高等代数
2010年
一 (20分) 证明:设f1?x?,???,fm?x?,g1?x?,???,gn?x?是数域P上的多项式,
证明: (f1?x?,???,fm?x?,g1?x?,???,gn?x?)?1的充分必要条件是fi(x),gj?x??1,其中
??i?1,???,m,j?1,???,n
a?b1二(20分) 计算n阶行列式Dn?aba?b1?000ab?00??00?000?0aba?b
0?00a?b??a?b?ab三(20分) 设A为n?n矩阵,证明:存在一个n?n非零矩阵B使得AB?0的充分必要条件是A?0
四(25分) 把二次型f?x1,x2,x3,x4??x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x2x3?2x3x4化为标准
2222型,写出所做的可逆线形变换.
五(20分) 设V1,V2是线性空间V的两个非平凡子空间,证明: V1?V也是的子空间的充分必要条件是V1?V2,或者. V2?V1
?3?2?4???六(30分) 设矩阵A??26?2 ?????4?23?? (1) 求矩阵A的特征值与特征向量: (2)求一可逆矩阵T,使TAT成对角形.
七(15分) 设V是维欧几里得空间,证明:如果
?1?1,?2?V,使对任一??V有
??1,?????2,??,则?1??2
2009年
一(20分) 设f?x?,g?x?,d?x?是三个多项式,证明:
?f?x?,g?x???d?x?的充分必要条
件是
d?x?d?x??f?x?g?x??,?1 ,其中?f?x?,g?x??表示f?x?和g?x?的首项系,且?,???f?x?g?x??d?x?d?x??数为1的最大公因式, d?x?的首项系数为1 .
?x1?x2?x3?x4?0?x?2x?3x?ax?0234?1二(30分) 当参数a,b为何值时,方程组?无解?有唯一解?有无穷2?x1?4x2?9x3?ax4?0?x?8x?27x?a3x?b234?1多解?并在有无穷多个解时求出全部解.(即一般解或通解)
三(15分) 设A,B为n?n矩阵,证明:如果AB?0,那么秩(A)+秩(B)?n
222四(30分) 设二次型f?x1?x2?x3?2ax1x2?2x1x3?4bx2x3通过正交变换化为标准型22,求参数a,b的值及所用的正交变换. f?y2?2y3五(20分) 设V?P2?2为数域P上的2?2全体矩阵构成的线形空间.证明:
?1???10??11??11??11?,,,??????234??????为线性空间V的一组基.求??00??10??11??00??12?????在这组基下的坐标(写成列向量的形式)
34??六(20分) 在n维线形空间V中,设有线性变换A和向量??0,使得An?1??0,但An?1??0,证明: (1)
?,A?,?,An?1? 线形无关
?00?00??10?00???(2) 线性变换A在某组基下的矩阵是?01?00?
???????????00?10??七(15分) 设A,B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵T使TAT?B的充分必要条件
?1A,B是的特征多项式的根全部相同.
2008年 一
(20
分
),设
f?x?,g?x?是数域
P,
上的两个多项式,
a,b,c,d?Pf1?x??af?x??bg?x?g1?x??cf?x??dg?x?ad?bc,?f?x?,g?x???1证明?f1?x?,f1?x??g1?x???1
11二(20分) 计算f?x?1??f?x?,其中f?x??023?n003?2Cn000?3Cn?????000?n?1Cnxx2x3?xnxn?1
1?123n?1_1n?1CnCn?Cn?1?1?12三(20分) 设n阶方阵A满足A?4A?6E?0,其中E是单位矩阵,证明: A?E可逆,并求
其逆矩阵.
222四(30分) 把二次型f?x1,x2,x3??3x1?4x2?5x3?4x1x2?4x2x3化为标准型,写出所做的
可逆线性替换,并判别其是否正定. 五(20分) 在R中,记子空间,
nW1?W2?
???x,x,?,x??R|x?x12n12???xn?0?,
???x,x,?,x??R|x12n1?x2???xn证明: Rn?W1?W2
?六(30分) 设?1,?2,?3是数域P上三维线性空间V的一组基,线性变换?在这组基下的矩阵
?142???为: A?0?34 ????043?? (1) 求?的特征值与特征向量;
(2) 求一可逆矩阵T,使TAT成对角形.
?七(10分) 设?为维欧式空间V的正交变换, W是?的不变子空间,证明: W的正交补W?1也是?的不变子空间. 2007年
332一(25分) 设f?x?,g?x?多项式满足: fx?xgx?1?x?xk?x?,证明: x?1是
??????f?x?,g?x?的公因式
a01二(25分) 计算行列式D?11a10010??100,其中a0,a1,?,an均不为零.
?????10?ana2?
222三(30分) 将二次型f?x1,x2,x3??x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3化为标准型,并写出所有
的线性替换.
