2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.共150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量a??3,1，b是不平行于x轴的单位向量，且a?b??3，则b=
?31??1?1333????? A. B. C. ?,,,?22??22??44??????? D. ?1,0? ??2.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a?3b?c?10，则a=
A.4 B.2 C.-2 D.-4 3.若△ABC的内角A满足sin2A?23，则sinA?cosA?
A.
153 B. ?2?x153 C.
53 D. ?53
4.设f?x??lg?x??2?，则f???f??的定义域为
2?x?2??x? A. ??4,0???0,4? B. ??4,?1???1,4? C. ??2,?1???1,2? D. ??4,?2???2,4? ?5.在???1?x???3x?24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 6.关于直线m、n与平面?、?，有下列四个命题：
①m//?,n//?且?//?，则m//n； ②m??,n??且???，则m?n；
③m??,n//?且?//?，则m?n； ④m//?,n??且???，则m//n. 其中真命题的序号是：
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 7.设过点P?x,y?的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP?2PA，且OQ?AB?1，则P点的轨迹方程是 A. 3x2? C.
32232y2?1?x?0,y?0? B. 3x?232y2?1?x?0,y?0?
2x?3y2?1?x?0,y?0? D.
32x?3y2?1?x?0,y?0?
8.有限集合S中元素个数记作card?S?，设A、B都为有限集合，给出下列命题： ①A?B??的充要条件是card?A?B?= card?A?+ card?B?； ②A?B的必要条件是card?A??card?B?； ③A?B的充分条件是card?A??card?B?； ④A?B的充要条件是card?A??card?B?.
其中真命题的序号是
A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③ 9.已知平面区域D由以A?1,3?、B?5,2?、C?3,1?为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域
D 上有无穷多个点?x,y?可使目标函数z?x?my取得最小值，则m?
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 4 10.关于x的方程?x?1??x?1?k?0，给出下列四个命题：
222 ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设x、y为实数，且
x1?i?y1?2i?51?3i，则x+y=___________.
12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为___________.（精确到0.01）
13.已知直线5x?12y?a?0与圆x2?2x?y2?0相切，则a的值为___________. 14.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是___________.（用数字作答） 15.将杨辉三角中的每一个数Cn都换成分数
r1?n?1?Cnr，
就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角
形. 从莱布尼茨三角形可以看出
1?n?1?C令an?rn?1?n?1?C1?130xn?1601nCrn?1，其中x=_______.
13?12??????1nCn?12?1?n?1?Cn2，
则liman=_______.
n??
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
设函数f?x??a??b?c?，其中向量a??sinx,?cosx?,b??sinx,?3cosx? c???cosx,sinx?,x?R.
（Ⅰ）求函数f?x?的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数y?f?x?的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心
对称，求长度最小的d.
17.（本小题满分13分）
已知二次函数y?f?x?的图像经过坐标原点，其导函数为f??x??6x?2.数列?an?的前n项和为Sn，点?n,Sn??n?N*?均在函数y?f?x?的图像上.
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设bn?3anan?1，Tn是数列?bn?的前n项和，求使得Tn?m20对所有n?N*都
成立的最小正整数m.
18.（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，
p是侧棱CC1上的一点，CP?m.
（Ⅰ）试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；
（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 并证明你的结论. 19.（本小题满分10分）
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N?70,100?.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名. （Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表??x0??P?x?x0?
x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
20.（本小题满分14分）
设A、B分别为椭圆
x2a2?y2b2?1?a,b?0?的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，
且x?4为它的右准线. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.
（此题不要求在答题卡上画图） 21.（本小题满分14分）
设x?3是函数f?x???x2?ax?b?e3?x?x?R?的一个极值点. （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f?x?的单调区间； （Ⅱ）设a?0，g?x???a2???25?x?e.若存在?1,?2??0,4?使得f??1??g??2??1成立，4?求a的取值范围.
