1、重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．
考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域
和值域；
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； ③了解简单的分段函数，并能简单应用；
经典例题：设函数f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：
（1）H（x）=f（x2+1）；
（2）G（x）=f（x+m）+f（x－m）（m＞0）
2、重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．
考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映
射的概念；
②会运用函数图像理解和研究函数的性质．
经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞ )上图象与f（x）的图象重合.设
a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是
① f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－
a）＜g（a）－g（－b）
③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－
f（－b）＜g（b）－g（－a）
A．①④ B．②③
C．①③
D．②④
一、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点
P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系
y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实
数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法 A、 B、 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
描点法： 图象变换法
常用变换方法有三种
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果
二、函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取x1，x2∈D，且x1 2 作差f(x1)－f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○ 5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的○单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同 增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关○于原点对称； 2确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)○ －f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)± f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理， 或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最○大（小）值 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○ 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 配套习题 1.求下列函数的定义域： ⑴y?x2?2x?15x?3?3 ⑵y?1?(x?12)x?1 22.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的定义域为_ _ 3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是 4.函数 ?x?2(x??1)? f(x)??x2(?1?x?2)?2x(x?2)?，若f(x)?3，则x= 5.求下列函数的值域： ⑴ y?x2?2x?3x?[1,2] (x?R) ⑵y?x2?2x?3 (3)y?x?1?2x 2(4)y??x2?4x?5 6.已知函数f(x?1)?x?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式 7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x(1?x?(??,0)时f(x)= 3x),则当 f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ y?x2?2x?3 ⑵ y??x2?2x?3 ⑶ y?x2?6x?1 10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论． 11.设函数f(x)?1?x判断它的奇偶性并且求证：f(1)??f(x)． 1?x2x212． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A．f(x)?C．f(x)?x,g(x)?x2 B．f(x)? D．f(x)?x,g(x)?(x)2 x?1 2x?1x?12,g(x)?x?1 x?1?x?1,g(x)?13．函数y?f(x)的图象与直线x?a交点的个数为（ ） A．必有一个 B．1个或2个 C．至多一个 D．可能2个以上 14．已知函数f(x)?1x?1，则函数f[f(x)]的定义域是（ ） A．?xx?1? B．?xx??2? C．?xx??1,?2? D．?xx?1,?2? 15．函数f(x)?A．[54,??) 11?x(1?x)的值域是（ ） 5434,??) B．(??,] C． [ D．(??,] 3416．对某种产品市场产销量情况如图所示，其 中：l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ） （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； （3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A．（1），（2），（3） B．（1），（3），（4） C．（2），（4） D．（2），（3） 17．在对应法则x?y,y?x?b,x?R,y?R中,若2?5,则?2? ， ?6． 18．函数f(x)对任何x?R恒有f(x?x)?f(x)?f(x)，已知f(8)?3，则f(2)? ． 19．规定记号“?”表示一种运算，即a?b?ab?a?b，、ab?R. 若1?k?3，则函数f?x??k?x的值域是___________． 20．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ． 521．函数y?的值域是 ． ?1212?x?2x?2222． 求下列函数的定义域 ： (1) (x?1)0f(x)?2?x1x?1 (2)f(x)? x?x 23．求函数y?x? 3x?2的值域． 24．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)． 25．在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，△ABM的面积为S． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值． A B D C 26．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x???2,???时是增函数，当x????,?2?时是减函数，则f(1)等于 （ ） A．-3 B．13 C．7 D．