?221??14?????四(20分) 已知A?11?1 ,B??13,解矩阵方程: AX?B求矩阵X. ????????101???32??五(30分) 设?1,?2,?3,?4是数域上的F四维线性空间V的一组基,线性变换?在这组基下的
?1111??11?1?1??,求线性变换?的特征值与特征向量. 矩阵为A???111?1????1?1?11?六(20分) 设A,B是两个n?n实对称矩阵,且A为正定矩阵,证明;存在一个n?n实可逆矩阵
T使T?AT与T?BT同为对角形.
2006年
一(30分) 设f?x?为次数>1的实系数多项式,则f?x?的根全为实数的充分必要条件为
f2?x?不能表示为两个次数均?1且次数不等的实系数多项式的平方和.
a1?x1?x1二(20分)计算n阶行列式Dn?a2x2?x2?0a3?0?0??x3?an?100?an00 ?xn0?0??xn?1三(20分) 设?1,?2,?,?n是方阵A的互不相同的特征值, ?1,?2,?,?n是对应的向量,证明:
?1,?2,?,?n线性相关.
?102???8542四(30分)设A?0?11,计算2A?3A?A?A?4E
????010??五(30
分)
如果V1,V2是线性空间V的两个子空间,则
Dim?V1??Dim?V2??Dim?V1?V2??Dim?V1?V2?, Dim?V?表示线性空间的维数.
六(20分) 化二次型f?x1,x2,x3??2x1x2?6x2x3?2x1x3为规范型.
数学分析
2010年
1. 计算下列各题(每题8分,共40分) (1) lim?n???12?n?1?1n2?2????? 2n?n?1 (2) lim?x?01??1??
?tanxx?dy dx (3)设yexy?x?1?0,求(4)
?arctanxdx
22z?1?x?y,其中为上半球面,取外xdydz?ydxdz?zdxdy???(5)计算曲面积分I?侧.
?2. (10分) 函数f?x?在区间?a,b?上连续, F?x???f?t?dt证明: F?x?可导,且
axF??x??f?x?
3. (10分) 计算二重积分
??eDx?yx?ydxdy,其中是D由x?y?1,x?0,及y?0所围成的区域.
1?xysin,(x,y)?(0,0)?224. (15分) 讨论函数f?x,y??? x?y?0,(x,y)?(0,0)?在点(0,0)处的连续性,可微性.
5. (15分) 设函数f?x?在[0,a]上二阶可导,且f??(x)?M???, f?x?在(0,a)内取得最大值,证明: f?(0)?f??a??Ma
6. (15分) 设f?x?在[a,+ ?)上连续,且limf?x?存在,证明: f?x?在?a,???上一致连
x??续,试问反之如何/ 7. (15分) 若级数
?ann与
?bnn都收敛,且成立不等式an?bn?cn?n?1,2,??证明级数
?cn也收敛,若
?a??与
?b都发散,试问
?cn一定发散吗?
8. (15分) 若f?x,y?在?a,b???0,???上连续,又
???0f?x,y?dy在?a,b?上收敛,但在
x?b处发散,则?
0f?x,y?dy在?a,b?上不一致收敛.
9. (15分) 设f?x,y?在D???x,y?|x??D2?y2?1?上有连续的偏导数,且在
T???x,y?|x?y?1?上恒为零,证明:
22???f?2??f?f?x,y?dxdy??max??????3?x,y??D????x???y??2?? ??12
2009年
一 计算题(每题10分,共30分)
?1cos2x??1.求极限lim?? 2x?0sin2xx??2.计算
??xdydz?ydxdz?zdxdy,其中?为上半球面z??R2?x2?y2,方向取上侧.
3.计算积分I?xdy?ydx,其中C为椭圆3x2?4y2?1,沿逆时针方向. ?22?3x?4yC4?3xn,n?1,2,二(15分) 证明:若x1?1,xn?1?x?x0?y?,则数列收敛,并求极限. ?x三(15分) 设limf?x??A用???语言证明
1在?a,1?,?a?0?上一致连续;但在(0,1)上不一致连续. sinx五(15分) 用钢板制造容积为V的无盖长方形的水箱,如何设计最声钢板?
四(15分) 证明
六(15分) 设f?x?在???,???具有二阶连续导数,且f(0)?0证明:函数
?1?fx,x?0F?x?????在???,???上具有连续导数.
?f(0),x?0?七(15分) 计算
???0e?ax?e?axdx,?b?a?0? x八(15分) 求幂级数
??n?1?n?0?2xn的和函数
??),
九(15分) 设函数f?x?是R上的可导函数,且limf?x??A (其中A是实数, ??或
x??证明:存在??R,使得f?(?)?0 (就一种情况进行证明即可)
2008年
一 计算题(每题6分,共30分)
1. limn?2
n??n2n2. lim?x???1??????2sinx?1lnx
3.设f?x??x1?x?arcsinx,求f??x?