湖北省2006高考试题理科答案及解析
一、选择题:
1--5、BDABC；6--10、DDBCB； 二、填空题：
11、4； 12、0.94; 13、8或－18； 14、20； 15、r＋1，1/2。 部分试题解析：
10、解：本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令x2?1?t(t?0)①，则方程化为t2?t?k?0②，作出函数y?x2?1的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0 故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即0?k?14此时方程②有两根且均小于1大于0， 14故相应的满足方程x2?1?t的解有8个，即原方程的解有8个；当k?个相等正根t＝ 12时，方程②有两 ，相应的原方程的解有4个；故选B。 14、解：考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定；据题意由于丁必需在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件使其与其 53他四人进行排列共有A5种排法，在所在的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A3种，故 满足条件的排法种数共有 A553A3?20。 15、解：本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时 x?r?1，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即 an?13C20?14C31?15C412???1nCn?1n?3?1?n?1?Cnn?2根据第一问所推出的结论只需在原式 基础上增加一项 ?n?1?Cnn?1，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给 出的数表可逐次向上求和为 12，故an?12?1?n?1?Cnn?1，从而 ?1?11liman?lim???。 n?1?x??x??2n?1C??n?2?三、解答题： 16、点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+ 2?23?4). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是 3?43?4＝?. k?23?8（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.?，即x＝ ?,k∈Z， 于是d＝（ k?2?3?8，－2），d?(k?2?3?8)?4,k∈Z. 2因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（― ?8，―2）即为所求. 17． 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x－2x. ?2 又因为点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n－2n. 2 2 2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－?（3n?1)?2(n?1)?＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N?） 3anan?1（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?＝ 3(6n?5)?6(n?1)?5?＝ 126n?5(1?16n?1)， n故Tn＝?bi＝ i?11?1111111?＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)?2?26n?177136n?56n?1??16n?1m20因此，要使 12（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足 12≤m20，即 m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 18、点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。 解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD1B1相交于点，,连结OG，因为 PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG, D1C1B1GOP故OG∥PC，所以，OG＝ 12PC＝ m2. A1又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1， 故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角. ADCB2在Rt△AOG中，tan?AGO＝ OAGO?2?32，即m＝1. m32所以，当m＝ 13时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32. （Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP?平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。 解法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1) ????????????????所以BD?(?1,?1,0),BB1?(0,0,1),AP?(?1,1,m),AC?(?1,1,0). ????????又由AC?BD?0,BB1D1D的一个法向量。 ????????????AC?B1B?0知，AC为平面 D1zjC1O1PB1设AP与平面BB1D1D所成的角为?，则 sin??????????AP?AC?cos?(?????)??????2AP?AC22?2?m2A1D。依题 ABCy意有 2?m?1322?m2?322,解得m?13。故当 1?(32)x时，直线AP与平面BB1D1D所成的角的正切值为32。 （Ⅱ）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1－x，1)，?????D1Q?(x,1?x,0)。