单元能力测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．已知c<0，则下列不等式中成立的是( )
1
A．c>2c B．c>(2)c
c1cc1c
C．2>(2) D．2<(2) 答案 D
2x＋1
2．函数f(x)＝2的定义域是( )
2x－x－1
????????1?1????A.x?x≠－2 B.x?x>－2? ????????????????????11???x≠－x>－??C.x且x≠1 D.x且x≠1? 22??????????答案 D
???2x＋1≥0，???1??.?x>－且x≠1解析 由题意，得2解此不等式组，得x?2??????2x－x－1≠0，
故选D.
b
3．已知f(x)＝x＋x在(1，e)上为单调函数，则b的取值范围是( ) A．(－∞，1]∪[e2，＋∞) B．(－∞，0]∪[e2，＋∞) C．(－∞，e2] D．[1，e2] 答案 A
解析 b≤0时，f(x)在(1，e)上为增函数
b
b>0时，当x>0时，x＋x≥2b
b
当且仅当x＝x即x＝b取等号，若使f(x)在(1，e)上为单调函数，则b≤1或b≥e
∴0 综上b的取值范围是b≤1或b≥e2，故选A. ?x＋y－4≤0 4．已知不等式组?x≥1 ?y≥0 x－y＋2≥0 表示的平面区域在圆M的内部(包括边 界)，则圆M半径的最小值为( ) 2253A.53 B.33 C.22 D.22 答案 D 解析 不等式组所表示的平面区域是如图所示的四边形ABCD，∠DAB＝∠BCD＝90°，当圆M以BD为直径时，半径最小，由B(4,0)，D(1,3)得，|BD|＝32， 3 故圆M半径的最小值为22. 5．已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|ka＋b＋c|>1，则实数k的取值范围是( ) A．k<0 B．k>2 C．k<0或k>2 D．0 解析 由|ka＋b＋c|>1得(ka＋b＋c)2>1， 111 即k2＋1＋1＋2k(－2)＋2k(－2)＋2×(－2)>1得k2－2k>0.∴k>2或k<0，故选C. f?x?－f?－x? 6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0 x 的解集为( ) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 答案 D 解析 由题意可得x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)<0；x∈(－1,0)∪(1，＋∞) ?x>0?x<02f?x? 时，f(x)>0.对于x<0，可化为?或?，因此不等式的解集为(－1,0) ?f?x?<0?f?x?>0 ∪(0,1)． ?x≤0， 7．若A为不等式组?y≥0， ?y－x≤2 表示的平面区域，则当a从－2连续变化到 1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( ) 37 A.4 B．1 C.4 D．2 答案 C 解析 根据题意作图如图． 11 图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S，S＝S△AOD－S△ABC＝2×2×2－2 17×1×2＝4. 8．设a、b、c为△ABC的三边，则( ) A．a2＋b2＋c2>a＋b＋c B．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac C．a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ac) D．a2＋b2＋c2>2(ab＋bc＋ac) 答案 C 解析 c2＝a2＋b2－2abcosC b2＝a2＋c2－2accosB a2＝b2＋c2－2bccosA ∴a2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2) －2(abcosC＋accosB＋bccosA) ∴a2＋b2＋c2＝2(abcosC＋accosB＋bccosA)<2(ab＋bc＋ac) 1－x 9．已知向量a＝(1，x)，b＝(x－1,1)，则|a＋b|的最小值是( ) A．1 B.2 C.3 D．2 答案 B 1 解析 a＋b＝(x，x)， 1 |a＋b|＝x2＋x2≥2；|a＋b|min＝2. 10．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( ) A．－3 B．1 C．－1 D．3 答案 A 解析 由题意：A＝{x|－1 11．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1) C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1) 答案 B 解析 方法一 本题分两步解答． 第一步，设3x＝t>0，则t2－(k＋1)t＋2>0在t>0时恒成立． 第二步分Δ<0和Δ≥0讨论． (1)由Δ<0，得－22－1 (2)当Δ≥0，即k≤－22－1或k≥22－1时， 则方程t2－(k＋1)t＋2＝0的大根t2≤0.∵t1·t2＝2>0，∴t2≠0. 又∵t1＋t2＝k＋1<0，即k≤－22－1. 由(1)、(2)知k的取值范围为(－∞，22－1)． 方法二 由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0， 22 解得k＋1<3x＋3x，而3x＋3x≥22，∴k＋1<22，k<22－1. 12．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( ) A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m 答案 C 24解析 令一直角边长为a，则另一直角边长为，斜边长为 a2＋2，周长 aa 242l＝a＋a＋ a2＋a2≥22＋2>4.8，当且a＝a时取等号． