第五章 矩阵的特征值和特征向量
来源：线性代数精品课程组 作者：线性代数精品课程组
1．教学目的和要求：
(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.
(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.
(3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点：
(1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容：
本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.
§1 矩阵的特征值和特征向量
定义1 设
是一个阶方阵，
是一个数，如果方程
存在非零解向量，则称征向量．
（1）式也可写成，
(1) 为
的一个特征值，相应的非零解向量
称为属于特征值
的特
(2)
这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
, (3)
即
上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵
，称为方阵
的特征方程． 其左端是的
次多项式，记作的特征多项式．
=
==
显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程
有个特征值．
由多项式的根与系数之间的关系，不难
的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵
设阶矩阵证明
（ⅰ）（ⅱ）若方程
为
的一个特征值，则的
重根，则
一定是方程
的
的特征值为
的根, 因此又称特征根，若为
称为重特征根．方程 的每一个非
的全部特征值和特征向量
零解向量都是相应于的方法如下： 第一步：计算
的特征向量，于是我们可以得到求矩阵
的特征多项式；
的全部根，即为
的全部特征值；
第二步：求出特征方程 第三步：对于 的一个基础解系
的每一个特征值
，则
，求出齐次线性方程组：
的属于特征值（其中
的全部特征向量是
是不全为零的任意实数）．
例1 求的特征值和特征向量.
解 的特征多项式为
=
所以 当
的特征值为
得
=2时，解齐次线性方程组
解得因此，属于
当
令=1，则其基础解系为：= . 得
令
=1，
=2的全部特征向量为：
=4时，解齐次线性方程组
则其基础解系为：[注]：若是
的属于
因此的属于=4的全部特征向量为
也是对应于
的特征向量，则的特征向量，因而特征向
量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
例2 求矩阵
解
的特征多项式为
的特征值和特征向量.
所以对于
=
的特征值为=
=
=
=2（二重根），
. ．由
，
=2，解齐次线性方程组
，
得基础解系为：因此，属于对于
=
不同时为零.
．由
=2的全部特征向量为：
，解齐次线性方程组
，
得基础解系为：因此，属于
的全部特征向量为：
由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但
对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：
定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关. 证明 设特征向量，要证
当当由于
如果存在一组实数
是矩阵
的不同特征值，而
分别是属于
作数学归纳法证明.
的
是线性无关的.我们对特征值的个数
时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立. ＞1时,假设
是
时结论成立. 的不同特征值,而
使
是属于
的特征向量,因此
则上式两边乘以 另一方面, (4)－(5)有
由归纳假设, 而因
,于是
互不相同,所以
．可见得
(3)
(4) ,即
(5)
线性无关,因此
．于是(3)式变为
线性无关．
§２ 相似矩阵
.
课后作业：习题五 ５－12
定义2 设
、
都是阶方阵，若存在满秩矩阵
，且满秩矩阵
称为将
变为
的相似变换矩阵．
， 使得
则称
与
相似，记作
“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：
⑴ 反身性：
～
； ～～
，则，
～～
；
～
．
⑵ 对称性：若 ⑶ 传递性：若
，则
相似矩阵还具有下列性质：
定理2 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值. 证明 设
～
， 则存在满秩矩阵
，使
于是
推论 若阶矩阵
与对角矩阵
定理3 设
是矩阵,则
证明 因是矩阵
于是
相似，则
的属于特征值是矩阵的属于特征值
的属于
的特征向量,且的特征向量．
即是~
的个特征值． ,即存在满秩矩阵
使
的特征向量，则有
所以是矩阵
的属于
的特征向量．
，寻求相似变换矩阵
，使
下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵
为对角矩阵，这就称为把方阵
定理4
阶矩阵
与对角矩阵
对角化．
相似的充分必要条件是：矩阵
的特征向量（
有
个线性无关的分别属于特征值证明 必要性
设
与对角矩阵
=
则由上式得
中可以有相同的值）．
相似，则存在满秩矩阵
，使
设
即
因此 所以
是
的特征值，
是
的属于线性无关.
的特征向量，又因
，
是满秩的，
故 充分性 如果则有 设
则
有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，
是满秩的，于是
即
=
，
[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．
（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.
