学校代码： 10501 论文成绩： 学生学号：2220082279
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二○一二 年 六 月
灰色系统预测方法的研究及其应用
专业班级：信息与计算科学姓 名： 指导教师：
1班 梁万羽 a 桑琳 a
数学系
摘 要
灰色理论是一门新兴的交叉学科，它着重研究“小样本，贫信息”不确定性问题，研究“外延明确，内涵不明确的”对象，主要通过部分已知信息的生成、开发提取有价值的信息来实现对系统运行行为、变化趋势的确切描述和有效控制。
本文先介绍灰色系统的基本知识，建立基本灰色模型，并给出评价模型性能的方法；其次就如何改进模型，这里从两方面入手：一是根据新信息优先原则对公式进行改进，提高新信息在模型中的作用；另一方面是提高建模数据的光滑性，本文思想是在原始数据进行算子运算之前进行预处理，使其更能适应模型，最后对模拟数据进行还原。具体方法是采用函数化对原始数据进行预处理，本文采用幂函数，然后对模拟数据也用幂函数进行还原。经举例分析，改进模型的精度相比基本模型有所提高；
最后，用改进模型对辽宁省港口吞吐总量进行模拟预测，分析发现，用此方法建立的模型模拟度极高，预测误差小，关联度极高，说明用此方法建立的模型是一个极佳的预测模型。
关键字：灰色模型；算子；灰色关联；函数化
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ABSTRACT
The gray theory is an emerging cross-discipline, which focuses on \information \object, achieves the exact description of the behavior of the system's operating behaviors and changing trends ,and control effectively mainly by developing to extract useful information through the generation of some known information.
In this paper, introduces the basic knowledge of gray system, establishes a basic gray model and gives method for evaluation of model performance firstly. And then on how to improve model, here from two aspects. One is improving the formula to enhances the role of new information in the model base on the priority principle of new information .The other is improving the smoothness of model data, the ideas of this paper is making the raw data pretreated before it does operator operations, so that it can adapt to the model better, and restores the simulation data at last. The specific method is making a function of raw data at pretreatment, uses a power function at pretreatment and to restore the simulation data later in this paper. By the example analysis, the accuracy of the model is better then the basic model.
Using improved model to simulate and predict the total throughput of the port of Liaoning Province in the end, participants are found that the model are very high degree of simulation and the prediction error is small and has a high correlation degree with this method, it proves the model created with this method is an excellent predictive model.
Keyword: gray model; operation; gray relation; function
II
目 录
灰色系统预测方法的研究及其应用 ....................................................................................... 1 第1章 绪论 ............................................................................................................................. 1 1.1 灰色系统发展历程及背景 ............................................................................................ 1 1.2 应用分类 ........................................................................................................................ 2 1.3 本文的主要工作 ............................................................................................................ 3 第2章 基本概念 ..................................................................................................................... 4 2.1 灰数、灰代数方程与灰微分方程 ................................................................................ 4 2.2 冲击扰动系统和缓冲算子 ............................................................................................ 4 2.3 一般缓冲算子 ................................................................................................................ 6 2.4 均值生成算子 ................................................................................................................ 7 2.5 级比生成算子、累计生成算子和累减生成算子 ........................................................ 8 2.6 序列的光滑性 ................................................................................................................ 9 2.7 灰指数律 ...................................................................................................................... 10 第3章 灰色关联分析 ......................................................................................................... 11 3.1 灰色关联因素和关联算子集 ...................................................................................... 11 3.2 灰色关联公理与灰色关联度 ...................................................................................... 