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2009—2010学年高三一模数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合U??1,2,3,4,5?,A??1,2,3?,B??2,3,4?，则CU(A?B)? ( ) （Ａ）?2,3? （Ｂ）?1,4,5? （Ｃ）?4,5? （Ｄ）?1,5? 2、函数y?x?x3的图像（( )
（A） 关于原点对称 （B）关于主线y??x对称 （C） 关于y轴对称 （D）关于直线y?x对称 3、sin225o的值为( ) (A) ?2332 (B) (C)? (D) 22224、函数y?1?x（0?x?4）的反函数是( )
22（A）y?(x?1)（1?x?3） （B）y?(x?1)（0?x?4） 22（C）y?x?1（1?x?3） （D）y?x?1（0?x?4）
5、设?,?是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) A．若l??,???，则l?? B．若l//?,?//?，则l?? C．若l??,?//?，则l?? D．若l//?,???，则l?? 6、平面向量a与b的夹角为60，a?(2,0)，b?1 则a?2b?( ) （A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 7、（文）曲线y?x20?3x?1在点?1,1?处的切线方程为( ) A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0 （理）曲线y?x在点?1,1?处的切线方程为 ( ) 2x?1 A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0
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8、设a?lg2,b?(lg2)2,c?lg2则( )
（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a 9、已知函数f(x)?sin(wx??4)(x?R,w?0)的最小正周期为?，将y?f(x)的图像向
左平移|?|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则?的一个值是( ) A
?3??? B C D
824810、从10名学生中选3个人担任班干部，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数是 ( )
A 85 B 56 C 49 D 28
11、设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的 前n项和Sn=( )
n27nn25nn23n? C．? ?A． B．332444D．n2?n
x2y212、（文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，
ab????????且BF?x轴， 直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是( ) A．1132 B． C． D．
3222??????????M总在椭圆内部，则椭圆（理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点
离心率的取值范围是C
A．(0,1) B．(0,] C．(0,1222) D．[,1) 22
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13、(2x?16)的展开式的常数项是 （用数字作答） 2x七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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?x?1,?14、已知变量x、y满足条件?x?y?0,则x?y的最大值是
?x?2y?9?0,?15、已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3?，则球O的表面积等于__________________.
16、正三棱锥和等腰三角形有类似的性质。在等腰三角形ABC中，AB=AC,顶点A在底边BC上的射影是D,则有结论BD=CD成立。正三棱锥P-ABC中，O是顶点P在底面ABC上的射影。结合等腰三角形的上述性质，写出一个你认为正确的结论 ，（不写证明过程）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。
17、（本小题满分10分）（文）等差数列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比数列，
求数列?an?前20项的和S20．
17、（理）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,?1)，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域. 18、（本小题满分12分）（文）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,?1)，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域. 18、（理）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为
0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记?表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求?的分布列及期望。
19、（本小题满分12分）（文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
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（Ⅱ）（文）求甲获得这次比赛胜利的概率。
19、（理）数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?bb,1,a2?23a?3b成等比数列，求Tn
20、（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，
A1 C1
AC?AA1?3，∠ABC=600.
(Ⅰ)证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A—AC1—B的大小。
A 21、（本小题满分
12
分）（文）设函数
B C B1 f(x)?13x?(1?a)x2?4ax?24a，其中常数a>1 3(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
21、（理）已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x?10x的一个极值点。
2（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f?x?的单调区间；
x2y222、（本小题满分12分）双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线为abx?3。 3（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x?y?m?0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x?y?5上，求m的值.
22数学答案
一、选择：
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题号 1 答案 B 2 A 3 A 4 A 5 C 6 B 7 BB 8 B 9 D 10 C 11 A 12 DC
18、（文）解：（Ⅰ）由题意得m?n?3sinA?cosA?1, 2sin(A?)?1,sin(A?)??6?61. 2七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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????,A?. 6631 （Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA?,
2 由A为锐角得A?3. 213 因为x∈R，所以sinx???1,1?，因此，当sinx?时，f(x)有最大值.
2222 所以f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sins??2(sinx?)?12 当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是??3,?.
2??3??18、（理）【解】：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅰ）C?A?B?A?B
?B? P?C??PA?A?B?PA?B?PA?B
??????P?A??PB?P?A??PB?0.5?0.4?0.5?0.6
?????0.5
（Ⅱ）D?A?B
PD?PA?B?PA?PB?0.5?0.4?0.2
8 P?D??1?PD?0.
（Ⅲ）??B?3,0.8?，故?的分布列
1P???0??0.23?0.008 P???1??C3?0.8?0.22?0.096 2P???2??C3?0.82?0.2?0.384??????????
P???3??0.83?0.512
所以E??3?0.8?2.4
19、（文）解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i?3,4,5)，“第j局甲获胜”为事件
Bi(j?3,4,5)。
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（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
A?A3?A4?B3?B4，由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)?P(A3?A4?B3?B4)?P(A3?A4)?P(B3?B4)?P(A3)P(A4)?P(B3)P(B4)?0.6?0.6?0.4?0.4?0.52。
（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
B?A3?A4?B3?A4?A5?A3?B4?A5，由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)?P(A3?A4?B3?A4?A5?A3?B4?A5)
?P(A3?A4)?P(B3?A4?A5)?P(A3?B4?A5)?P(A3)P(A4)?P(B3)P(A4)P(A5)?P(A3)P(B4)P(A5)
?0.6?0.6?0.4?0.6?0.6?0.6?0.4?0.6?0.64819（理）解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?12，两式相减得?n??an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?
又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列 ∴an?3n?1 （Ⅱ）设?bn?的公比为d
由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5 故可设b1?5?d,b3?5?d 又a1?1,a2?3,a3?9
由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3? 解得d1?2,d2?10
∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2
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∴Tn?3n?n?n?1?2?2?n2?2n
20、解析：解答1（Ⅰ）因为三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱所以AB?A1A 在?ABC中AB?1,AC?3,?ABC?600 由正弦定理得?ACB?300所以?BAC?900
即AB?AC，所以AB?ACC1A,又因为AC1?ACC1A1所以AB?AC1 （Ⅱ）如图所示，作AD?AC1交AC1于D，连BD，由三垂线定理可得BD?AC1所以?ABD为所求角，在Rt?AAC中，ADA1AgAC3g361?AC??，在RtB?AD
162tanABD?AB6AD?3 ，所以?ADB?arctan63
cos?m,n??mgn3?1?1mgn??0?1?0?15
（3）2?12?12g12?02?025所以A-A1C-B所成角是arccos155 21、（文）解： （I）f?(x)?x2?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)
由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数； 当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数；
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中，
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当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。
综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。
（II）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。
1(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a 3432 ??a?4a?24a f(0)?24a
3 f(2a)?七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，线段AB的中点为M?x0,y0?，
?2y2?1?x?22 由?得x?2mx?m?2?0（判别式??0）, 2?x?y?m?0? ∴x0?x1?x2?m,y0?x0?m?2m, 2七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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2∵点M?x0,y0?在圆x2?y2?5上，∴m??2m??5，∴m??1.
2
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