习 题 4
4.1 尺寸为a?b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上
透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在
孔径轴上的强度分布：
22??1,a?x0?y0?1 (1) t(x0,y0)?circ(x?y) (2) t(x0,y0)?? ??0,其它20204.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： t(x0)?a?bcos(2?x0/d)
式中，d为光栅的周期，a?b?0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定
单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
zrd2zrd2 (1) z?zr? (2) z?? (3) z??
?2?42?2d2 式中：zr为泰伯距离。
4.4 参看下图，用向P点会聚的单色球面波照明孔径?。P点位于孔径后面距离为z的观察平
面上，坐标为(0,b)。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
4.5 方向余弦为cos?,cos?，振幅为A的倾斜单色平面波照明一个半径为a的圆孔。观察平面
位于夫琅禾费区，与孔径相距为z。求衍射图样的强度分布。 4.6 环形孔径的外径为2a，内径为2?a(0???1)。其透射率可以表示为：
?1,?a?r0?a t(r0)??
?0,其他
1
用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强
度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为d(d??a)。采用
单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y方向截面图。
4.8 参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在
(x?,y?)点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅
禾费射图样的光场分布。画出x??y??0时，孔径频谱在x方向上的截面图。
4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距d。采用单
位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定b?4a及d?1.5a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。
4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即： t(x0)?step(x0)
2
采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图
样的复振幅分布。画出沿x方向的振幅分布曲线。
4.11 下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差π。采用单
位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿x方向的截面图。
4.12 线光栅的缝宽为a，光栅常数为d，光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件，
分别确定a和d之间的关系：
(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。 (2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。 4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为： t(x?combx)co0ymb?b(0,y0)0(a//)c?xomb[a(0a0.10) /y)b]comb(/) 采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强
度分布。画出沿x方向的截面图。
4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为?，光栅的
整体孔径为边长为L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，?角应如何选择？
4.15 衍射零是由m?n个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a，其中心在x0方向间距为
3
dx，在y0方向间距为dy，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.16 在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a。采用单
位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
习 题 5
5.1 下图所示楔形薄透镜，楔角为?，折射率n，底边厚度为?0。求其位相变换函数，并利
用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角?。
5.2 见下图，点光源S与楔形薄透镜距离为z0，它发出倾角为?的傍轴球面波照棱镜，棱镜楔
角为?，折射率n。求透射光波的特征和S点虚像的位置。
5.3 采用如下光路对某一维物体作傅里叶分析。它所包含的最低空间频率为20/mm，最高空
间频率为200/mm。照明光的波长?为0.6?m。若希望谱面上最低频率成分与最高频率成分之间与最高频率之间间隔50/mm，透镜的焦距应取多大？
4
5.4 对于下图所示的变换光路，为了消除在物体频谱上附加的位相弯曲，可在紧靠输出平面
之前放置一个透镜。问这个透镜的类型以及焦距如何选取？
5.5 参看下图，单色点光源S通过一个会聚透镜在光轴上S'位置。物体(透明片)位于透镜后方，
相距S'的距离为d，波完全相同。求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。
5.6 如下图所示，透明片t1(x1,y1)和t2(x2,y2)分别紧贴在焦距为f1?2a,f2?a的两个透镜之