12 3.3 广义灰色关联度 .......................................................................................................... 14 3.4 灰色相对关联度与灰色综合关联度 .......................................................................... 15 第4章 灰色系统模型 ........................................................................................................... 16 4.1 建模步骤 ...................................................................................................................... 16 4.2 GM(1,1)基本模型 .......................................................................................................... 17 4.3 残差GM(1,1)模型 ........................................................................................................ 19 4.4 GM(1,1)模型误差计算 .................................................................................................. 21 4.5 三种GM(1,1)模型群 .................................................................................................... 22 4.6 GM(1,1)模型的适用范围 .............................................................................................. 24 4.7 GM(1,1)模型改进 .......................................................................................................... 25 4.8 对辽宁省港口吞吐总量的预测 .................................................................................. 29 第5章 总结 ........................................................................................................................... 32 参 考 文 献 ........................................................................................................................... 33 致 谢 ................................................................................................................................. 34 附录1 改进模型代码 .............................................................................................................. 1 附录2 原模型代码 .................................................................................................................. 3 附录3 综合关联度 .................................................................................................................. 5
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灰色系统预测方法的研究及其应用
灰色系统预测方法的研究及其应用
第1章 绪论
人类社会对自然界而言，既不是全部知道，也不是一无所知，而是半知半解的。许多系统如社会、经济、工业、农业等是根据对象所属领域和范围命名的，而灰色系统是按颜色命名。控制论中常以颜色值深浅来表示研究者对内部信息和对系统本身了解及其认识程度，用黑色表示信息未知，白色表示信息已知，而介于白色与黑色就是灰色，即部分信息未知，部分信息已知，有此类特征系统便是灰色系统。
1.1 灰色系统发展历程及背景
19世纪二、三十年代以后，随着科学技术的进步与发展，学科之间相互渗透，为灰色系统理论的产生创造了良好的条件。二次大战期间，由于战争的需要，各国加大了系统信息与控制的研究，以至于在40年代末诞生系统论、控制论、信息论三门学科。而在系统研究中，由于内外扰动因素的存在和认识水平的局限，人们所得到的信息往往会带有某种不确定性。而随着社会的进步和技术的发展，人类对系统不确定性的认识逐步深化，相关的研究也日益深入。20世纪后半叶，在系统科学领域不断的产生各种不确定性系统理论和方法。1965年，美国控制论专家L.A.查德船里模糊集理论，提出系统中的不确定性可以通过隶属度加以量化，但是由于模糊控制的举出理论部稳固，解决问题的方法还不够理想，特别是模糊控制中不带时间变量，因而不便表示控制过程，这就限制了它的发展。灰色系统理论就是在这样的历史背景下发展起来的，它集合了模糊理论集的精粹和考虑到系统的特点，用它来描述含有未知信息的系统非常合适；70年代起人们越来越认识到信息的重要性，认识到信息可以像材料和能源那样，加以充分利用，这样促进了信息的概念和方法广泛的渗透到各个学科技术领域，标志着交叉学科进入了迅速发展阶段。到1982年，北荷兰出版的《系统与控制通讯》杂志中刊载了我国著名教授邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文“灰色系统的控制问题”，与此同年《华中工学院学报》发表了邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科的诞生。
1985年灰色系统研究会成立，标志着灰色系统相关研究进入了迅速发展阶段；1989年海洋出版社出版了英文版《灰色系统论文集》，同年英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊发行；2002年，我国灰色系统研究者获得系统与控制世界组织奖；目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，世界上100多所大学开设了灰色系理论课程，甚至其中部分学校招收和培养灰色系统专业方向的博士、研究生，据数
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灰色系统预测方法的研究及其应用
据显示逾千名博士硕士运用灰色系统的思想方法开展科学研究并撰写学位论文；许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。SCI、EI、SA、MR、MA等国际权威检索机构已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。其中邓聚龙教授的灰色系统理论被引用次数居全国第一。中国国家科技部把灰色系统理论作为中国学者创立的软学科新方法给予肯定。
灰色理论是一门新兴交叉学科，它是系统论、信息论和控制论相互渗透发展的产物。相对于模糊数学和概率统计，灰色系统理论着重研究“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确” 的对象，主要通过部分已知信息的生成、开发提取有价值的信息，来实现对系统运行行为、变化趋势的确切描述和有效控制。主要内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型GM为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策控制、优化为主体的技术体系。灰色系统有6大特征，或称为6个基本公理，即①信息差异原理：凡是信息必有差异；②解的非唯一性原理：信息不完全，不确定的解是非唯一的；③最少信息原理：充分开发利用已有的极少量信息；④认知根据原理：信息是认知的根据；⑤新信息优先原理：新信息的认知作用大于老信息；⑥灰性不灭原理：信息不完全是绝对的。
随着灰色系统方法的日趋成熟,且因对实验观测数据没有什么特殊的要求与限制，其应用领域越来越广泛,主要集中在预报预测领域,例如船舶事故统计分析及预测,人才市场预测,灾难预测，人口预测,物流需求量预测,船舶应急疏散顺序优化等等.
