合肥市2015年高三第三次教学质量检测.
数学试题（文）
(考试时间：120分钟满分:150分）
注意事项： 1
.
答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位
.
2. 答第I卷时,每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答第II卷时，必须使用O.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、 笔迹清晰.作图题可先用铅笔在规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色 墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
第I卷（满分50分）
—.选择题（共10个小题,每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是 1.若复数
（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（ )
A. a = 1 B. a = - 1 C. a =0 D .a=±l 2.“m=3”是“f(x)=x”为(0，
）上的增函数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
3.R表示实数集,集合A.4.双曲线
B.
C.
D.既不充分也不必要条件
， D.
=1上有一
，则（ ）
(a>0,b >0)的一个焦点与抛物线y2 =16x的焦点重合,且双曲线
点到一个焦点的距离比到另一焦点的距离大4，则（ ）
A. b =4 B. C D.
的解集为（ ）
5.函数f(x)的图象如图所示，则不等式A. (l,B. (C.
) ,-3)
D.
6.已知|a|=1，|b| =2，a与b的夹角为60°，则“a+b 在a方向上的投影为（ ） A.2 B. 1 C.7.已知
D.
，若
，对
成立，则
最小 值为（）
A. B. C. D. 8.已知数列
满足
，则a5 =( )
A.5 B. 4 C.2 D. 1
9 已知，若，?，则a =( )
A. B..或 4 C.-或 4 D..或
10.已知梯形ABCD中，Ab//CD，旋转一周得到的几何体的表面积为（ ） A.
B.
C.
，DC=2AB=2BC=2，以对角线AC为旋转轴
D.
第II卷（满分100分）
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置） 11.函数y=f(x)是定义在（=
_
_
_
)上的奇函数.若x>0时、
_
_
_
， 则f( -2) +f(0)
_
；
12.如图所示，程序框图的输出结果 S=_______；
13.不等式组所表示的平面区域在圆
内的部分的面积等于=_______；
14.先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、 5、
6个点)两次，落在水平桌面后记正面朝上的数 字分别为
x,y,则概率=_______；
15.对于曲线y=f(x)，若存在直线l使得曲线y=f(x) 位于直线l的同一侧，则称曲线y =f(x) 为半面曲线，下列曲线中是半面曲线的序号为 _______.(填上所有正确的序号）
①Y=
②Y =x
3
③y=x4 +x3 ④y=x + ⑤Y=1-x2+x sinx
三.解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分12分）
ΔABC中 ,AB =
(1) 求ΔABC的面积； (2) 求
17.(本小题满分12分）
，BC=5，tan(C-) = -7.
） 的值.
随机询问720名某高校在校大学生在购买食物时是否阅读营养说明，得到下表
男生 女生 合计
已知这720名大学生中随机抽取1名，阅读营养说明的概率为求p,q的值； (1)
(2) 请根据独立性检验的知识来分析，有多少把握认为性别与阅读营养说明之间有关系. 温馨提示：随机变量参考数据：
，其中n=a+b+c+d
阅读 160 9 不阅读 P 80 合计 720
P(K2k 1
8
.
k) 0. 50 0. 40 0.25 0. 15 0. 10 0.05 0. 025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (
本
题
满
分
1
3
分）
在菱形ABCD中，AC=2,BD=4，AC与BD交于0， 将ΔABC)沿着
AC折起，使D点至点D'，且D'点到平面ABC距离为，如右
图所示.
(1) 求证AC丄BD
(2) E是BO的中点，过C作平面ABC的垂线l，直线l上是否
存在一点F，使EF//平面AD'C?若存在，求出CF的长；若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分）
在数列{an}中，a1=1,
是否存在实数A，B，使得(1)
为等比数列(其中A,B为常数）；
求数列(2) 的前n项和.
20.(本小题满分13分）
某小微企业日均用工人数a(人）与日营业利润f(x)（元）、日人均用工成本x(元)之间的函数关系为，
.
