B?A
1i（C）??
22（D）
1i? 223．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是 （A）y?1 x（B）y?x2 （C）y?2|x| （D）y?cosx
4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是 （A）12 （B）410 （C）122 （D）85 5．向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示．若向量?a?b与c
共线，则实数?? （A）?2
（B）?1
（C）1
（D）2
x2y26．已知点A(0,0)，B(2,0)．若椭圆W: ??1上存在点C，使得△ABC为等边三角形，
2m则椭圆W的离心率是 1（A）
2（B）2 2（C）6 3（D）3 2
7．函数f(x)?1?x2?a．则“a≥0”是“?x0?[?1,1]，使f(x0)≥0”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
8．在直角坐标系xOy中，对于点(x,y)，定义变换?：将点(x,y) ?x?tana,ππ变换为点(a,b)，使得?其中a,b?(?,)．这样变
22?y?tanb,换?就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线． 则四个函数y1?2x(x?0)，y2?x2(x?0)，y3?ex(x?0)， y4?lnx(x?1)在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内 的四条曲线（如图）依次是 （A）②，③，①，④ （C）②，③，④，①
（B）③，②，④，① （D）③，②，①，④
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
?x?2?cos?,9．已知圆C的参数方程为?（?为参数），则圆C的面积为____；圆心C到直线
y?sin??l:3x?4y?0的距离为____．
110．(x2?)4的展开式中x2的系数是____．
x
11．在△ABC中，a?3，b?2，?A?
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1?1，S2?S3，则数列{an}的通项公式可以是____．
?x≥1,?13．设不等式组?x?y≥3,表示的平面区域为D．若直线ax?y?0上存在区域D上的点，则
?2x?y≤5?π，则cos2B?____． 3实数a的取值范围是____．
14．地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，
疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 疏散乘客时间（s） A，B 120 B，C 220 C，D 160 D，E 140 A，E 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?(1?tanx)?sin2x． （Ⅰ）求f(x)的定义域；
（Ⅱ）若??(0,π)，且f(?)?2，求?的值．
16．（本小题满分14分）
如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB//CD//EF，AB?AD．CD?DA?AF?FE?2，AB?4．
（Ⅰ）求证：DF//平面BCE； （Ⅱ）求二面角C?BF?A的余弦值；
（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG?平面BCF？
请说明理由．
17．（本小题满分13分）
在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病
与某项身体指标（检
测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图： （Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；
（III）某研究机构提出，可以选取常数X0?n?0.5(n?N*)，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，
则判断其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的X0的值及相应的概率（只需写出结论）．
18．（本小题满分14分）
已知直线l:y?kx?1与抛物线C:y2?4x相切于点P． （Ⅰ）求直线l的方程及点P的坐标；
（Ⅱ）设Q在抛物线C上，A为PQ的中点．过A作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线l于M，N．记
△PMN的面积为S1，△QAM的面积为S2，证明：S1?S2．
19．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?lnx?ax，曲线y?f(x)在x?1处的切线经过点(2,?1)． x（Ⅰ）求实数a的值；
1（Ⅱ）设b?1，求f(x)在区间[,b]上的最大值和最小值．
b
20．（本小题满分13分）
数列An：a1,a2,,an(n≥2)的各项均为整数，满足：ai≥?1(i?1,2,,n)，且
a1?2n?1?a2?2n?2?a3?2n?3??an?1?2?an?0，其中a1?0．
（Ⅰ）若n?3，写出所有满足条件的数列A3； （Ⅱ）求a1的值； （Ⅲ）证明：a1?a2?