1.2 应用分类
在自然科学和社会科学的各个领域中，常会遇到许许多多的灰色序列.对于这些的灰色序列分析,其目的也是多种多样的.在这将灰色序列分析的应用背景归纳为以下几类.
1. 系统预测 通过对原始数据的处理和灰色模型的建立，发现和掌握系统发展规律，对系统的未来做出科学的预测。如数列预测、灾难预测、区间预测等。
2. 灰色组合模型 将灰色系统模型或灰信息处理技术融入传统模型，提高传统模型的性能。如灰色时序模型、灰色人工神经网络模型等。
3. 灰色归类 根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测数据或观测对
象进行若干分类。
4. 灰色决策 即决策模型与灰色模型相结合的情况下进行决策。如灰靶决策、
灰色关联决策等。
5. 优化控制 通过灰色关联分析、灰色传递函数、灰色预测等方法，考虑系统
背景，调整系统中不同因素的效果或顺序，达到提高系统性能或效率。
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1.3 本文的主要工作
本文的主要目的是研究灰色系统预测方法,并用GM（1,1）的有关知识进行预报等.本文主要工作包括:
1.综述了灰色系统的一些基本概念,如会微分方程，灰色关联分析等。 2.介绍建立灰色模型的有关步骤和方法。
3.讨论了两种基本灰色模型GM（1,1）和残差GM（1,1）,及其应用范围，并对模型进行改进。
4.对模型的误差，可行性条件做了一些讨论，并给出对系统可靠性评价指标。 5.用改进模型对辽宁省港口吞吐总量进行预测。
3
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第2章 基本概念
2.1 灰数、灰代数方程与灰微分方程
灰数是灰色系统理论的基本“单元”，或称为“细胞”。灰色理论中把只知道大概范围而不知道确切值的数称为灰数。在实际应用中，灰数是指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。常用记号“?”表示灰数。
灰数主要有以下几类：
1仅有下界的灰数，记为?∈[a,?)，称??[a简称?的灰域。 ,?)为?的取数域，2仅有上界的灰数，记为?∈????,a??； 3区间灰数，记为?∈??a,a??； 4连续灰数与离散灰数。
5本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一些事前的预测值，宇宙总能量等等。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其代表的灰数。称此白数为相应灰数的白化值。
常见的一元代数方程，如ax?b?0，其中ab为常数，解得x??b，可见其解是
a唯一的，按灰色理论观点来说，它是一个不含灰元的方程，也称白方程；而含有灰元的代数方程叫灰代数方程，如?x?b?0，其中?为灰元，得其解x??b?，x的值并不唯一，随着灰元?不同而不同，当?取确切值时，x才有唯一解，故而可以把?x?b?0是很多个系数未定常数为b一元一阶方程代表符号；同样在微分方程中，系数中含有灰元的微分方程为灰微分方程，一阶一元灰微分方程如下：
dx??x?b dt其中?为灰元，b为给定的常数。灰色系统通过建立灰微分方程及其解来建模和预测。
2.2 冲击扰动系统和缓冲算子
由于周围环境或者其他因素的影响，我们所观测到的数据往往和系统本身的实际数据会有一些差别，一般把这些系统称为冲击扰动系统，其中影响系统的因素统称为冲击干扰项，记为?。
即假设系统的真实行为序列为
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x0??x0?1?,x0?2?,...,x0?n??
而得到的实验数据为
X??x?1?,x?2?,...,x?n????x0?1???1,x0?2???2,...,x0?n???n??X0??
