[命题报告·教师用书独具]
考查知识点及角度 基础 函数的基本概念 函数解析式求法 分段函数求值 一、选择题 1．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )
1、3 4 2、9 题号及难度 中档 6 8、10 5、7、11 稍难 12
解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．
答案：C
＋2，x≤－1，
?x2
2．已知f(x)＝?x，－1 ?2x，x≥2，A．1 3 C．1，2或±3 若f(x)＝3，则x的值是( ) 3 B．1或2 D.3 解析：当x≤－1时，f(x)的值域为(－∞，1]；当－1 答案：D ?b??M＝a，1?，N＝{a,0}，f：x→x?? 3．已知a，b为实数，集合表示把M中的 元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( ) A．-1 C．1 解析：a＝1，b＝0，∴a＋b＝1. 答案：C 4．(2013年茂名模拟)已知函数f(x)满足：f(m＋n)＝f(m)f(n)，f(1)＝3，则f2?1?＋f?2?f2?2?＋f?4?f2?3?＋f?6?f2?4?＋f?8? ＋＋＋的值等于( ) f?1?f?3?f?5?f?7? A．36 C．18 B．24 D．12 B．0 D．±1 解析：∵f(m＋n)＝f(m)f(n)，∴f(2n)＝f(n)f(n)，即f(2n)＝f2(n)．且有f(n＋1)f?n＋1?f2?1?＋f?2?f2?2?＋f?4?f2?3?＋f?6?f2?4?＋f?8?＝f(n)f(1)＝3f(n)，即＝3，则＋＋＋f?n?f?1?f?3?f?5?f?7?2f?2?2f?4?2f?6?2f?8? ＝＋＋＋＝2×3＋2×3＋2×3＋2×3＝24. f?1?f?3?f?5?f?7? 答案：B 5．(2013年太原模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝?log2?8－x?，x≤0，?则f(3)的值为( ) ?f?x－1?－f?x－2?，x>0， A．1 C．－2 B．2 D．－3 解析：依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3，选D. 答案：D 二、填空题 6．下列四个命题正确的有________． ①函数是其定义域到值域的映射； ②y＝x－3＋2－x是函数； ③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； 2 ?x，x≥0，④y＝?2的图象是抛物线． ?－x，x＜0 解析：命题①函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②x∈?，故不是函数； y＝2x(x∈N)的图象是一群孤立的点，故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．故只有①正确． 答案：① x ?2， x≥2， 7．已知函数f(x)＝?则f(log45)＝________. f?x＋2?， x＜2，? 解析：f(log45)＝f(log45＋2)＝22＋log45＝4·2log2 5＝45. 答案：45 8．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________． 解析：设点M(x，y)在所求函数的图象上，点M′(x′，y′)是M关于直线?x′＝4－x， x＝2的对称点，则? ?y′＝y， 又y′＝2x′＋1，∴y＝2(4－x)＋1＝9－2x， 即g(x)＝9－2x. 答案：g(x)＝9－2x 2－x－1，x≤0，?? 9．(2013年丽水模拟)函数f(x)＝?1 x，x>0，??2________． 解析：当x0≤0时，f(x0)＝2－x0－1，由f(x0)＝1，得2－x0－1＝1，即2－x011 ＝2，解得x0＝－1；当x0>0时，f(x0)＝x0，由f(x0)＝1，得x0＝1，解得x0＝1. 22经检验x0＝－1或1符合题意．综上可得x0的值为－1或1. 答案：－1或1 三、解答题 10．若函数f(x)＝解析式． 若f(x0)＝1，则x0的值为 x (a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的ax＋b 解析：由f(2)＝1得 2 ＝1，即2a＋b＝2； 2a＋b x?1? 由f(x)＝x得＝x，变形得x?ax＋b－1?＝0， ax＋b??1－b 解方程得x＝0或x＝a， 又因方程有唯一解， 1－b ∴a＝0， 1 解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝2， ∴f(x)＝ 2x. x＋2 2 ?x－1，x＞0， 11．已知f(x)＝x－1，g(x)＝? 2－x，x＜0.?(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值； (2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式． 解析：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， ∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝3－1＝2. (2)当x＞0时，g(x)＝x－1， 故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x＜0时，g(x)＝2－x， 故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3； 2 ?x－2x，x＞0， ∴f[g(x)]＝?2 ?x－4x＋3，x＜0. 当x＞1，或x＜－1时，f(x)＞0， 故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2； 当－1＜x＜1时，f(x)＜0， 故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2. 2 ?x－2，x＞1，或x＜－1， ∴g[f(x)]＝? 2 3－x，－1＜x＜1.? 12．(能力提升)设x≥0时，f(x)＝2；x<0时，f(x)＝1，又规定：g(x)＝ 3f?x－1?－f?x－2? (x>0)，试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图象． 2 解析：当0 ∴g(x)＝2＝1； 当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0， 6－15 ∴g(x)＝2＝2； 当x≥2时，x－1>0，x－2≥0， 6－2 ∴g(x)＝2＝2. 1，?0 故g(x)＝?2，?1≤x<2?， ??2，?x≥2?.其图象如图所示： [因材施教·学生备选练习] ?x，x≥0， 1．(2013年温州模拟)设函数f(x)＝?若f(a)＋f(－1)＝2，则a ?－x，x<0，＝( ) A．－3 C．－1 B．± 3 D．±1 解析：依题意得，f(a)＝2－f(－1)＝2－－?－1?＝1.当a≥0时，有a＝1，则a＝1；当a<0时，有－a＝1，a＝－1.综上所述，a＝±1，选D. 答案：D 2．动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B，C，D绕边界 ?5? 一周，当x表示点P的行程，y表示PA的长时，求y关于x的解析式，并求f?2? ??的值． 解析：当点P在AB上运动时，y＝x(0≤x≤1)； 当点P在BC上运动时， y＝12＋?x－1?2＝x2－2x＋2(1 y＝12＋?3－x?2＝x2－6x＋10(2 ??x－2x＋2，1 综上可知，y＝f(x)＝?x－6x＋10，2 ??4－x，3 22x，0≤x≤1， ?5?∴f?2?＝?? 55?5?2 ?2?－6×＋10＝. 22?? ?5? 一周，当x表示点P的行程，y表示PA的长时，求y关于x的解析式，并求f?2? ??的值． 解析：当点P在AB上运动时，y＝x(0≤x≤1)； 当点P在BC上运动时， y＝12＋?x－1?2＝x2－2x＋2(1 y＝12＋?3－x?2＝x2－6x＋10(2 ??x－2x＋2，1 综上可知，y＝f(x)＝?x－6x＋10，2 ??4－x，3 22x，0≤x≤1， ?5?∴f?2?＝?? 55?5?2 ?2?－6×＋10＝. 22??