2010年全国各地数学中考试题分类汇编
二次函数的图象和性质
一、选择题
1．（2010安徽蚌埠）已知函数y?3?(x?m)(x?n)，并且a,b是方程3?(x?m)(x?n)?0 的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是
m?a?b?n B．m?a?n?b C．a?m?b?n D．a?m?n?b A．
【答案】D
2．（2010安徽省中中考） 若二次函数y?x2?bx?5配方后为y?(x?2)2?k则b、k 的值分别为………………（ ）
A）0.5 B）0.1 C）—4.5 D）—4.1 【答案】C
3．（2010甘肃兰州） 二次函数y??3x2?6x?5的图像的顶点坐标是 A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4） 【答案】A
4．（2010甘肃兰州） 抛物线y?x2?bx?c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y?x2?2x?3，则b、c的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 【答案】B 5．（2010甘肃兰州） 抛物线y?ax2?bx?c图像如图所示，则一次函数y??bx?4ac?b2与反比例函数 y?
第15题图 【答案】D
6．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①y??x；②y?x；③y?a?b?c在同一坐标系内的图像大致为
xx x x x x 12；④y?x．x?0x时，y随x的增大而减小的函数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C
7．（2010山东烟台）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为
- 1 -
【答案】D
8．（2010台湾）坐标平面上有一函数y=24x2?48的图形，其顶点坐标为何？
(A) (0，?2) (B) (1，?24) (C) (0，?48) (D) (2，48) 。 【答案】C
9．（2010台湾） 坐标平面上，若移动二次函数y=2(x?175)(x?176)?6的图形，使其与x轴
交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种？ (A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位 (C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。 【答案】D 10．（2010浙江杭州）定义[a,b,c]为函数y?ax2?bx?c的特征数, 下面给出特征数为
[2m，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(
18，)； 333； 2 ② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ③ 当m < 0时，函数在x >
1时，y随x的增大而减小； 4 ④ 当m ? 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
【答案】B 11．（2010 嵊州市）已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示,记
2p?a?b?c?2a?b,q?a?b?c?2a?b,则p与q的大小关系为 ( )
- 2 -
A.p?q B.P?q C.p?q D.p、q大小关系不能确定
yo1x
【答案】C
12．10．（2010 浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线
y?a(x?m)2?n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），
点C的横坐标最小值为?3，则点D的横坐标最大值为(▲)
（第10题） y A(1,4)B(4,4)CDx O
A．－3 B．1 C．5 D．8 【答案】D
13．（2010浙江金华） 已知抛物线y?ax2?bx?c的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ▲ ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 【答案】B
2D. 最大值2
14．（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线y?x?1与x轴的交点的个数是（ ） A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
15．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
y 1 O 1 x 1 O 1 x y 1 O 1 x y y 1 O 1 x A． B． C． D．
【答案】C
16．（2010 浙江衢州） 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，
设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
- 3 -
A D
B
C
(第10题)
D．y?A．y?22x 25 B．y?422x C．y?x2 25542x 5【答案】C
17．（2010江苏泰州）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A.y??3112 B. y??x?5 C. y??x D. y?x(x?0) x22【答案】A
二、填空题
1．（2010安徽蚌埠）已知抛物线y?12x?bx经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛2物线的对称轴上确定一点D,使得AD?CD的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿。 【答案】﹝2,-6﹞
2．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ． 1
【答案】y=-x或y=- 或y=x2-2x，答案不唯一
x
3．（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .
【答案】－1＜x＜3
12 y?x?1上运动，4．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线
2当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ▲ .