,?n?为冲击扰动项，X称为冲击扰动序列。灰色系统预测就是其中，????1,?2,...通过利用灰色微分方程来减少扰动项对系统的影响，即实现x?x0（称为扰动还原），并以此建立可行性模型及用此模型来预测系统将来数据。
通过对大量原始数据观察，根据数据的整体走势可以把系统的行为序列可以归纳为三大类：
1. 若?k?2,3,...,n,x?k??x?k?1??0，则称X为单调增长序列； 2. 若1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列；
,n?,有x?k??x?k?1??0,x?k'??x?k'?1??0，则称X为随机3. 若?k,k'??2,3,...振荡序列。
4. 设M?max?x?1?,x?2?,...,x?n??,m?min?x?1?,x?2?,...,x?n??，则称M-m为序列X的振幅。
灰色系统理论[1-4]认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时间内变化的灰色量，并把随机过程看成为灰色过程。灰色系统理论是通过对原始数据的开发挖掘来寻求其变化规律的，而这种就数据找数据的规律在灰色系统中称为灰色序列生成，而原始数据一般都是经过特殊处理生成模型所需数据，即通过处理把X0?X1,通常记为
X1?X0D，称D为作用于X0的一个算子。
通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，可以很好消除或淡化冲击扰动对系统行为数据序列的影响，起到缓冲的作用。下面给出缓冲算子三公理：
公理2.2.1（不动点公理） 设X??x?1?,x?2?,...,x?n??为系统行为数据系列，D为序列算子，X?XD??x?1?d,x?2?d,...,x?n?d?，则D满足 x(n)d?x(n)。不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据x(n)保持不变。
公理2.2.2（信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每一个数据x?k?,k?1,2,...,n，都要充分地参与算子的作用全过程。
公理2.2.3（解析化、规范化公理）对任意的x?k?d,(k?1,2,...,n)，皆可由一个统一的
x?1?,x?2?,...,x?n?的初等解析式表达。
称满足以上三个公理的序列算子称为缓冲算子。其中不动点公理保证了最新数据
x?n?不变。一般通过算子对原始数据进行转化，使其满足光滑性、指数规律，满足一阶线性灰微分方程的建立条件。
5
灰色系统预测方法的研究及其应用
设X??x?1?,x?2?,...,x?n??为系统行为数据系列，D为作用于X的算子，X经过算子D作用后所得序列记为
XD??x?1?d,x?2?d,...,x?n?d?
称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。
序列算子的作用可以多次，即若D1,D2都是序列算子，称D1D2为二阶算子，并称
XD1D2??x?1?d1d2,x?2?d1d2,...,x?n?d1d2?
为二阶算子作用序列，同理，D1D2D3为三阶序列算子??
从算子的作用来看，基本可以分为两类，强化算子和弱化算子，定义如下 设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长序列，衰减序列或振荡序列时：
1.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，则称缓冲算子D为弱化算子。
2.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲算子D为强化算子。
2.3 一般缓冲算子
由上面可知，只要满足缓冲算子定义就是一个缓冲算子，所以理论上可以有许多各种各样的缓冲算子，下面给出一些较为常见的算子及其性质： ⑴平均弱化缓冲算子（AWBO）：设原始数据序列和其缓冲算子序列分别为
X??x?1?,x?2?,...,x?n?? （2.3.1）
XD??x （2.3.2） ,?x2d,?,xn d?1?d?...??1??x?1k??...???xn??，（k?1,2,...，n) ?x?k??n?k?1则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子。 ⑵设原始序列和其缓冲算子序列分别为（2.3.1）和（2.3.2）
若 x?k?d?若 x?k?d?x?1??x?2??...?x?k?1??x?k?,k?1,2,...,n?1
2k?1x(n)d?x(n)
则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化算子。
⑶ D为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）：设原始数据序列和其缓冲算子序列分别为（2.3.1）和（2.3.2）
若 x?k?d?kx?k?1????kk1?x???n?k??...???nx?1?kn??k1????,xk k?1,2..., ,n6
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则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子。
⑷几何平均弱化缓冲算子（GAWBO）：设非负的原始数据序列和其缓冲算子序列分别为（2.3.1）和（2.3.2）
若 x?k?d???x?k?x?k?1?...x?n???1n?k?11n?k?1?????x?i???i?k?n,k?1,...2,n ,则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化缓冲算子。
