[课时作业] [A组 基础巩固]
1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题． 答案：B
2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B全是锐角”的否命题为( ) A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B全不是锐角 B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不全是锐角 C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B中必有一个钝角 D．以上均不对
解析：“全是”的否定是“不全是”，故选B. 答案：B
3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：∵x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0.∴x＝3或x＝6.∴逆命题为假，从而否命题为假．
又原命题为真，则逆否命题为真． 答案：B
4．下列说法中错误的个数是( )
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”． 答案：C
5．命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是( ) A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数 B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数 C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数 D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数 解析：等价命题即为逆否命题，故选B. 答案：B
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题． 答案：假命题
7．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有__________个．
解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题． 答案：2
8．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：逆命题为“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋1”，是真命题， ∴(1,2)?(m－1，m＋1)， ?m－1≤1，即?∴1≤m≤2. ?m＋1≥2，答案：[1,2]
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；
(2)函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2<0. 解析：(1)逆命题是：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题； 否命题是：若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题；
逆否命题是：若实数a，b，c满足b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题． (2)逆命题：若loga2<0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，是真命题；
否命题：若函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则loga2≥0，是真命题；
逆否命题：若loga2≥0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，是真命题．
1
10．写出命题“若a≥－4，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
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解析：逆命题：若方程x2＋x－a＝0有实根，则a≥－4，否命题：若a<－4，则1
方程x 2＋x－a＝0无实根，逆否命题：若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<－.由
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Δ＝1＋4a≥0可得a≥－4，所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．
[B组 能力提升]
1．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是( ) A．逆命题为“单调函数不是周期函数” B．否命题为“周期函数是单调函数” C．逆否命题为“单调函数是周期函数” D．以上三者都不对
解析：其逆命题、否命题、逆否命题的表述都不正确． 答案：D
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限时，该函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C. 答案：C
3．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__________________，是________命题(填“真”或“假”)． 解析：等价命题即为原命题的逆否命题． 由于原命题是真命题，∴逆否命题也是真命题．
答案：已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 真 4．设有两个命题：
①关于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R； ②函数f(x)＝logmx是减函数(m＞0且m≠1)．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m的取值范围是________． 解析：对①当m＝0时，1≥0，mx2＋1≥0的解集是R， ?m＞0，
当m≠0时，?∴m＞0，
Δ＝－4m≤0，?∴①为真命题时，m≥0. 对②，∵f(x)＝logmx是减函数， ∴0＜m＜1，而②为真命题时，0＜m＜1. ?m≥0，
当①真②假时，有?即m＞1；
?m＞1，?m＜0，
当①假②真时，有?即m∈?.
?0＜m＜1，答案：m＞1
5．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假． 解析：∵m>0，∴12m>0， ∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．