黑龙江省哈尔滨六中2015届高考数学四模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若全集U={x∈R|x≤4}，A={x∈R|﹣2≤x≤0}，则?UA=( ) A．（0，2） B．[0，2） C．（0，2]
2
102
D．[0，2]
2．已知复数z=1+i+i+…i，则复数z在复平面内对应的点为( ) A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（0，1） D．（1，0）
3．已知角α终边与单位圆x+y=1的交点为 A．
4．将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2
B．
C．
2
2
，则
D．1
=( )
倍，所得新图象的函数解析式是( ) A．y=sin4x
5．设x＞0，且1＜b＜a，则( ) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
x
x
B．y=sinx C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x﹣）
A．12
B．4 C． D．
7．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为( ) A．
B．
C．
D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入 ( )
A．n≥4？
9．双曲线C：
﹣
B．n≥8？
C．n≥16？ D．n＜16？
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C
的焦距等于( ) A．2 B．2 C．2 D．4
10．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a=1，c=4积为2，则sinC=( ) A．
11．设F1、F2是椭圆x+
2
且△ABC的面
B． C． D．
=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两
2
点，若|AF1|=3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b=( ) A．
B．
C．
D．
12．已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象由左到右相交
于点A，B，l2 与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值是( ) A．2 B．4 C．8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
D．16
13．设与的夹角为θ，=（3，3），2﹣=（﹣1，1），则cosθ=__________．
14．设实数x，y满足约束条件，若z=﹣2x+y，则z的最小值是__________．
15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为__________．
16．若关于x的函数f（x）=
（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且
M+N=4，则实数t的值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．
17．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S10=55，且a2，a4，a8成等比数列 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=
，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
18．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：
一次购物款（单位：元） [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） [200，+∞） 顾客人数 m 20 30 n 10
统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率）
（Ⅰ）试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；
（Ⅱ）为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表： 一次购物款（单位：元） [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 返利百分比 0 6% 8% 10%
请估计该商场日均让利多少元？
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为A的正三角形，点M在边BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求证：直线A1B∥平面AMC1； （2）求三棱锥C1﹣AB1M的高．
20．过抛物线C：x=4y对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（1）当直线l方程为x﹣2y+12=0时，过A，B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线，求圆M的方程 （2）设
21．已知函数f（x）=
（a∈R）．
=λ
，证明：
⊥（
﹣λ
）
2
（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（2）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P． （Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．
五、选修4-4：极坐标与参数方程
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系，直线l的参数方程为为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换
的最小值．
六、选修4-5：不等式选讲
24．已知a，b，x1，x2为正实数，且满足a+b=1 （1）求a+
2
得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求
的最小值．
（2）求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2．
黑龙江省哈尔滨六中2015届高考数学四模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
2
1．若全集U={x∈R|x≤4}，A={x∈R|﹣2≤x≤0}，则?UA=( ) A．（0，2） B．[0，2） C．（0，2] D．[0，2]
考点：补集及其运算． 专题：集合．
分析：解二次不等式求出集合U，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．
2
解答： 解：∵全集U={x∈R|x≤4}=[﹣2，2]， A={x∈R|﹣2≤x≤0}=[﹣2，0]， 则?UA=（0，2]， 故选：C
点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
2．已知复数z=1+i+i+…i，则复数z在复平面内对应的点为( ) A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（0，1） D．（1，0）
考点：虚数单位i及其性质． 专题：数系的扩充和复数．
210
分析：找出规律1+i+i+i=0，计算即可．
234
解答： 解：∵i=﹣1，i=﹣i，i=1，
23
∴1+i+i+i=0， 4567423
i+i+i+i=i（1+i+i+i）=0， 891082
i+i+i=i（1+i+i）=（1+i﹣1）=i，
210
∴z=1+i+i+…i=i，
其在复平面内对应的点为（0，1）， 故选：C．
点评：本题考查虚数的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．
3．已知角α终边与单位圆x+y=1的交点为 A．
B．
C．
2
2
23
，则D．1
=( )
考点：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义． 专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用诱导公式、二倍角的
余弦公式求得的值．
解答： 解：由题意可得，cosα=， 则
=cos2α=2cosα﹣1=2×﹣1=﹣，
2
故选：A．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
4．将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2
倍，所得新图象的函数解析式是( ) A．y=sin4x
B．y=sinx