⑸ D为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）：设各时点的权重向量为
??(?1,?2,...,?n)，原始序列和其缓冲算子序列分别为（2.3.1）和（2.3.2）
若 x?k?d??kx?k???k?1x?1??...??n?x?n?k,k?1,2..., ,n?k??k?1?...??n则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化缓冲算子。
⑹平均强化缓冲算子（ASBO）：设原始数据序列和其缓冲算子序列分别为（2.3.1）和（2.3.2）
若
?n?x?k?d?x?k??x?k?1?2x??k?k1??...?,k?1,2..., ,n?x?n则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子。
⑺几何平均强化缓冲算子（GASBO）：设非负的原始数据序列和其缓冲算子序列分别为（2.3.1）和（2.3.2）
若 x?k?d?x2?k???x?k?x?k?1?...x?n???1n?k?1?x2?k??n?xi??????i?k?1n?k?1,k?1,2,...,n
则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子。
以上缓冲算子有强化弱化之分，也有程度大小之分，在实际应用中，应要充分考虑分析系统因素，以此来确定选择是强化缓冲算子还是弱化缓冲算子，同时确定还要选择是效果明显还是不明显的。尤其是加权算子，权值的取值取决于系统的背景，可加大对系统有意义的因素的权值，减少对系统无意义的因素的权值。此外，每组数据选择算子不一样，得到的模型也不一样，模型的精度也会不同，所以选取算子要慎重。
2.4 均值生成算子
在收集数据时，常常因为一些人为因素或者系统因素导致数据序列出现空缺（也称空穴），或者有些数据序列虽然完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据，这些异常数据对系统有巨大的扰动作用，所以往往会被剔除掉，而剔除数据后就会留下空穴，如何填补空穴，自然成为数据处理过程中首先遇到的问题。均值生成是常用的构造新数据，填补原序列空穴，生成新序列的方法。
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灰色系统预测方法的研究及其应用
定义2.4.1 设序列X在k出现有空穴，记为?(k)，即 X??x?1?,x,?,x?k?1??2?...?, （2.4.1） k1,???x, n?k?,x??...则称x?k?1?和x?k?1?为??k?的界值，其中x?k?1?为前界，x?k?1?为后界，当
??k?是由x?k?1?和x?k?1?生成时，称生成值x?k?为??x?k?1?.x?k?1???的内点。 定义2.4.2 设序列如（2.4.1），为k处有空穴?(k)的序列，若
?(k) =x*(k)?0.5x(k?1)?0.5x(k?1)
则称?(k)为非紧邻生成数，由非紧邻生成数构成的序列称为非紧邻生成序列。 定义2.4.3 设序列X??x?1?,x?2?,...,x?n??，若
x*(k)?0.5x(k?1)?0.5x(k)
则称x*(k)为紧邻生成数，由紧邻生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。
2.5 级比生成算子、累计生成算子和累减生成算子
当序列的起点x(1)和终点x(n)为空穴时，即x?1????1?,x?n????n?，此时无法用均值生成填补空穴，常用级比生成来填补序列端点空穴，生成新序列。定义如下
设序列X??x?1?,x?2?,...,x?n??，则称 ?(k)?x(k);x(k?1)k?2,3,...,n （2.5.1）
为序列Ｘ的级比。则当
X????1?,x?2?,...,x?n?1?,??n?? （2.5.2）
利用级比生成为 x?1??x?2???3?,x?n??1?????xn （2.5.3） n??1用式子（2.5.3）替换（2.5.2）中的?(1)和?(n)所生成的序列叫级比生成序列。 累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它是灰色系统在建模前对数据进行处理常用的一种方法。通过数据累加可以看出灰量的积累过程及变化趋势，弱化原始数据的随机性，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。定义如下
,x0?n??，Ｄ为序列算子 设X0??x0?1?,x0?2?,...X0D?x0?1?d,x0?2?d,...,x0?n?d
??其中 x?k?d??x0?i?,k?1,2,...,n
0i?1k则称Ｄ为X0的一次累加生成算子，记为1-AGO（Accumulating Generation Operator）,称r阶算子Dr 为X0 的r 次累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，记
8
灰色系统预测方法的研究及其应用
X0D?X1??x1?1?,x1?2?,...,x1?n??
X0Dr?Xr??xr?1?,xr?2?,...,xr?n??
rk其中 x?k?d??xr?1?i?,k?1,2,...3,n ,i?1,x0?n??，D为序列算相对于累加，类似的有累减算子，即设X0??x0?1?,x0?2?,...,x0?n?d?，若 子X0D??x0?1?d,x0?2?d,...x0?k?d?x0?k??x0?k?1?,k?2,3,...,n;x0?1?d?0
则称Ｄ为X0的一次累减生成算子，记为IAGO.
