三角函数单元复习题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
π4
1．已知x∈(－ ，0)，cosx＝ ，则tan2x等于 （ ）
25
A.
7
24
B.－
724 C. 24
7
D.－24
7
2．3 cosπ12 －sinπ
12
的值是 （ A.0
B.－2 C. 2
D.2
3．已知α，β均为锐角，且sinα＝
55，cosβ＝31010
，则α＋β的值为 （ A. π4 或3π
4
B.
3π4 C. π4
D.2kπ＋π
4
(k∈Z) 4．sin15°cos30°sin75°的值等于 （ A.
34
B.
38 C. 18
D. 1
4
5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin
π
12
)等于 （ A. 1
2
B.－13
2 C.－2
D.
32
6．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3 cos(120°－x)的值为 （ A. 12
B.
32
C.1
D.0
7．已知sinα＋cosα＝1
3
，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为 （ A. 89 ，179
B.－89 ，179
C.－89 ，－179 D.－817
9 ，±9
8．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是 （ A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
cos（π ＋α）－sin（π
＋α9．化简44
）
的结果为 cos（π （ 4 －α）＋sin（π
4 －α）
A.tanα B.－tanα C.cotα D.－cotα
10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为 （ ）
） ）
） ）
）
）
）
） 1
A.－
2
0
0
0
1
B. C.－1
2
D.1
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） sin7＋cos15sin811． 的值等于_____________.
cos70－sin150sin8012．若
1－tanAπ
＝4＋5 ，则cot( ＋A)＝_____________.
1＋tanA4
4ππππ
13．已知tanx＝ (π＜x＜2π)，则cos(2x－ )cos( －x)－sin(2x－ )sin( －x)＝_____.
33333ππππ
14．sin( －3x)cos( －3x)－cos( ＋3x)sin( ＋3x)＝_____________.
4364
2π1ππ
15．已知tan(α＋β)＝ ，tan(β－ )＝ ，则sin(α＋ )·sin( －α)的值为____________.
54444α－βββα
16．已知5cos(α－ )＋7cos ＝0，则tan tan ＝_____________.
2222
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） π12ππ
17．（本小题满分12分）已知cos(α－ )＝ ， ＜α＜ ，求cosα.
61362
π
18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0， )，
2
求sinα、tanα.
19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，
ACAC
求tan ＋tan ＋3 tan tan 的值.
2222
20．（本小题满分15分）已知cosα＝－
2π)，求β.
1217233 ，cos(α＋β)＝，且α∈(π， π)，α＋β∈( π，132622
2α
21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝ π，(2)tan tanβ＝2－3
32
同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.
三角函数单元复习题（二）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 2－63
11．2－3 12．4＋5 13．－ 14．
54
ππ3
15．【解析】 ∵tan(α＋ )＝tan［(α＋β)－(β－ )］＝
4422
ππ
∴原式＝sin(α＋ )cos(α＋ )
44
πππ
sin(α＋ )cos(α＋ )tan(α＋ )
44466
＝ ＝ ＝ .
πππ493222
sin(α＋ )＋cos(α＋ )1＋tan(α＋ )
444ββ
16．【解析】 由5cos(α－ )＋7cos ＝0得：
22
α－βα－βαα
5cos（ ＋ ）＋7 cos（ － ）＝0
2222α－βα－βββ
展开得：12cos cos ＋2sin sin ＝0，
2222
α－βα－ββα
两边同除以cos cos 得tan tan ＝－6.
2222
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） π12ππ
17．（本小题满分12分）已知cos(α－ )＝ ， ＜α＜ ，求cosα.
61362
πππ12
【解】 由于0＜α－ ＜ ，cos(α－ )＝
63613π
所以sin(α－ )＝
6
π5
1－cos2(α－ ) ＝
613
123－5ππ
所以cosα＝cos［(α－ )＋ ］＝ 6626
π
18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0， )，
2
求sinα、tanα. 【解】 ∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1 ∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0
即：cosα(2sinα＋sinα－1)＝0?cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0 π
又α∈(0， )，∴cos2α>0，sinα＋1>0.
2
1π3
故sinα＝ ，α＝ ，tanα＝. 263
19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，
ACAC
求tan ＋tan ＋3 tan tan 的值.
2222
2πACπ【解】 因为A、B、C成等差数列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝ ， ＋ ＝
3223AC
tan ＋tan
AC22∴tan( ＋ )＝3 ，由两角和的正切公式，得 ＝3
22AC
1－tan tan 22ACAC
tan ＋tan ＝3 －3 tan tan 2222ACAC
tan ＋tan ＋3 tan tan ＝3 . 222220．（本小题满分15分）已知cosα＝－
2π)，求β.
【分析】 要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.
33【解】 ∵π＜α＜ π， π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.
22
12172572
又∵cosα＝－ ，cos(α＋β)＝，∴sinα＝－ ，sin(α＋β)＝－ 13261326172127252故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝×（－ ）＋（－）（－ ）＝－.
261326132
3
而0＜β＜π，∴β＝ π.
4【评注】 本题中若求sinβ，则由sinβ＝问题如何选择三角函数值得考虑.
2α
21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝ π，(2)tan tanβ＝2－3
32
同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.
【分析】 这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，
23
及0＜β＜π不能直接推出β＝ π，因此本类241217233 ，cos(α＋β)＝，且α∈(π， π)，α＋β∈( π，132622
22
αα
则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到 与β的正切，所以需将条件（1）变成
22＋β＝
?3，然后取正切，再与（2）联立求解.
απ
【解】 由（1）得： ＋β＝
23α
tan ＋tanβ
α2∴tan( ＋β)＝ ＝3
2α
1－tan tanβ
2α
将（2）代入上式得tan ＋tanβ＝3－3 .
2
α
因此，tan 与tanβ是一元二次方程x2－(3－3 )x＋2－3 ＝0的两根，解之得x1＝1，
2x2＝2－3 .
ααπ
若tan ＝1,由于0＜ ＜ .所以这样的α不存在；
224α
故只能是tan ＝2－3 ，tanβ=1.
2ππ
由于α、β均为锐角，所以α＝ ，β＝
64ππ
故存在锐角α＝ ，β＝ 使（1）、（2）同时成立.
64