C．y=sin（4x﹣
） D．y=sin（x﹣
）
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质．
分析：直接利用三角函数的平移变换求解即可．
解答： 解：将函数y=sin（2x+=sin（2x﹣
），
）的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣+）
再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y=sin（x﹣故选：D．
）．
点评：本题考查三角函数的平移变换，基本知识的考查．
5．设x＞0，且1＜b＜a，则( ) A． 0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
考点：指数函数单调性的应用． 专题：探究型．
分析：利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．
x0x
解答： 解：∵1＜b，∴b＜b， ∵x＞0，∴b＞1
xx
∵b＜a，∴∵x＞0，∴
xx
∴a＞b ∴1＜b＜a 故选C．
点评：本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题．
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．12
B．4
C．
D．
考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题．
分析：该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积． 解答： 解：由三视图复原几何体，如图，
它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，
这个几何体的体积：，
故选B．
点评：本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．
7．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为( ) A．
B．
C．
D．
考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计．
分析：设合格饮料为1，2，3，4，不合格饮料为5，6．利用列举法列出从6听中选2听共有15种方法，有1听不合格的有8种，有2听不合格的有1种，最后利用概率公式即可求出所求概率
解答： 解：设合格饮料为1，2，3，4，不合格饮料为5，6 则6听中选2听共有（1，2）、（1，3）、（1，4）（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、 （2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）共15种， 有1听不合格的有（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）共8种；
有2听不合格的有（5，6）共1种，
故所求事件的概率为P==．
故选：C．
点评：本题考查等可能事件的概率计算，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
8．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入 ( )
A．n≥4？ C．n≥16？ D．n＜16？
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答： 解：第一次执行循环体后，S=1，n=2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=3，n=4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=7，n=8，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=15，n=16，满足退出循环的条件； 故判断框中的条件应为n≥16？， 故选：C
点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
B．n≥8？
9．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C
的焦距等于( ) A．2 B．2 C．2 D．4
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：运用离心率公式，焦点到渐近线的距离为，可得b，可得双曲线的几何量，求解焦距即可．
解答： 解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，
可得，b=，可得c=4a=a+b，解得a=1，
22222
c=2，
所以2c=4． 故选：D．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．
10．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a=1，c=4积为2，则sinC=( ) A．
B．
C．
D．
且△ABC的面
考点：三角形的面积公式． 专题：解三角形．
分析：S△ABC=41，b=5或
=2，可得sinB=．利用余弦定理可得：b=a+c﹣2accosB=25或
，代入解出即可． =2，∴sinB=
．
222
（舍去），利用正弦定理可得：
=﹣2×
×
解答： 解：∵S△ABC=∴b=a+c﹣2accosB=∴b=5或
∴b=5．
（舍去），
2
2
2
=25或41，
由正弦定理可得：，
∴sinC==．
故选：B．
点评：本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．设F1、F2是椭圆x+
2
=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两
2
点，若|AF1|=3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b=( ) A．
B．
C．
D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出（﹣c，﹣b），代入椭圆方程，结合1=b+c，即可求出椭圆的方程． 解答： 解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b，
2
∴A点坐标为（c，b）， 设B（x，y），则 ∵|AF1|=3|F1B|，
2
∴（﹣c﹣c，﹣b）=3（x+c，y） ∴B（﹣c，﹣b），
2
2
222
代入椭圆方程可得∵1=b+c， ∴b=，
22
2
=1，
故选：C．
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知两条直线l1：y=m和l2：y=
（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象由左到右相交
于点A，B，l2 与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
考点：函数的最值及其几何意义． 专题：函数的性质及应用．
分析：通过设各点横坐标分别为xA、xB、xC、xD，依题意可求得xA、xB、xC、xD的值，利
用a=|xA﹣xC|、b=|xB﹣xD|及基本不等式可求得当m变化时的最小值． 解答： 解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD， 则﹣log2xA=m，log2xB=m； ﹣log2xC=∴xA=2
﹣m
，log2xD=，xB=2，xC=
m
；
，xD=
．
∴a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|，
m
∴==|
|=2?=．
又m＞0，∴m+=（m+1）+﹣1≥2﹣1=3（当且仅当m=1时取“=”），
∴≥2=8， 故选：C．
点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到=
是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，注意解题方法的积累，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设与的夹角为θ，=（3，3），2﹣=（﹣1，1），则cosθ=
考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题．
3
．
分析：设出的坐标，利用2﹣=（﹣1，1）求得x和y，进而求得两向量的积，和两向量的模，最后利用平面向量的数量积的法则求得cosθ的值． 解答： 解：设=（x，y），
故2﹣=（2x﹣3，2y﹣3）=（﹣1，1）?x=1，y=2， 即b=（1，2），则?=（3，3）?（1，2）=9，||=3故cosθ=
=
，|b|=
，
故答案为：
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查了学生对向量基础知识的应用．