2.6 序列的光滑性
灰色系统建模对原始数据没有什么特殊要求，但对建模数据却要满足必要条件，GM模型建立须建模数据为光滑的，且GM模型的可靠性及预测精度一般也取决于建模数据的光滑性，所以在理论上，通过利用算子改善数据的光滑性是提高GM模型精度的有效方法[5]。
处处可导是光滑连续函数的特性，而序列是由离散的单个点构成，根本无导数可言，因此不能用导数研究序列的光滑性，在这从另外一个角度来研究光滑序列的特性，若某序列具有与光滑连续函数大致相似的特性，便认为次序列是光滑的[6]，定义如下 定义2.6.1 设序列X??x?1?,x?2?,...,x?n?,x?n?1??，Z是X的均值生成序列：
Z??z?1?,z?2?,...,z?n??
,n，z?1??x?1? 其中 z?k??0.5x??1?0.?5x?，kk?2,3,...?kX*是某一可导函数的代表序列，将X删去x(n?1)后所得的序列仍记X，若X满足
1.当k充分大时，x(k)??x(i)
i?1k?12.maxx*(k)?x(k)?maxx*(k)?z(k)
1?k?n1?k?n则称Ｘ为光滑序列，条件１，２为序列光滑条件。 定义2.6.2 称?(k)?x(k)?x(i)i?1k?1;k?2,3,...,n，为序列Ｘ的光滑比。
光滑比反映了序列的光滑性，用序列中第k个数据与之前k-1个数据之和之比来检查序列数据的变化是否平稳。显然，当为单调递增序列时，光滑比越小光滑性越强，单调递减序列则反之[7]。光滑性条件要求比较苛刻 ，然而有时候数据明显不符合要求，因此可把条件放宽一些，认为满足准光滑性就可以建立灰微分模型。 定义2.6.3 若序列Ｘ满足
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灰色系统预测方法的研究及其应用
1.
?(k?1)?1;?(k)k?2,3,...,n?1
2. ?(k)?[0,?];3. ??0.5
k?3,4,...,n
则称Ｘ为准光滑序列。
弱化缓冲算子可以提高序列光滑性[8]，而强化缓冲算子却在降低序列光滑性的同时提高预测精度[9]。提高序列的光滑性和消除重聚扰动系统因素的影响是提高灰建模精度的两个不同方面，但也有区别，序列光滑性是影响稳定系统建模精度的主要因素，而系统冲击扰动的是影响冲击扰动系统的主要因素，灰色理论思想是在保证光滑性的前提下，消除系统冲击扰动的影响，提高预测精度。
2.7 灰指数律
建模数据除了要满足光滑性意外，还必须满足灰指数律。因为灰色建模是一种有偏差的建模方法，建立的模型为指数模型，所以当生成指数规律越明显，越有助于提高系统精度。
,x(n))，若对于 定义2.7.1 设序列X?(x(1),x(2),...1. x(k)?ceak;2. x(k)?ceak?b;c,a?0;k?1,2,...,n，则称X为齐次指数序列。 c,a,b?0;k?1,2,...,n，称X为非齐次指数序列。
,x(n))，若 定义2.7.2 设序列X?(x(1),x(2),...1.?k,?(k)?x(k)?(0,1]，则称序列X具有负的灰指数规律。
x(k?1)x(k)?(1,b]，则称序列X具有正的灰指数规律。
x(k?1)x(k)?[a,b],b?a??则称序列X具有绝对灰度为?的灰指数规律。
x(k?1)02. ?k,?(k)?3. ?k,?(k)?4.??0.5时，称X具有准指数规律。 定理2.7 设序列X0??x0?1?,x0?2?,...,x0?n??为非负准光滑序列，则X的一次
1累加生成序列X具有准指数规律。此定理是灰色系统建模的理论基础。
一般非负准光滑序列经过累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似指数增长规律，原始数据越光滑，生成后指数规律越明显，所以为了得到较好的光滑性，可以对原始数据进行多层累加，但这并不意味着越多越好，当x0的r次累加生成已具有明显的指数规律时，再累加生成反而会破坏规律性，使指数规律变灰，因此累加生成要适可而止。根据定理2.7，对于非负准光滑序列，只需进行一次累加生成即可建立模型。
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灰色系统预测方法的研究及其应用
第3章 灰色关联分析