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价 ?????????于D1Q⊥AP?AP?D1Q?0??x?(1?x)?0?x?1.即Q为A1C1的中点时，满足题2设要求。 19． 点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为?，因为?～N(70，100)，由条件知， 90?7010P(?≥90)＝1－P（?<90）＝1－F(90)＝1－?()＝1－?(2)＝1－0.9772＝0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为 120.0228≈526（人）。 （Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则 P(?≥x)＝1－P（? 50526＝0.0951， 即?()＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1. 故设奖得分数线约为83.1分。 20．点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 2解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，a2Mcy2＝4，解得a＝2，c＝1，从 -41A-22B4而b＝3.故椭圆的方程为 x2-14?3?1. N-2-3（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）. ∵M点在椭圆上，∴y0＝34（4－x0）. ○1 2 又点M异于顶点A、B，∴－2 6y0x0?2）. 从而BM＝（x0－2，y0），BP＝（2， 6y0x0?2）. ∴BM·BP＝2x0－4＋ 6y02x0?2＝ 2x0?252（x0－4＋3y0）. ○2 2 2 将○1代入○2，化简得BM·BP＝ （2－x0）. ∵2－x0>0，∴BM·BP>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内。 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2）， x1?x22y1?y22则－2 ，）， 依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差 2BQ－ 14MN2＝( x1?x22－2）＋（ 2 y1?y22）－ 2 14[(x1－x2)＋(y1－y2)] 22 ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 ○3 y1x1?2y2x2?2又直线AP的方程为y＝(x?2)，直线BP的方程为y＝(x?2)， 而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上， 6y1x1?26y2x2?2（3x2?2)y1x1?22∴?，即y2＝ ○4 又点M在椭圆上，则 x142?y13?1，即y1?23414(4?x1) 5 2○ 于是将○4、○5代入○3，化简后可得BQ－从而，点B在以MN为直径的圆内。 2MN2＝（2－x1)(x2?2)?0. 4521． 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[3＋(a－2)3＋b－a ]e 2 3－3 ＝0，即得b＝－3－2a， 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e<0，f (4)＝（2a＋13）e>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又g(x)?(a?23－1 254)e在区间[0，4]上是增函数， 254254x且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋ 254，（a2＋ 14）e4]， 12由于（a2＋ 254）－（a＋6）＝a2－a＋ ＝（a?32）2≥0，所以只须仅须 （a2＋ ）－（a＋6）<1且a>0，解得0 32. 故a的取值范围是（0， ）。 湖北省2006高考试题理科命题点评 试卷在对数学基础知识全面考查的同时，不刻意追求知识点的全面覆盖，突出了对支撑数学学科知识体系的重点知识进行重点考查。选择题和填空题的前几题都相当容易，对于稳定考生情绪，鼓舞答卷士气具有强烈的推进作用，注重考查考生的基础知识、基本技能，全卷的区分度比较好。与去年相比，全卷难度有所增加，例如选择题第10题、填空题第15题突出考查考生的思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力。总体来看试卷的亮点就是稳中求变变而不怪，变中求新新而不偏. 1、题量及其分布的变化 此次试题最大的一个变化就是将试题的题量设置为21个题 ，其中选择题变为10个小题，减少了2个，填空题增加了1个变为5个，此前在各地的模拟试题中，这种题量的设置并不少见，相信考生早有准备，这样做突出体现了对主观题的考查力度，使高考具有更大的区分度，这样考生能有更多的时间去思考，给学生以充分时间进行发挥，这既体现了高考的创新立意，更体现了命题指导思想的科学化、人性化，应是以后高考命题的趋势。 2、重点知识作为重点考，热点问题不回避。如第17题数列，考查是数列的公式法求通项及裂项法求和及恒成立一类常见问题；第18题立体几何仍可以通过建立空间坐标系解答问题中的与直线和平面所成角及垂直有关的问题，体现了向量的工具性作用；第16题将三角与平面向量结合这类题目是常见题型，但考查知识非常全面如三角函数的化简、三角函数的图象与性质及向量平移知识；第21题导数题这些都是高考的热点内容，都做了重点考查，第20题考查解析几何，第二问题的转化相信大多数考生也能突破，但与考前常练习的与平面向量的结合没有体现出来，特别值得一提的是与以往不同的是以前对概率知识的考查本次变为对统计知识的正态分布的考查，对以后高考复习提出了一定的要求，更加体现了数学的应用性功能。 3、几个知识点的考题减少，分值降低：不等式、二项式定理、概率、平面向量、证明等知识点与题型有 所减少，分值降低。 总体来看试卷突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题能力等核心数学能力的考查，倡导理性的数学思维，不刻意追求知识点的覆盖面，控制了创新题的数量，整卷试题平和传统，背景公平，突出了在立意上创新，在解法上常见，着力考查充分运用数学的基础知识、基本方法、基本技能来解答数学基本问题的能力，以此来检查考生的数学素质。