24.设f?x??lnx?1?x21?cosx?2?? ,求
?f?x?dx
?115.求幂级数
?1?n??1??x的收敛半径
n?n?2?二 解答题(每题10分,共30分)
1. 设f?x?在x?0连续,且对任何x,y?R有f?x,y??f?x??f?y?,则f?x?是R上连续的奇函数 2.设a?0,a1?3.计算I?1?4?1?4?,a?a?a??n?1?,n?1,2,?,证明:数列?an?收敛并求极限. ??n2?a?2?an?1?222???xdydz?ydzdx?zdxdy,其中S是曲面x2?y2?z2与z?2所为空间立
体?0?z?2?的表面,方向取内侧.
三(15分) 设f?x?在[0,1]上非负连续,且f(0)?f(1)?0,则对任意实数l?(0,1),必有实数???0,1?使得f(?)?f???l?
1?22(x?y)sin,x2?y2?0?x2?y2四(20分) 设二元函数f?x,y???
?22?0,x?y?0 (1) 求f?x,y?在点(0,0)处的偏导数 (2)证明: f?x,y?在(0,0)处可微 五(20分) 设f?x?在?a,???上一致连续,且六(20分) (1)证明: F(x)? (2)证明; F(x)????af(x)dx收敛,则limf?x??0
x?????axe?xydy在(0,??)上不一致收敛
???axe?xydy在(0,??)上连续
七(15分) 设连续函数列?fn(x)?在?a,b?上一致收敛于f?x?,若对任意n,fn(x)在?a,b?
上有零点,则f?x?在?a,b?上必有零点.
2007年
一 判断题(正确的划,错误的划) (每题3分,共15分) 1.若?a2k?1?和?a2k?都收敛,则?an?收敛
2.若limanbn?0,则数列?an?和?bn?中至少有一个为无穷小量
n??3.若f?(x0)存在,则limh?0f(x0?h)?f(x0?h)?2f?(x0)
hx??4.如果积分
???0f?x?dx收敛,则limf(x)?0
n5.设正项级数
?a收敛,则级数
?a2n收敛
二 计算题(每题6分,共30分)
1.求极限lim2001?2002???2007
n??nnnn2.求极限lim(x?011?)
ln(x?1)x2e2x3.设y?ln(x?1?x)?ln,求y? 2xe?14.求积分I?5.求I?1dx20072?xln(x?cosx)dx x?x?0e?e??11222222??D?x?y?4? ,其中x?y?sgn(x?y?1)dxdy?????D三 证明题(每题15分,共75分)
1.设a1?3an?1?3?an,n?1,2,?,证明?an?收敛,并求liman
n??2.设函数f?x?在?0,2??上连续,且f(0)?f(2?),证明存在x0??0,??使得
f(x0)?f(x0??)
3.设函数f?x?在?0,a?上二阶可导,且f??(x)?M???,f?x?在?0,a?内取得最大值,证明f?(0)?f?(a)?Ma:
)上的一个周期为T的非负连续周期函数,证明: 4.设f?x?是定义在(??,??1?1Tf(t)dt?f(t)dt ?0x???x?0Tlim
?x2y,x2?y2?0?225.证明函数f?x,y???x?y在点(0,0)连续且偏导存在但不可微
?0,x2?y2?0?四(10分) 设函数f?x?在?1,???上可导, f(1)?1且满足f?(x)?1.证明:
x2?f2(x)x???limf(x)存在且满足1?limf(x)?1?x????4
五(10分) 求曲线积分I?线
xdy?ydx,其中C为任一不通过原点是简单光滑正向封闭曲?22?x?yC?六(10分) 设f?x?上[0,a] 连续,记f0(x)?f(x),fn(x)??0fn?1(t)dt?n?1,2,??,证明:
?fn?1?n(x)在[0,a]上一致收敛
2006年
一 判断题(正确的划,错误的划) (每题10分,共20分) 1. 若bn?an?cn ,且?bn,?cn均收敛,则?an必收敛 2.如果积分
?baf(x)dx (其中b为瑕点)收敛,则?f(x)dx收敛
ab二 计算(每题10分,共40分)
21.求步定积分max1,xdx
???2.设ye?x?1?0,求
xydy|x?0 dx?x2y2??5xy??dxdy,其中D??x2?y2?1? 3.求积分I????23?D?4.求两曲面x?4y?0,x?3y?z?1的交线上距离原点最近的点的坐标 三 证明下列各题(每题15分,共45分) 1.若liman?a,则limn??222a1?2a2??nana? 2n??n22.当x?0,证明不等式
11?ln2(1?)
x(1?x)x3.设函f?x?数在?a,???连续且有渐近线y?cx?d(c,d为常数),证明:函数f?x?在
?a,???一致连续
nnp四(15分) 讨论级数
?n?1???1?的敛散性
??n?(?1)??五(15分) 计算曲面积分I?1x1xf()dydz?f()dzdx?zdxdy,其中f具有一阶连???yyxy续偏导数, ?是由曲面x2?y2?R2,z?2y2,z?0所围立体的表面,取内侧 六(15分) 证明函数F(x)=
???0cosxt在(0,??)上连续可微 21?tdt