前。透镜L1,L2和观察屏三者间隔相等，都等于2a。如果用单位振幅单色平面波垂直照明，求观察零上的复振幅分布。
5.7 一个被直径为d的圆形孔径的物函数U0，把它放在直径为D的圆形会聚透镜的前焦面上，
测量透镜后焦面上的强度分布。假定D?d。
(1) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算D?6cm，
d?2.5cm，焦距f?50cm以及??0.6?m时，这个频率的数值(单位：/mm)
(2) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率
5
分量。
5.8 一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数(见下图)：
1 t(r0)?[1?cos(ar02)]circ(r0/l)
2 (1) 这个屏的作用类似于透镜，为什么？
(2) 给出此屏的焦距表达式？
(3) 这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制(特别对于多色物体成像)？
5.9 下图所示为菲涅尔波带片的复振幅透过率
1 t(r0)?[1?sgn(cosar02)]circ(r0/l)
2证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜。确定这些焦距的大小。
5.10 单位振幅的单色平面波垂直照射一个直径为5cm、焦距为80cm的透镜。在透镜后面20cm
的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为：
? t(x0,y0)1(?12c?os2f0x0)rex(0ctL/)yr eLct(0/) 假定L?1cm，f0?100/mm。画出焦平面上沿xf轴强度分布。标出各衍射分量之间距离和各个分量(第一个零点之间)的宽度的数值。
习 题6
6.1 下图所示为两个相干成像系统。所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑直径为D，
双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径l应等于多大(相对于D)写出关系式。
6
6.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为：
? t(x0,y0)1(?12c?os2f0x
)放在下图所示成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为?。透镜焦距为f，孔径为l。 (1) 求物体透射光场的频谱。
(2) 使像平面出现条纹的最大?等于多少？求此时像面强度分布。
(3) 若?采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与??0时截止频
率比较，结论如何？
6.3 下图所示相干成像系统中，物体复振幅透过率为：
? t(x,y)1[?12cfos?(fby ax)] 为了使像面能得到它的像，问： (1) 若采用圆开光阑，直径应大于多少？ (2) 若采用矩形光阑，各边边长就大于多少？
6.4 当点扩散函数hI(xi,yi)成点对称时，证明OTF为实函数，即等于调制传递函数。 6.5 一个非相干成像系统，出瞳由两个正方形孔构成。如下图所示，正方形孔的边长a?1cm，
两孔中心距b?3cm。若光波波长??0.5?m，出瞳与像面距离di?10cm，求系统的OTF，画出沿fx和fy轴的截面图。
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6.6 物体的复振幅透过率可以用矩形波表示，它的基频是50/mm。通过圆形光瞳的透镜成像。
透镜焦距为10cm，物距为20cm，照明波长为??0.6?m。为了使像面出现条纹，在相干照明和非相干照明的条件下，分别确定透镜的最小直径应为多少？ 6.7 若余弦光栅的透过率为： t(x,y)??abco?s?2 fx 式中，a?b?0。用相干成像系统对它成像。设光栅频率f?足够低，可以通过系统。忽
略放大和系统总体衰减，并不考虑像差。求像面的强度分布，并证明同样的强度分布出现在无穷多个离焦的像平面上。 6.8 物体的复幅透过率为 t1(x)?cos?(2xb /) 通过光学系统成像。系统的出瞳是半径为a的圆孔径，且?di?a?2?di/b。di为出瞳到像面的距离，?为波长。问对该物体成像，采用相干照明和非相干照明，哪一种方式更好？ 6.9 在上题中，如果物体换为 t1(x)?cos?(2 /)xb 结论如何？
6.10 利用施瓦兹不等式证明OFT的性质：|H(?,?)|?|H(0,0)|。
6.11 一个非相干成像系统，出瞳为宽为2a的狭缝，它到像面的距离为di。物体的强度分布为：
?f x g(x)????cos?2 条纹的方向与狭缝平行。假定物体可以通过系统成像，忽略总体衰减，求像面光强分布(照
明光波长为?)。
6.12 下图所示成像系统，光阑为双缝，缝宽为a，中心间隔为d，照明光波长为?。求下述
情况下系统的脉冲面积响应和传递函数，画出它们的截面图。 (1) 相干照明；(2) 非相干照明。
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6.13 下图所示非相干成像系统，光瞳为边长l的正方形。透镜焦距f?50mm，光波长
??0.6?10?3mm，若物面光分布为：
? I(x)?11cos(?60x 0214) 希望像面光强分布为：
1 Ii(x)?C[?cos(?60x 0)] 式中，C为总体衰减系数。
(1) 画出系统沿fx轴的OTF截面图。 (2) 光瞳尺寸l应为多少？
1(3) 若物面光强分布改为I(x)?1?cos(600?x)，求像面的光强度分布I'i(x)。
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6.14 如下图所示，它表示非相干成像系统的出瞳是由大量无规分布的小孔所组成。小孔直径
都为2a，出瞳到像面距离为di，光波长为?，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？
6.15 在上题中，出瞳面上小孔改为规则排列，例如构成一个方形列阵，系统的OFT发生什么
变化？
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