（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个
重特征值的基础解系含有
个线性无关的特征向量，则该
矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．
可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．
，使
为对
例3 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．
解 的特征多项式为
所以对于
的特征值为
解齐次线性方程组
，即为
.
，得基础解系
的两个特征向量
对于
=2，解齐次线性方程组
，即为
，得基础解系
的一个特征向量
.
显然是线性无关的，取
即有
，
例4 设
.
解
，考虑是否相似于对角矩阵．
的特征值为
解齐次线性方程组即为
一个特征向量
，
，得基础解系 . .
，得基础解系
所以对于
对于，解齐次线性方程组，即为
的另一个特征向量
由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．
课后作业：习题五 13－16
§３ 向量组的正交性
在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中． 定义3 设有维向量
=
，，则
称为向量
，令 和和． 的内积． 是行向量时，
＝
[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当
，当
和
都是列向量时，
为维向量，
＝
为常数）：
内积具有下列性质（其中（1）（2）（3）（4）定义4 令 |称|
|====
；
； +
；
=0时等号成立．
，当且仅当
的模（或长度）．
|为维向量
向量的模具有如下性质： （1）当≠0时，||＞0；当（2）|（3）|（4）|
|=|
| |
|，（|||+||； |；
=0时，||=0；
为实数）；
|≤|≤|
特别地，当||=1时，称为单位向量.
如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，
可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．
如果、都为非零向量，由性质（3）
于是有下述定义： 定义5 当|
| ≠0，|
≤1，
|≠0时
称为维向量、的夹角．
特别地：当定义 当
=0时，
与
，因此有 正交．（显然，若
=0，则
与任何向量都正交）．
=0时，称向量
向量的正交性可推广到多个向量的情形. 定义6 已知
个非零向量为正交向量组．
定义7 若向量组
为标准正交向量组． 例如，维单位向量组
=
，
，
为正交向量组，且|
|=1
，则称
，若
=0
，则称
是正交向量组．
正交向量组有下述重要性质： 定理5 正交向量组
是线性无关的向量组．
定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组． 定理6 设向量组
，其中，
，
线性无关，由此可作出含有
个向量的正交向量组
……
，
.
再取
则
为标准正交向量组．
上述从线性无关向量组
特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足何
例5 把向量组
，向量组
=（1，1，0，0），
与
导出正交向量组
与等价．
的过程称为施密等价，还满足：对任
=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准
正交向量组． 解 容易验证
将
，=，，
，
是线性无关的.
正交化，令 ，
=，
再把
单位化
，
则
定理7 若
，
即为所求的标准正交向量组． 是维正交向量组，成为正交向量组．
个维
，则必有维非零向量
，使
推论 含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．
例6 已知解 它的基础解系为
，求一组非零向量应满足方程
=0，即 .
，使，，成为正交向量组.
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
其中
于是得
定义8 如果阶矩阵
满足
（即
），那么称
为正交矩阵．
正交矩阵具有如下性质： （1）矩阵
为正交矩阵的充分必要条件是
；
（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； （3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵； （4）正交矩阵是满秩的，且|
由等式
=1或
．
的元素满足关系式
可知，正交矩阵
（其中）
可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有
定理8 一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交
向量组．
课后作业：习题五 1－4
§４ 实对称矩阵的相似对角化
在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．
定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量． 定理10 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的． 证明 设
是实对称矩阵
的两个不同的特征值，即
．
是分别属于
的特征向量，则 根据内积的性质有
，
，
又 所以
因定理11 设
，故为
， ，即
阶对称矩阵，从而对应特征值
定理12 设
与是
正交.
的特征方程的重根，则矩阵的秩
恰有个线性无关的特征向量．
，使
，其中
是以
的
为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵
个特征值为对角元素的对角矩阵．
例7 设 求一个正交矩阵，使为对角矩阵.
解 所以 对于
的特征值
，
.
，
，解齐次线性方程组，得基础解系
因此属于
，
的标准特征向量为
对于
.
，解齐次线性方程组
，得基础解系
的标准正交向量
这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于
， .
于是得正交矩阵
易验证
课后作业：习题五 17
.