3.1 灰色关联因素和关联算子集
一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用决定了该系统的发展态势。因此需要区分众多因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用，哪些因素对系统发展起阻碍作用??这些都需要人类去辨别并加以利用，加强有利因素，抵制或消除抑制因素。
灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，相似程度不仅仅是距离大小，还是变化速率和变化趋势上的接近。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小[10-12]。
进行系统分析，选准系统行为特征的映射量后，还需进一步明确哪些因素对系统行为的影响较大。而要作量化研究分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理，一般通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。下面为五个关联算子
定义3.1.1 初值化算子：设Xi?(xi(1),xi(2),...,xi(n))为因素Xi的行为序列，D1为序列算子，且
XiD1)d1,xi(2)d1,...,xi(n)d1) 1?(xi(xi(1)xi(1)?0;k?1,2,...,n其中 xi(k)d1?xi(k)
则称D1为初值化算子。XiD1为Xi在初值化算子D1的象，简称初值象。 定义3.1.2 均值化算子：设Xi?(xi(1),xi(2),...,xi(n))为因素Xi的行为序列，D2为序列算子，且
XiD2?(xi(1)d2,xi(2)d2,...,xi(n)d2)
xi(k)1n其中 xi(k)d2??x(k)ik?1n;k?1,2,...,n
则称D2为均值化算子。XiD2为Xi在均值化算子D2的象，简称均值象。 定义3.1.3 区间化算子：设Xi?(xi(1),xi(2),...,xi(n))为因素Xi的行为序
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灰色系统预测方法的研究及其应用
列，D3为序列算子，且
XiD3?(xi(1)d3,xi(2)d3,...,xi(n)d3) 其中
xi(k)d3?xi(k)?minxi(k)kmaxxi(k)?minxi(k)kk;k?1,2,...,n
则称D3为区间化算子。XiD3为Xi在区间化算子D3的象，简称区间值象。 定义3.1.4 逆化算子：设Xi?(xi(1),xi(2),...,xi(n))，x(k)?[0,1]为因素
Xi的行为序列，D4为序列算子，且
XiD4?(xi(1)d4,xi(2)d4,...,xi(n)d4) 其中 xi(k)d4?1?xik(k)?;1...,2n, ,则称D4为逆化算子。XiD4为Xi在区间化算子D4的象，简称逆化值象。 定义3.1.5 倒数化算子：设Xi?(xi(1),xi(2),...,xi(n))，x(k)?[0,1]为因素Xi的行为序列，D5为序列算子，且
XiD5?(xi(1)d5,xi(2)d5,...,xi(n)d5) 其中 xi(k)d5?1xi(k)xik(?)0k?;1...,2n,
,则称D5为逆化算子。XiD5为Xi在区间化算子D5的象，简称倒数值象。 设X为系统因素集合，则D?{Di|i?1,2,3,4,5}为灰色关联算子集，且称（X,D）为灰色关联因子空间。
3.2 灰色关联公理与灰色关联度
两个序列的相关程度计算并不是杂乱无章的，而是体现出一些性质。如两个完全相同序列的关联度为1，完全不相关则无限趋近于0，几何曲线越接近，关联度越大等等，归纳如下
定义3.2.1（灰色关联公理）
设X0?(x0(1),x0(2),...,x0(n))为系统特征序列，且
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灰色系统预测方法的研究及其应用
X1?(x1(1),x1(2),...,x1(n)) ??????????????
Xi?(xi(1),xi(2),...,xi(n)) ??????????????