含有m的变量 27．函数f(x)?1?x?x?11?x?x?122是（ ） A． 非奇非偶函数 B．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C． 偶函数 D． 奇函数 28 ． 已 知 函 2数(1) f(x)?x?1?x?1, (2)f(x)?(4)f(x)???x?1?1?x,(3)f(x)?3x?3x 0(x?Q)?1(x?CRQ),其中是偶函数的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 29．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数 f（x－1）的图象为 （ ） 30．已知映射f:A?B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的a?A,在B中和它对应的元素是a,则集合B中元素的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 31．函数 f(x)??2x?4tx?t2在区间[0, 1]上的最大值g(t) 是 ． 32． 已知函数f(x)在区间(0,??)上是减函数,则f(x2?x?1)与 f()34的大 小关系是 ． 33．已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且x?x,则f(x)和f(x)的大小关系是 ． 34．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称． 121235．点(x,y)在映射f作用下的对应点是(3x?y2,3y?x2),若点A在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是 ． 36. 已知函数f(x)?x?2x?x212,其中x?[1,??)，(1)试判断它的单调性； (2)试求它的最小值． 37．已知函数f(x)?2a?1a?1ax2，常数a?0。 n]上单调递增； （1）设m?n?0，证明：函数f(x)在[m，n]，（2）设0?m?n且f(x)的定义域和值域都是[m，求n?m的最大值． 38.(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证: 数； G(x)?12[f(x)?f(?x)]是奇函数. 3F(x)?12[f(x)?f(?x)]是偶函 (2)利用上述结论，你能把函数f(x)?3x与一个奇函数之和的形式． 39. 在集合R上的映射:f1?2x?x?3表示成一个偶函数 2:x?z?x?1,f2:z?y?4(z?1)?1. 22(1)试求映射f:x?y的解析式; (2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间; (3) 求函数f(x)的单调区间. 单元测试 1． 设集合P=?x0?x?4?,Q=?y0?y?2?,由以下列对应f中不能构成．．A到B的映射的是 （ ）A．y?C． y?23x 12x B． y?13x D． y?x 81x12．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=, 其中定义域与值域相同的是（ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．2)(3) D．(2)(3)(4) 3．已知函数f(x)?ax7?bx?cx?2,若f(2006)?10,则f(?2006)的值为（ ） A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定 4．设函数 (a?b)?(a?b)?f(a?b)??1(x?0)(a?b)的值为（ ），则 f(x)??21(x?0)?A．a B．b C．a、b中较小的数 D．a、b中较大的数 5．已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中,定义域为（ ） ?D． ?A． x0?x?1414x?x?1?? B． ?x0?x?12? C． ?x14?x?12? 6．已知函数y=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3,最小值是2,则实数a的取值范围是（ ） A．0 R上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数， f(2)，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤2 B．a≤-2或a≥2 C．a≥-2 D．-2≤a≤2 8．已知奇函数 x1,x2(x1?x2)，恒有 f(x))的定义域为(??,0)?(0,??，且对任意正实数 f(x1)?f(x2)x1?x2?0，则一定有（ f(?5) ） ． f(?5)?f(3) A．f(3)?f(?5) f(?5) B．f(?3)?1?x1?xC D．f(?3)?9．已知函数f(x)?的定义域为A,函数y=f(f(x))的定义域为B, 则（ ） A．A?B?B B． A?B?A C．A?B?? D．A?B?A 10．已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x?0时，f(x)=x2-2x, 则f(x)在x?0时的解析式是（ ） A． f(x)=x2-2x B． f(x)=x2+2x C． f(x)= -x2+2x D． f(x)= -x2-2x 11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是x?x,它在[a,b]上的值域 是 [f(b),f(a)],则 （ ）A． x?b B．x?a C．x?[a,b] D．x?[a,b] 12．如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5， 00000则在区间[-7,-3]上（ ） A．增函数且有最小值-5 B． 增函数且有最大值-5 C．减函数且有最小值-5 D．减函数且有最大值-5 13 ． 已 知 函 数 f(x)?x221?x，则 11f(1)?f(2)?f(3)?f()?f()? 23 ． 14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则 g(x)= ． 15．定义域为[a?3a?2,上4]的函数f(x)是奇函数，则a= ． 16．设f(x)?x?3x,g(x)?x?2，则g(f(x))? ． 23217．作出函数y??x2?2x?3的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域． 18．定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有 f(x1?x22)≤［f(x1)+f(x2)］，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函 21数f(x)＝ax2+x(a∈R且a≠0)，求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数； 19．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f( x?y1?xy)． (1)求证：函数f(x)是奇函数； (2)如果当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数； 20．记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0，y0)为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”． (1)若函数f(x)= 3x?1x?a的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求 实数a的取值范围； (2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”，求证：f(x)必有奇数个“稳定点”．