- 4 -
【答案】(6,2)或(?6,2)(对一个得2分)
5．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ▲ ；
（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ▲ ．
y y?x
y2 · P O x
【答案】（1）2(x－2)2 或2x2?8x?8 （2）3、1、5?55?5、 226．（2010浙江金华）若二次函数y??x2?2x?k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程?x2?2x?k?0的一个解x1?3，另一个解x2? ▲ ；
y O 1 3 x (第15题图)
【答案】-1
- 5 -
三、解答题
1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、
B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、
B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是
否总成立?请说明理由．
【答案】
- 6 -
2．（2010广东广州，21，12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．
（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x y … … … … （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1
与y2的大小．
- 7 -
y1-5-4-3-2-1O12345-1x
【答案】解：（1）x＝1；（1，3）
（2） x y … … －1 －1 0 2 1 3 2 2 3 －1 … … y1-5-4-3-2-1O12345-1x
（3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．
3．（10湖南益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，
0），B（6，0），C（0，3）.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由. y
P
D C
E
1 ABo1?1 x
【答案】解：⑴ 由于抛物线经过点C(0,3)，可设抛物线的解析式为
- 8 -
?4a?2b?3?0， y?ax2?bx?3(a?0)，则??36a?6b?3?01??a?? 解得?4
??b?1∴抛物线的解析式为y??12x?x?3 ……………………………4分 4⑵ D的坐标为D(4,3) ……………………………5分
1x?1 21直线BC的解析式为y??x?3
2直线AD的解析式为y?1?y?x?1??2 由?
1?y??x?3?2? 求得交点E的坐标为(2,2) ……………………………8分 ⑶ 连结PE交CD于F，P的坐标为(2,4)
又∵
E(2,2)，C(0,3),D(4,3)
∴PF?EF?1,CF?FD?2，且CD?PE
∴四边形CEDP是菱形 ……………………………12分 4．（2010江苏南京）（7分）已知点A（1，1）在二次函数y?x?2ax?b图像上。 （1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图像与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。 【答案】
2
5．（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象．．
2
上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； （3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛
- 9 -
物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
B
【答案】解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)
1
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
41
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y= x2+x+1……（3分）
4 （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．
2
∵y=ax+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： 1
y= x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 4
y A O x 坐标为A（0，1）………（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PC?BC，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）
OBAO设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
11
∵点P在二次函数y= x2+x+1的图象上，∴-4-2x= x2+x+1…………………（6分）
44解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）
2
（3）点M不在抛物线y=ax+x+1 上……………………………………………（8分） 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ
1
∴QE∥MD，QE= MD，QE⊥CE
2∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
1
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =
2
816
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE= ，QE=
55
1816
∴Q点的坐标为(- ， )
55
- 10 -
1432
可求得M点的坐标为( ， )…………………………………………………（11分）
55
1141414432∵()2+()+1 = ≠ 455255
2
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax+x+1 上……………………（12分）
(其它解法，仿此得分)
y P M Q E C B -2 1 A O 1 D x
6．（2010辽宁丹东市）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，
0），点N的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积
S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若
存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出．．
此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
yH（-8，0）OxN（-6，-4）M 第26题图 【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． ············· 1分
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ·················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）
- 11 -
y ↑
A F
H －8 O M
D B E
→ x C
N (－6，－4)
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y?ax2?bx?c， ∵抛物线过点A（0，4），
∴c?4．则抛物线关系式为y?ax?bx?4． ······················································ 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
2?36a?6b?4?4， ·········································································································· 5分 ??64a?8b?4?0．1?a??，??4解得? ·············································································································· 6分
3?b?．??2所求抛物线关系式为：y??123x?x?4． ··························································· 7分 42（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ······················································ 8分 ∴S四边形EFGB?S梯形ABCO?S△AGF?S△EOF?S△BEC ? ?1111OA（AB+OC）?AF·AG?OE·OF?CE·OA 22221111?4?（6?8）?m(4?m)?m(8?m)??4m 22222 ?m?8m?28 （ 0＜m＜4） ··················································· 10分
∵S?(m?4)?12． ∴当m?4时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ·············································· 12分 （4）当m??2?26时，GB=GF，当m?2时，BE=BG． ····································· 14分
2 - 12 -
7．（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，?1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，?PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和?PAC的最大面积. 【答案】
（1）解：设抛物线为y?a(x?4)?1.
2y D A O B C x
(第23题)
∵抛物线经过点A（0，3），∴3?a(0?4)?1.∴a?∴抛物线为y?21. 411(x?4)2?1?x2?2x?3. ……………………………3分 44 (2) 答：l与⊙C相交. …………………………………………………………………4分
证明：当
1(x?4)2?1?0时，x1?2，x2?6. 4 ∴B为（2，0），C为（6，0）.∴AB?32?22?13. 设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则?BEC?90???AOB. ∵?ABD?90?，∴?CBE?90???ABO.