Xm?(xm(1),xm(2),...,xm(n)) （3.2.1）
1n为相关因素序列，给定实数r(x0(k),xi(k))，若实数r(X0,Xi)??r(x0(k),xi(k))，
nk?1满足
1.规范性 0?r(X0,Xi)?1,r(X0,Xi)?1?X0?Xi 2.整体性 对于?Xi,Xj?X??XS|s?0,1,...,m;m?2 r(Xi,Xj)?r(Xj,Xi)3.偶对对称性 ?Xi,Xj?X，有
?有
i?j
r(Xi,Xj)?r(Xj,Xi)?X?{Xi,Xj}
4.接近性 |x0(k)?ix(k越小，)|r(x0(k),xi(k))越大。
1n则称r(X0,Xi)??r(x0(k),xi(k))为Xi,Xj?X的灰色关联度，其中
nk?1r(x0(k),xi(k))为Xi和Xj在k点的关联系数，并称条件1.2.3.4为灰色关联四公理。
在灰色关联公理中，规范性0?r(X0,Xi)?1表明系统中任何两个行为序列都不可能严格无关联。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度也随之变化，因此对称性不一定满足。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中有且只有两个序列时，满足对称性。接近性是对关联量化的约束，越是接近，关联度越大。 定义3.2.2（灰色关联度）： 设系统行为序列如式子（3.2.1）
对于??(0,1) 令
r(x0(k),xi(k))?minminx0(k)?xi(k)???maxmaxx0(k)?xi(k)ikikx0(k)?xi(k)???maxmaxx0(k)?xi(k)ik
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灰色系统预测方法的研究及其应用
1n1n记 r(x0(k),xi(k))为r0i(k)，r(X0,Xi)??r(x0(k),xi(k))??r0i(k)
nk?1nk?11n则 r(X0,Xi)??r(x0(k),xi(k)) （3.2.2）
nk?1满足灰色关联公理，其中?称为分辨系数。r(X0,Xi)称为X0,Xi的灰色关联度，记为r0i[13]。
3.3 广义灰色关联度
上面灰色关联度只是在对应因素上体现出两个序列的相似程度，即先计算局部相似程度，再求平均值得总关联度，并没有在整体上趋势计算关联度，一般称上面为狭义关联度，下面给出广义关联度 引理 设
X0? x ( n ) (3.3.1) （x0(1),）,0x(2),...0 (3.3.2) Xi?（xi(1),xi(2),...,xi(n)）00而 X00?（x00(1),）, x(n)0x(2),...0 Xi0?（xi0(1),xi0(2),...,xi0(n)）0其中 x00(k)=，x(k)-xx((k)=x)i(k)-xi(1) 00i1分别为X0与Xi的始点化像，，则记
n?1101 |s0?|?|x0(k)+x0(n)，| |si?|?|xi0(k)+xi0(n)及|
22k?2k?20n?1
1|si?s0|?|?(xi0(k)-x00(k))+(xi0(n)-x00(n))|
2k?2n?1定义3.3.1 设序列X0,Xi如(3.3.1)和(3.3.2)，s0，si如引理中所示，则称
?0i?1?|s0|?|si| （3.3.3）
1?|s0|?|si|?|si?s0|为X0与Xi的灰色绝对关联度，简称绝对关联度，也称广义关联度。绝对关联度满足灰色关联公理中规范性，偶对对称性与接近性，但不满足整体性。
灰色绝对关联度?0i具有如下的性质：
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灰色系统预测方法的研究及其应用
①显然0??0i?1；②?0i只与X0与Xi几何形状有关，而与其它无关；③任何两个序列都不是绝对无关的，即?0i恒不为零；④X0与Xi几何形状相似程度越大，?0i越大；⑤当X0或Xi中任一观测数据变化了，?0i也随之变化；⑥X0与Xi长度变化，?0i也变化；⑦同一性，?00??ii?1；⑧对称性，?0i??i0。
3.4 灰色相对关联度与灰色综合关联度
上面的两个关联度只是在距离上计算，然而就距离而言，和一个数相比大多少和小多少距离都是一样的，这样一来就不能充分说明相似度，在此给出从变化速率和趋势上计算关联度的方法
?与Xi?分别为X0与Xi的定义3.4.1 设序列X0与Xi长度相同，且初值皆不等于零，X0?与Xi?的灰色绝对关联度为X0与X1的灰色相对关联度，简称为相对初值像，则称X0关联度，记为R0i。
相对关联度表征了序列X0与Xi相对与始点的变化速率之间的关系，X0与Xi的变化速率越接近，R0i越大，反之越小。设序列X0与Xi长度相同，且初值皆不等于零，若X0?cXi，其中c?0为常数，则R0i?1。灰色相对关联度R0i的性质类似?0i。 定义3.4.2 设序列X0与Xi长度相同，且初值皆不等于零，?0i和R0i分别为X0与Xi的灰色绝对关联度和相对关联度，??[0,1]则称
?0i???R)0 i (3.2.4) 0i?(1??为X0与Xi的灰色综合关联度，简称综合关联度。一般取??0.5。
综合关联度(3.2.4)既体现了折线X0与Xi的相似程度，又反映了X0与Xi相对于始点的变化速率的接近程度，是较为全面的表征序列之间联系是否紧密的一个数量指标。在后面将用到关联度来判断建立的模型是否符合需要。
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s31=abs(s31);
p1=(1+s11+s21)/(1+s11+s21+s31); q=(p+p1)/2;
s1 s2 s3
p ％绝对关联度 s11 s21 s31 p1
q
％相对关联度 7