14．设实数x，y满足约束条件，若z=﹣2x+y，则z的最小值是﹣2．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z=﹣2x+y的最优解，代入坐标求得z=﹣2x+y的最小值．
解答： 解：由约束条件作可行域如图，
由图可知，可行域中点A的坐标是使目标函数z=﹣2x+y取得最小值的最优解． 在
中，解得y=0得x=1．
∴点A的坐标为（1，0）．
则z=﹣2x+y的最小值是﹣2×1+0=﹣2． 故答案为：﹣2．
点评：本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．
15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为3π．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．
解答： 解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2， 且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形， 由题意⊙O1的半径为r=1， ∴△ABC的边长为，
∴圆锥的底面半径为，高为3， ∴
．
故答案为：3π 点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高，是解答的关键．
16．若关于x的函数f（x）=M+N=4，则实数t的值为2．
考点：函数的最值及其几何意义． 专题：函数的性质及应用．
（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且
分析：由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=t的值．
解答： 解：由题意，f（x）=
是奇函数，从而2t=4，即可求出实数
=t+，
显然函数g（x）=是奇函数，
∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4， ∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4， ∴t=2，
故答案为：2． 点评：本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．
17．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S10=55，且a2，a4，a8成等比数列 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=
，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）直接计算即可；
（2）通过Sn=，可得b4n﹣1=2n，计算即可．
解答： 解：（1）由得，
解得：a1=d=1，故an=a1+（n﹣1）d=n； （2）∵Sn=
，∴bn=
=
，则b4n﹣1=2n，
=n+n．
2
∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2+4+6+…+2n=
点评：本题考查求数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：
一次购物款（单位：元） [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） [200，+∞） 顾客人数 m 20 30 n 10
统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率）
（Ⅰ）试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；
（Ⅱ）为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表： 一次购物款（单位：元） [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 返利百分比 0 6% 8% 10% 请估计该商场日均让利多少元？
考点：函数模型的选择与应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）由100位顾客中购物款不低于100元的顾客人数等于100×60%列式求得n的值，再由5组中的人数和等于100求得m的值；
（Ⅱ）求出购物款大于等于50元的4租的人数，由每一组的购物款中间值乘以返利百分比乘以人数求得商场的日均让利． 解答： 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n+10+30=100×60%， 解得：n=20； ∴m=100﹣=20．
该商场每日应准备纪念品的数量大约为；
（II）设购物款为a元
当a∈[50，100）时，顾客有5000×20%=1000人， 当a∈[100，150）时，顾客有5000×30%=1500人， 当a∈[150，200）时，顾客有5000×20%=1000人， 当a∈[200，+∞）时，顾客有5000×10%=500人，
∴估计日均让利为75×6%×1000+125×8%×1500+175×10%×1000+30×500 =52000元．
点评：本题考查函数模型的选择及应用，训练了学生读取图表的能力，考查了学生的计算能力，是中档题．
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为A的正三角形，点M在边BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求证：直线A1B∥平面AMC1； （2）求三棱锥C1﹣AB1M的高．
考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 专题：综合题；推理和证明．
分析：（1）根据等腰直角三角形，可得AM⊥C1M且AM=C1M，根据三垂线定理可知
AM⊥CM，而底面ABC为边长为a的正三角形，证得点M为BC边的中点，连接A1C，交AC1于点N，连接MN，则N为A1C的中点，可得MN∥A1B，即可证明直线A1B∥平面AMC1； （2）利用
=
，求三棱锥C1﹣AB1M的高．
解答： （1）证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AM⊥C1M且AM=C1M
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC ∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM． ∵底面ABC为边长为a的正三角形， ∴点M为BC边的中点
连接A1C，交AC1于点N，连接MN，则N为A1C的中点 ∴MN∥A1B，
∵MN?平面AMC1，A1B?平面AMC1，∴A1B∥平面AMC1； （2）解：设三棱锥C1﹣AB1M的高为h， ∵AM⊥平面B1BCC1，∴∴
，∴h=
=a．．
，
点评：本题主要考查了点线的位置关系，以及点到平面的距离的计算，同时考查了空间想象
能力和计算能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．
20．过抛物线C：x=4y对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（1）当直线l方程为x﹣2y+12=0时，过A，B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线，求圆M的方程 （2）设
=λ
，证明：
⊥（
﹣λ
）
2
考点：抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（﹣4，4）．求出AB的垂直
平分线方程，抛物线在点A处的切线斜率为3．利用待定系数法，求出圆M的方程；
22
（2）可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x=4y得x﹣4kx﹣4m=0．设A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），x1x2=﹣4m．由
=λ
，得λ=﹣
．由此可以推
出⊥（﹣λ）．
得点A、B的坐标分别是（6，9）、（﹣4，4），
解答： （1）解：由
则AB的中点为（1，），斜率为k==，
故AB的垂直平分线方程为x+y﹣14=0． 由x=4y得y=
2
，y′=，所以抛物线在点A处的切线斜率为3
设圆M的方程为（x﹣a）+（y﹣b）=r，则
222
解得a=﹣，b=，r=
2
2
所以圆M的方程为（x+）+（y﹣）=
2
；
（2）证明：设AB方程为y=kx+m，A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），
22
代入抛物线方程x=4y得x﹣4kx﹣4m=0，x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4m 由
=λ
，得λ=﹣
，又点Q（0，2m），从而
=（0，2m）
﹣λ所以
=（x1﹣λx2，y1﹣λy2+（1﹣λ）m）， ?（
﹣λ
）=2m[y1﹣λy2+（1﹣λ）m]=2m（x1+x2）?