(1) 若日均用工人数a= 20，求日营业利润f(x)的最大值；
由于政府的减税、降费等一系列惠及小微企业政策的扶持,该企业的日人均用工成本x的值在区间(2)
[10，20]内,求该企业在确保日营业利润f(x)不低于24000元的情况下，该企业平均每天至少可供多少
人就业.
21.(本小题满分13分）
椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 ,F2，左顶点为A，上顶点为B, ΔBF1F2是等边三角
形，椭圆C上的点到F1的距离的最大值为3. 求椭圆C的方程； (1)
(2) 过F1任意作一条直线l交椭圆C于M、N(均不是椭圆的顶点），设直线AM与直线l0: x =- 4交于
P点，直线与l0交于Q点,请判断点F1与以线段PQ为直径的圆的位置关系.
2015年安庆市高三模拟考试（二模）
数学（文科）试题参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分.
1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.B 二．填空题：每小题5分，满分25分.
11.s甲?s乙 12.11 13. 2 14.(?2,0] 15.○2○3○4○5
三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
512，∴sinA?， 131334 又∵cosB?， ∴sinB?. ???3分
5516 ???6分 ?sinsC?in(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?65BCsinB13（Ⅱ）由正弦定理知：AC?? ???9分
sinA3
18∴S ???12分 ??BC?AC?sinC?S?ABC?ABC23
解：（Ⅰ）在⊿ABC中，∵cosA??17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如下表： 男 女 总计 会俄语 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30 ???3分
假设：是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得
30?(10?8?6?6)2?1.1575?2.706. K?(10?6)(6?8)(10?6)(6?8)2所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关. ??6分 （Ⅱ）会俄语的6名女记者，分别设为A,B,C,D,E,F,其中A,B,C,D曾在俄罗斯工作过. 则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD, BE,BF,CD,CE, CF,DE,
DF,EF 共15种， ???9分 其中2人都在俄罗斯工作过的是AB,AC,AD,BC,BD,CD共6种， ???11分
所以抽出的女记者中，2人都在俄罗斯工作过的概率是P=18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：BC?AC?AB?3?BC?3 ???2分
可证EF⊥平面BCD,
22262?. ???12分 1551112VD?BCE?VE?BCD??S?BCD?EF???3?6?1?. ???5分
3322
(Ⅱ)证明：连接CF,
AB?BF??AB?BC??依题意：
BFIBC?B??
AB?平面BFD?AB?BD?????EF?BD① ???8分
EF||AB?BD?平面BFD?
又在Rt?BCF和Rt?CDB中，
第18题图
6BF2BC32BFBC?2?,?????Rt?BCF∽Rt?CDB??10分 BC2CD2BCCD36?BDC??BCF??BDC??DCF??BCF??DCF?90??CF?BD ②
①②?BD?平面CEF，又CE?平面CEF所以BD?CE. ???12分
19．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)nan?1?2(n?1)an?n(n?1)?an?12an??1， ???2分 n?1n得an?12aa?1?n?2?2(n?1)即bn?1?2bn，
，n?1nn 又b1?2,所以?bn?是以2为首项，2为公比的等比数列. ???5分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知bn?2?nan?1?2n?an?n(2n?1),???7分 n
∴Sn?1?(2?1)?2?(22?1)?3?(23?1)?K?n(2n?1)
?1?2?2?22?3?23?K?n?2n?(1?2?3?K?n) ?1?2?2?22?3?23?K?n?2n?23nn(n?1). ???9分 2令Tn?1?2?2?2?3?2?K?n?2， 则2Tn?1?2?2?2?3?2?K?n?223234n?1，
n?1两式相减得：?Tn?2?2?2?K?2?n?2n2(1?2n)??n?2n?1，
1?2Tn?2(1?2n)?n?2n?1?(n?1)?2n?1?2. ???11分
∴Sn?(n?1)?2n?1?2?n(n?1). ???12分 220．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，
∴AF2?BF2?2AB. ???2分
∴4a?AF2?AF1?BF2?BF1?AF2?BF2?AB?3AB?12，??5分 得a?3，又e?ca?13，所以c?1，b?a2?c2?22， x2所求的椭圆方程为：9?y28?1. （Ⅱ）设M(x1,y1)、N(x2,y2)，MN的中点为（1，y0)，
2222由题意知：x1?y1?1，x29?y2988?1. 两式相减得：(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(9?y1?y2)8?0，
∴ky1?y2MN?x??8(x1?x2)8)??， 1?x29(y1?y29y0所以线段MN的中垂线方程为：y?y9y00?8(x?1)， 易证，此直线经过定点(19,0). 21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，
f'(x)?x?a?2a2x2?ax?2a2(x?2a)(x?x?x?a)x
（1）当a?0时，在(0,?2a)上f'(x)?0，在(?2a,??)上f'(x)?0，因此，f(x)在(0,?2a)上递减，在(?2a,??)上递增. （2）当a?0时，在(0,a)上f'(x)?0，在(a,??)上f'(x)?0，
因此，f(x)在(0,a)上递减，在(a,??)上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：a?0时，
fmin(x)?f(?2a)?2a2?2a2?2a2ln(?2a)??2a2ln(?2a)
由f(x)?0得:ln(?2a)?0?0??2a?1??12?a?0.