又∵?BAO?90???ABO，∴?BAO??CBE.∴?AOB∽?BEC. ∴
CEBCCE6?28???2.…………………………6分 .∴.∴CE?OBAB21313∵抛物线的对称轴l为x?4，∴C点到l的距离为2.
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交. ……………………………………………7分
(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.
- 13 -
1x?3.…………………………………………8分 2121设P点的坐标为（m，m?2m?3），则Q点的坐标为（m，?m?3）.
42112123 ∴PQ??m?3?(m?2m?3)??m?m.
244211233272 ∵S?PAC?S?PAQ?S?PCQ??(?m?m)?6??(m?3)?,
2424427 ∴当m?3时，?PAC的面积最大为.
43 此时，P点的坐标为（3，?）. …………………………………………10分
4可求出AC的解析式为y??y D A O Q E B P C x
(第23题)
8．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、
2y??x?bx?c经过坐标原点O和xAB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线
轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
t?① 当
114时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
- 14 -
图1 图2
2y??x?bx?c经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0） 【答案】解：（1）因抛物线
故可得c=0,b=4
2y??x?4x…………………………………………1分 所以抛物线的解析式为2y???x?2??4y??x?4x由
2得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
（2）① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)， 设直线ME的关系式为y=kx+b.
?4k?b?0?k??2??2k?b?4?于是得 ，解得?b?8
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分
t?由已知条件易得，当
11111111P(,)4时，OA=AP=4，44…………………4分
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]
t?∴ 当
114时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t+4t) …………………………………6分
∴ AN=-t+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t+4 t)- t=-t+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t+3 t …………………………………………………………………………………7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形
11的高为AD，∴ S=2DC·AD=2×3×2=3. （ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
11 2 2
∴ S=2(CD+PN)·AD=2[3+(-t+3 t)]×2=-t+3 t+3…………………8分 当-t+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）
- 15 -
2
2
2
2
2
2
也可以,不扣分）
9．（2010山东青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
A A
D P Q B
A （ ） C E
图（1）
D F B E C 图（2）
F B
图（3）
C
【答案】
解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
A ∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t， D ∴CQ = t. P ∴AQ = 8－t. Q 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
B M E C F 则AP = 10－2 t.
图（2）
∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. ························· 4分
（2）过P作PM?BE，交BE于M，
∴?BMP?90?.
- 16 -
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB? ∴ACPM， ?ABBP8PM8PM = t. ? . ∴
52t10 ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
11118 ∴y = S△ABC－S△BPE =BC?AC－BE?PM= ?6?8－??6?t??t
222254244842=t2?t?24 = ?t?3??. 55554∵a??0，∴抛物线开口向上.
584∴当t = 3时，y最小=.
584答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. ·················· 8分
5 （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作PN?AC，交AC于N， ∴?ANP??ACB??PNQ?90?.
A ∵?PAN??BAC，∴△PAN ∽△BAC.
PNAPAN∴. ??D BCABACPN10?2tAN∴. ??P N 6108Q 68∴PN?6?t，AN?8?t. B F E C 55图（3）
∵NQ = AQ－AN，
38∴NQ = 8－t－(8?t) = t．
55∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP .
636?ttPNNQ55??∴ . ∴ . FCCQ9?tt66?t3∵0?t???? ∴5?