?an?0．
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数学（理科）参考答案及评分标准
2018.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 619．π， 10．6 11．
53112．?n?2（答案不唯一）13．[,3]14．D
2
注：第9题第一空3分，第二空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
π解：（Ⅰ）因为函数y?tanx的定义域是{x?R|x?kπ?,k?Z}，
2π所以f(x)的定义域为{x?R|x?kπ?,k?Z}．……………… 4分
2（Ⅱ）f(x)?(1?tanx)?sin2x
?(1?sinx)?sin2x……………… 5分 cosx?sin2x?2sin2x……………… 6分
?sin2x?cos2x?1……………… 7分
π?2sin(2x?)?1．……………… 8分
4π2由f(?)?2，得sin(2??)?．……………… 9分
42因为0???π，所以??2??所以2??π4π7π?，………………10分 44πππ3π?，或2???．………………11分 4444ππ解得??，或??（舍去）．………………13分
4216．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为CD//EF，且CD?EF， 所以 四边形CDFE为平行四边形，
所以DF//CE．…… 2分
因为DF?平面BCE，…… 3分
所以DF//平面BCE．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF内，过A作Az?AB．
因为 平面ABCD?平面ABEF，平面ABCDI平面ABEF?AB， 又 Az?平面ABEF，Az?AB， 所以 Az?平面ABCD，
所以 AD?AB，AD?Az，Az?AB．
如图建立空间直角坐标系A?xyz．……………… 5分
由题意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3,3)，F(0,1,3)．
所以BC?(2,?2,0)，BF?(0,?3,3)． 设平面BCF的法向量为n?(x,y,z)，
?????2x?2y?0,?n?BC?0,?则?即?
????3y?3z?0.?n?BF?0,?????????令y?1，则x?1，z?3，所以n?(1,1,3)．……………… 7分 平面ABF的一个法向量为v?(1,0,0)，……………… 8分
n?v5?． |n||v|5则cos?n,v??5．………………10分 5（Ⅲ）线段CE上不存在点G，使得AG?平面BCF，理由如下：………………11分
所以 二面角C?BF?A的余弦值解法一：设平面ACE的法向量为m?(x1,y1,z1)，
?????2x1?2y1?0,?m?AC?0,?则?即?
???3y?3z?0.??m?AE?0,?11?令y1?1，则x1??1，z1??3，所以m?(?1,1,?3)．………………13分
因为 m?n?0，
所以 平面ACE与平面BCF不可能垂直，
从而线段CE上不存在点G，使得AG?平面BCF．………………14分
解法二：线段CE上不存在点G，使得AG?平面BCF，理由如下：…………11分 假设线段CE上存在点G，使得AG?平面BCF， 设CG??CE，其中??[0,1]．
设G(x2,y2,z2)，则有(x2?2,y2?2,z2)?(?2?,?,3?)， 所以x2?2?2?，y2?2??，z2?3?，从而G(2?2?,2??,所以AG?(2?2?,2??,3?)．………………13分 因为AG?平面BCF，所以AG//n． 所以有
2?2?2??3???， 113?????????3?)，
因为上述方程组无解，所以假设不成立．
所以线段CE上不存在点G，使得AG?平面BCF．………………14分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100?a?1?0.10?0.35?0.25?0.15?0.10?0.05， b?1?0.10?0.20?0.30?0.40．……………… 4分
3.4?40人．… 2分 8.5（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，
有患病者40?0.20?8人，未患病者60?0.15?9人．……………… 6分 设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”．
2C99则P(A)?2?，……………… 8分
C1734所以P(A)?1?P(A)?25．……………… 9分 34（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的X0?4.5．………………11分 当X0?4.5时，判断错误的概率为
21．………………13分 10018．（本小题满分14分）
??y?kx?1,解：（Ⅰ）由?2得k2x2?(2k?4)x?1?0．①……………… 2分
??y?4x依题意，有k?0，且??(2k?4)2?4k2?0． 解得k?1．……………… 3分
所以直线l的方程为y?x?1．……………… 4分 将k?1代入①，解得x?1，
所以点P的坐标为(1,2)．……………… 5分 （Ⅱ）设Q(m,n)，则n2?4m，所以A(依题意，将直线y?m?1n?2,)．……………… 7分 22n?2分别代入抛物线C与直线l， 2(n?2)2n?2nn?2,)，N(,得M()．……………… 8分 16222(n?2)2nn2?4n?44m?4n?4m?n?1????因为|MN|?， ……… 10分 16216164m?1(n?2)2(8m?8)?(n2?4n?4)|AM|???21616