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a、b的值分别为________． 答案 －4,1 14．线性目标函数 ?x＋y－3≥0， z＝3x＋2y，在线性约束条件?2x－y≤0， ?y≤a 下取得最 大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________． 答案 [2，＋∞) 解析 ?x＋y－3≥0， 作出线性约束条件?2x－y≤0， ?y≤a 所表示的可行域如图所示，因为取得最 大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形及直线斜率可得实数a的取值范围是[2，＋∞)． 15. 某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润最大． 答案 5 解析 由图象知y＝－(x－6)2＋11， －?x－6?2＋11 ∴年平均利润为y＝ x 25 ＝12－(x＋x)≤12－10＝2， 25 当且仅当x＝x，即x＝5时取等号． 16. 从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________． 1 答案 2 12 解析 设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得a＋b＝1，且3≤a，b≤3，a＋b11 S＝a2＋b2≥2×(2)2＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 50x 17．(本小题满分10分)设f(x)＝2. x＋1 (1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值； (2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值． 答案 (1)25 (2)20 18．(本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f(x)＝a2x2－(a2－b2)x－4c2.若f(2)＝0，求角C的取值范围． 解析 若f(2)＝0，则4a2－2(a2－b2)－4c2＝0，∴a2＋b2＝2c2，∴cosC＝a2＋b2－c2c212222 2ab＝2ab.又2c＝a＋b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2.又∵C∈(0，π)，∴π0 →＝(1，cosx)，OQ→＝(cos x,1)，x∈[－π，π]， 19．(本小题满分12分)已知OP 44 →，OQ→>. 记f(x)＝cos (1)求函数f(x)的解析式； →，OQ→>的取值范围． (2)求cos →＝(1，cosx)，OQ→＝(cosx,1)， 解析 (1)∵OP→·→＝2cos x，|OP→|·→|＝1＋cos2x. ∴OPOQ|OQ2cos x→→∴f(x)＝cos 1＋cos2x ππ (2)∵x∈[－4，4]， 1， cosx＋cosx 2132 cosx∈[2，1]．∵2≤cosx＋cos x≤2， 2222→，OQ→>≤1. ∴3≤f(x)≤1，即3≤cos 2cosx→→ ∴f(x)＝cos 1＋cos2x 2 (Ⅰ)将y表示为x的函数； (Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解析 (Ⅰ)如图，设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360， 360 由已知xa＝360，得a＝x. 3602 所以y＝225x＋x－360(x>0)． 360 (Ⅱ)∵x>0，∴225x＋x≥2225×3602＝10800. 36023602 ∴y＝225x＋x－360≥10440.当且仅当225x＝x时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋4(a为非零实数)，设函数F(x)?f?x?，x>0，＝? ?－f?x?，x<0. (1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式； (2)设mn<0，m＋n>0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0? 解析 (1)∵f(－2)＝0， ∴4a＋4＝0，得a＝－1，∴f(x)＝－x2＋4， 2 ?－x＋4，x>0，F(x)＝?2 ?x－4，x<0. 2 2ax＋4，x>0，?2 (2)∵f(x)＝ax＋4，∴F(x)＝? 2 ?－ax－4，x<0. ∵mn<0，不妨设m>0，则n<0， 又m＋n>0，∴m>－n>0，∴m2>n2. ∴F(m)＋F(n)＝am2＋4－an2－4＝a(m2－n2)． ∴当a>0时，F(m)＋F(n)能大于0， 当a<0时，F(m)＋F(n)不能大于0. 22．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围； π (2)当x∈(0,1]时，y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤4，求a的取值范围． 解析 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立， ∵f′(x)是开口向下的抛物线， ?f′?0?≥0∴?，∴a≥3. f′?2?＝－12＋4a≥0? π (2)∵0≤θ≤4，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]． 据题意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立， 33 由－3x2＋2ax≥0，得a≥2x，a≥2， 31 由－3x2＋2ax≤1，得a≤2x＋2x. 313 又2x＋2x≥3(当且仅当x＝3时取“＝”)， ∴a≤3. 3 综上，a的取值范围是2≤a≤3.