9?t5解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. ······························· 12分
10．（2010山东烟台）（本题满分14分）
如图，△ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD，AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由。 （2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。
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【答案】
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11．（2010山东威海）（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点． 求证：△ABM与△ABN的面积相等．
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A
图 ①
B
M D N C
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图③，抛物线y?ax2?bx?c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线y?ax2?bx?c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚
y D C F G
图 ②
E
A
B
M D C B O 图 ③
A x
y D C B O 备用图
A x
【答案】
﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．
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解得???b??22
??c?812x?22x?8． 4所以经过B、P两点的抛物线为y?设过B、P两点的直线为y＝kx+b, 将B、P两点的坐标代入，得
??42k?b?0 ???82k?b?8解得??k?2? ??b??8所以过B、P两点的直线为y＝2x－8．
12x?22x?8） 412121x?62MN＝（2x－8）－（x?22x?8）＝?x?32x?16??444依题得，动点M的坐标（x,
2x－8），N的坐标（x,
??2?2
当x?62时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1．
28．（2010江苏宿迁）（本题满分12分）已知抛物线y?x2?bx?c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．
求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的
求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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1？若存在，3【答案】（1）求出：b??4，c?3，抛物线的对称轴为：x=2
(2) 抛物线的解析式为y?x2?4x?3，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，
BE
∵?OBC是等腰直角三角形，?DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分 在Rt?ODF和Rt?EBF中， OD=OF2?DF2??22?12?5 ，BE=EF2?FB2?22?12?5
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在， ………………8分
由题意得：S四边形ODBE?设点Q坐标为（x，y）， 由题意得：S三角形OBQ?∴y??1
当y=1时，即x?4x?3?1，∴ x1?2?2， x2?2?2，
∴Q点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分 当y=-1时，即x?4x?3??1， ∴x=2， ∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1），Q2 (2-2，1) ，Q3（2，-1） 使得S三角形OBQ=
22119OB?DE??3?3? ………………9分 222131193OB?y?y=S四边形ODBE??? 2233221S四边形ODBE． ………………12分 3E Q2 F
Q1 Q3
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29．已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）． （1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 ▲ 个单位．
?4a?2b?3??3?4a?2b?0?a?1 【答案】解：(1)由已知，有?，即?，解得?
b??2a?b?3?0a?b?3???∴所求的二次函数的解析式为y?x2?2x?3.
(2) 4
30．（2010 四川南充）已知抛物线y??F(?k?1,?k2?1)． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线y??12x?bx?4上有不同的两点E(k?3,?k2?1)和212x?bx?4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB2的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式． （3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
y B M C A P O D x Q 【答案】
11. 解：（1）抛物线y?? 12x?bx?4的对称轴为x??2b?b． ……..（1分）
?1?2?????2?2∵ 抛物线上不同两个点E(k?3,?k?1)和F(?k?1,?k?1)的纵坐标相同， ∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 b?2(k?3)?(?k?1)?1，且k≠－2．
2 - 48 -
∴ 抛物线的解析式为y??（2）抛物线y??12x?x?4． ……..（2分） 212x?x?4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）， 2∴ AB＝42，AM＝BM＝22． ……..（3分） 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴ ∠BCM＝∠AMD．
故 △BCM∽△AMD． ……..（4分） ∴
8BCBMn22?，即 ，n?． ?mAMADm228（m＞0）． ……..（5分） m122（3）∵ F(?k?1,?k?1)在y??x?x?4上，
2122 ∴ ?(?k?1)?(?k?1)?4??k?1，
2故n和m之间的函数关系式为n? 化简得，k?4k?3?0，∴ k1＝1，k2＝3．
即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6分） ①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为y?kx?b，
21??2k?b?2，1?k?， 则 ? 解得，?2 ∴ 直线MF的解析式为y?x?1．
2??2k?b?0.?b?1.? 直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）． 若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝
8； 34． ……..（7分） 3 若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝
②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为y?kx?b，
5?k?，??2k?b?2，54?3 则 ? 解得，? ∴ 直线MF的解析式为y?x?．
33??4k?b??8.?b??4.?3? 直线MF与x轴交点为（
44，0），与y轴交点为（0，?）． 53 - 49 -
3416）＝，m＝；
2334165 若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝． ……..（8分）
525 若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（?8??m1?, 故当?3
??n1?3,
?m2?6,??4 n?,2?3?316??m?,m?,???32?45或?时，∠PMQ的边过点F． ?165?n??n?34??3??231. （2010 山东济南）如图，已知抛物线y?x2?bx?c经过点（1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线y?x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线
x?m0?m?5?1与抛物线交于点M，与直线y?x交于点N，交x轴于点P，求
线段MN的长（用含m的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？
若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】
A M O P x N B y x=m ??y=x
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