=0
所以⊥（﹣λ）．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程，考查向量知识，考查学生分析
解决问题的能力，属于中档题．
21．已知函数f（x）=
（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（a∈R）．
（2）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：（1）对f（x）进行求导，求出极值点，列出表格，进而求函数f（x）的极值；
（2）求出f（），f（1），f（2）的值，讨论与1，2值的大小，利用零点定理进行判断； 解答： 解：（1）f′（x）=ax﹣（a+1）x+1=a（x﹣1）（x﹣） ∵a＜0，∴＜1， +∞） f′（x） f（x）
（﹣∞，）
（，1）
1
（1，
2
﹣ 递减 0
极小值 + 递增 0
极大值 ﹣ 递减
∴f（x）极小值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=﹣（a﹣1）
（2）f（）==，f（1）=﹣（a﹣1）
f（2）=（2a﹣1），f（0）=﹣＜0， ①当a
时f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，f（0）=
，
f（1）=﹣（a﹣1）＞0，f（2）=（2a﹣1）≤0，所以f（x）在区间[0，1]，（1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；
当＜a≤1时，f（x）在[0，1]上为增函数，在（1，）上为减函数，（，2）上为增函数，f（0）=
，
f（1）=﹣（a﹣1）＞0，f（）=，f（2）=（2a﹣1）＞0，
所以f（x）只在区间[0，1]上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
③当a＞1时，f（x）在[0，]上为增函数，在（，1）上为减函数，（1，2）上为增函数，
f（0）=﹣＜0，f（）=，f（1）=﹣（a﹣1）＜0，f（2）
=（2a﹣1）＞0，
，所以f（x）只在区间（1，2）上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点； 故存在实数a，当a≤时，函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查存在性问题，突出考查函数的零点定理，分类讨论数学思想及综合分析与运算的能力，属于难题．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P． （Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．
考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．
专题：计算题；证明题． 分析：（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
2
（II）根据切割线定理得到PA=PB?PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得
2
PA?PC=BP?PE，求出PE，再根据切割线定理得AD=DB?DE=DB?（PB+PE），代入求出即可．
解答： 解：（I）证明：连接AB， ∵AC是⊙O1的切线， ∴∠BAC=∠D， 又∵∠BAC=∠E， ∴∠D=∠E， ∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
2
∴PA=PB?PD， 2
∴6=PB?（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PA?PC=BP?PE， ∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
2
∴AD=DB?DE=9×16， ∴AD=12 点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．
五、选修4-4：极坐标与参数方程
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系，直线l的参数方程为为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换
的最小值．
考点：参数方程化成普通方程；伸缩变换；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：计算题；压轴题．
222
分析：（1）利用ρ=x+y，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可； （2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，
得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求
代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．
解答： 解：（1）直线l的参数方程为为参数）．
由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得
22222
根据ρ=x+y，进行化简得C：x+y=1 （2）∵
代入C得∴
设椭圆的参数方程则
为参数）
则的最小值为﹣4． 点评：本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．
六、选修4-5：不等式选讲
24．已知a，b，x1，x2为正实数，且满足a+b=1 （1）求a+
2
的最小值．
（2）求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2．
考点：不等式的证明；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用． 专题：证明题；推理和证明．
分析：（1）由柯西不等式可得（a+的最小值；
（2）由柯西不等式可得
2
）（1+4）≥（a+b），即
2
≥，从而可得
，即可证明结论．
解答： （1）解：由柯西不等式可得（a+当
时，
的最小值为；
2
）（1+4）≥（a+b），∴
2
≥，
（2）证明：由柯西不等式可得
=
．
点评：本题考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是
关键．
六、选修4-5：不等式选讲
24．已知a，b，x1，x2为正实数，且满足a+b=1 （1）求a+
2
的最小值．
（2）求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2．
考点：不等式的证明；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用． 专题：证明题；推理和证明．
分析：（1）由柯西不等式可得（a+的最小值；
（2）由柯西不等式可得
2
）（1+4）≥（a+b），即
2
≥，从而可得
，即可证明结论．
解答： （1）解：由柯西不等式可得（a+当
时，
的最小值为；
2
）（1+4）≥（a+b），∴
2
≥，
（2）证明：由柯西不等式可得
=
．
点评：本题考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是
关键．