图形的相似专题复习教师版
一．选择题（共15小题） 1．（2014?包头）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则
的值为（ ）
A．
2．（2014?牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则A．﹣5 B．﹣
C．
D．5
的值是（ ）
B．
C．
D．
3．（2015?株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2014?宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2015?呼伦贝尔）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ）
A．
﹣1
B．
C．1
D．
6．（2015?大庆模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD=AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF=3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
7．（2014?莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24 8．（2014?荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠DAB
B．AD=DE C．AD=BD?CD D．CD?AB=AC?BD
2
9．（2014?丰南区二模）如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2015?甘南州）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A．m=5 B．m=4 D．m=10 11．（2015?青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则
等于（ ）
C．m=3
A．
B．
C．
D．
12．（2014?宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： 13．（2014?盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是（ ）
A．
14．（2014?南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ）
B．
C．
D．
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
15．（2015?江夏区模拟）如图所示，已知：点A（0，0），，C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题） 16．（2014?湖州）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
17．（2015?连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ．
18．（2014?滨州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．
19．（2014?海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．
，
20．（2014?牡丹江）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 m．
21．（2014?咸宁）如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论： ①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等； ③△DCE为直角三角形时，BD为8或
；
④0＜CE≤6.4．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三．解答题（共9小题） 22．（2015?泰安模拟）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （3）当t为何值时，△APQ的面积为
个平方单位？
23．（2014?义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
24．（2014?梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y． （1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值； （3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．
25．（2015?泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC?CD=CP?BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
26．（2015?湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，
，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
27．（2014?泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC=CE?CA． （1）求证：BC=CD；
2
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．
28．（2015?武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K． ①求
的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
29．（2015?温州模拟）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由； （2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．
30．（2014?柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题） 1．（2014?包头）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线分线段成比例． 【专题】几何图形问题．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出
=
=
=2，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD， ∴∴
=
=2，
=
=2，
=，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
2．（2014?牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则A．﹣5 B．﹣
C．
D．5
的值是（ ）
【考点】比例的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵x：y=1：3， ∴设x=k，y=3k， ∵2y=3z， ∴z=2k， ∴
=
=﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便． 3．（2015?株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=
，从而可得
+
=
+
=
，
=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD， ∴∴
=+
，=
=+
， =
=1．
∵AB=1，CD=3， ∴
+
=1，
∴EF=． 故选C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现
+
=1是解决本题的关键．
4．（2014?宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相似三角形的判定；直角梯形．
【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：
①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°． ∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4， 设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=
；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6． ∴满足条件的点P的个数是3个， 故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键． 5．（2015?呼伦贝尔）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ）
A．
﹣1
B．
C．1
D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质． 【专题】压轴题．
【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了． 【解答】解：设BC与A′C′交于点E，
由平移的性质知，AC∥A′C′ ∴△BEA′∽△BCA
∴S△BEA′：S△BCA=A′B：AB=1：2
2
2
∵AB= ∴A′B=1
∴AA′=AB﹣A′B=﹣1 故选A．
【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 6．（2015?大庆模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD=AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF=3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质． 【专题】压轴题．
【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE=CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD=∠ABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF=FH=HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF=DF，S△ABF=3S△DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF与△DAE不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC， ∴DE是BC的垂直平分线，CD=BD， ∴CE=BE，故本答案正确； ∴∠C=∠7， ∵AD=AB，
∴∠8=∠ABC=∠6+∠7， ∵∠8=∠C+∠4，
∴∠C+∠4=∠6+∠7，
∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确； 作AG⊥BD于点G，交BE于点H， ∵AD=AB，DE⊥BC，
∴∠2=∠3，DG=BG=BD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1， ∴CD：CG=DE：AG，HG=DE，
设DG=x，DE=2y，则GB=x，CD=2x，CG=3x，
∴2x：3x=2y：AG， 解得：AG=3y，HG=y， ∴AH=2y，
∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1 ∴△DEF≌△AHF
∴AF=DF，故本答案正确； EF=HF=EH，且EH=BH，
∴EF：BF=1：3， ∴S△ABF=3S△AEF， ∵S△DEF=S△AEF，
∴S△ABF=3S△DEF，故本答案正确；
∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3， ∴∠5=∠3+∠4， ∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误． 综上所述：正确的答案有4个． 故选B．
【点评】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识．
7．（2014?莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题．
D．1：24
【分析】设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出
，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似
比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a， ∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等， ∴∴
=， =，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25， ∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20． 故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键． 8．（2014?荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD=BD?CD D．CD?AB=AC?BD 【考点】相似三角形的判定；圆周角定理． 【专题】几何图形问题．
【分析】由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：如图，∠ADC=∠ADB， A、∵∠ACD=∠DAB，
∴△ADC∽△BDA，故A选项正确； B、∵AD=DE， ∴
=
，
2
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，故B选项正确； C、∵AD=BD?CD， ∴AD：BD=CD：AD，
2
∴△ADC∽△BDA，故C选项正确； D、∵CD?AB=AC?BD， ∴CD：AC=BD：AB，
但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误． 故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 9．（2014?丰南区二模）如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】压轴题．
【分析】∠APB=∠C+∠PAC=45°+∠PAC；∠PDC=∠PAC+∠APD=45°+∠PAC，所以∠APB=∠PDC，从而证明△ABP∽△PCD，得比例线段求解． 【解答】解：∵等腰直角△ABC的直角边长为3，BP=1， ∴BC=3，PC=3﹣1．
∵∠APB=∠C+∠PAC=45°+∠PAC；∠PDC=∠PAC+∠APD=45°+∠PAC， ∴∠APB=∠PDC． 又∠B=∠C=45°， ∴△ABP∽△PCD． ∴BP：AB=CD：PC， 即 1：3=CD：（3﹣1）， ∴CD=
．
故选C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质，寻找相似图形是关键． 10．（2015?甘南州）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A．m=5 B．m=4 C．m=3 D．m=10
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】先根据平行四边形的性质求出△OCD∽△OEB，再根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD， ∴△OCD∽△OEB， 又∵E是AB的中点， ∴2EB=AB=CD， ∴
=（
），即
2
=（），
2
解得m=4． 故选B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到平行四边形的性质等知识，难度适中． 11．（2015?青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么AE=2k，BC=3k；得到
=
=
；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到
，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ED∥BC，BC=AD， ∴△DEF∽△BCF， ∴
=
，
设ED=k，则AE=2k，BC=3k； ∴
=
=，
故选A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键． 12．（2014?宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题．
【分析】先求出△CBA∽△ACD，求出△DCA的面积比=． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠DAC 又∵∠B=∠ACD=90°， ∴△CBA∽△ACD =
=
，
=，cos∠ACB?cos∠DAC=，得出△ABC与
AB=2，DC=3， ∴∴
=
=
=，
=，
∵=
∴△ABC与△DCA的面积比为4：9． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=
．
13．（2014?盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，进而可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长． 【解答】解：设DF和AE相交于O点， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∵∠EDF=90°，
∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA， 即∠FDC=∠ADE， ∵AE⊥CF于点H， ∴∠F+∠FOH=90°，
∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD， ∴∠F=∠E，
∴△ADE∽△CDF， ∴AD：CD=DE：DF， ∵AD=3，DC=4，DE=， ∴DF=
．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性加强，难度中等．
14．（2014?南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】在△ABC中，AD、BE是两条中线，可得DE是△ABC的中位线，即可证得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC中，AD、BE是两条中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE=AB， ∴△EDC∽△ABC， ∴S△EDC：S△ABC=（
）=．
2
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
15．（2015?江夏区模拟）如图所示，已知：点A（0，0），，C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】计算题；压轴题；规律型．
【分析】图中的各个等边三角形一定相似，求得相似比，即可求解． 【解答】解：如图，过A1作A1D⊥BO于点D． 设AD=DB1=x
则由△BA1D∽△BCO得：
=解得x=
． ，
…
所以A2B1B2的边长为同理解得边长依次为
28．（2015?武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K． ①求
的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】（1）①根据EF∥BC，可得②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据
，所以
，据此求出
的值是多少即可．
=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公
式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．
（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可． 【解答】解：（1）①∵EF∥BC， ∴∴即
， =的值是．
，
②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8﹣x， ∵
=，
，
+24，
∴EF=
∴S=EH?EF=x（8﹣x）=﹣∴当x=4时，S的最大值是24．
（2）设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
，
解得a=
．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=12÷2=6， ∴AB=AC=
∴AB或AC边上的高等于： AD?BC÷AB =8×12÷10 =
，
∴解得a=
， ．
综上，可得
正方形PQMN的边长是
或
．
【点评】（1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
（2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
（3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． 29．（2015?温州模拟）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由； （2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；菱形的性质． 【专题】证明题；探究型． 【分析】（1）根据已知利用SAS来判定两三角形全等．
（2）根据每一问的结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可； （3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论． 【解答】解：（1）△APD≌△CPD． 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠ADP=∠CDP． 又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD．
证明：（2）∵△APD≌△CPD， ∴∠DAP=∠DCP， ∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB， 又∵∠FPA=∠FPA， ∴△APE∽△FPA．
猜想：（3）PC=PE?PF． 理由：∵△APE∽△FPA， ∴
2
2
．
∴PA=PE?PF．
∵△APD≌△CPD， ∴PA=PC． ∴PC=PE?PF．
2
【点评】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键． 30．（2014?柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°， ∴∠APD+∠QPE=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°， ∴∠ADP=∠QPE， ∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，
，
∴△ADP≌△QPE（AAS）， ∴PQ=AD=1；
（2）∵△PFD∽△BFP， ∴
，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A， ∴△DAP∽△PBF， ∴∴
=
， ，
∴PA=PB， ∴PA=AB=
∴当PA=，即点P是AB的中点时，△PFD∽△BFP．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．