???7分 ???9分
???11分 ???13分 ???3分
???5分
???7分???10分
当a?0时，fmin(x)?f(a)?123a?a2?2a2lna?a2?2a2lna， 22333由f(x)?0得：a2?2a2lna?0?lna??0?a?e4. ???13分
2431综上得：a?(?,0)U(0,e4). ???14分
2
安徽省宿州市2015届高三第三次教学质量检测
数 学（理科）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知a∈R，i为虚数单位，若z?a?i3?i?R，则a等于（ ）
（A）?3 （B）3 （C）－1 （D）?（2）若集合A?{x|lg(x?2)?1}，集合B?{x|3 31?2x?8}，则A?B? ( ) 2（A）(?1,3) （B）(?1,12) （C）(2,12) （D）(2,3)
（3）双曲线y2?4x2?1的焦点坐标是（ ）
55,0) ) （D）(?22（4）已知i与j为互相垂直的单位向量，a?i?2j,b??i??j，且a与b夹角为钝角，则?的取值范
（A）((0,?2) （B）(?2,0) （C）(0,?围 是（ ）
1122,??) （C）(??,?2)∪(?2,) （D）(?2,)∪(,??) 223313（5）已知A是?ABC的内角，则“cos(??A)??”是“sin(??A)?”的（ ）
22 （A）（??,) （B）（
（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分又不必要条件
（6）已知等比数列{an}中，a2?2，则前3项的和S3的取值范围是（ ）
（A）(??,?2]?[6,??) （B）[6,??) （C）(??,0]?[6,??) （D）(??,?2]
12?x?y?1?0?（7）已知点A(2,?2)，点P(x,y)在?x?y?1?0所表示的平面区域内, 则OP在OA上射影的取值
?2x?y?1?0?范围是（ ）
（A）[?22222222,) （B）(?,) （C）(?,] （D）[?,] 22222222（8）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。则曲线
??2?x?1?2cos?C:?(?为参数）上到直线?cos(??)?2?0的距离等于的点的个数为（ ）
42??y?2?2sin?（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（9）已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x?[0,1]时，f(x)?x，那么在区间[－1，3]内关于x的
方程f(x)?kx?k?1（k?R且k??1）的根的个数（ ） （A）不可能有3个 （B）最少有1个，最多有4个
（C）最少有1个，最多有3个 （D）最少有2个，最多有4个
（10）已知正四面体ABCD内一点P，满足PA?PB?17，PC?PD?3，则该四面体的棱长是（ ）
（A）42 （B）22 （C）4 （D）8
第II卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
2（11）已知随机变量X服从正态分布N(1,?)，且P(|X?1|?1)?0.8，
则P(X?0)? .
（12）二项式(1?x)的展开式中系数最小的项是第 项.
（13）如图所示的程序框图中，输入f0(x)?cosx，则输出的结果是 .
（14）点F为抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点，过F的直线交
抛物线C于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的准 线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|?3，
9|NF|?4，则|MN|? .
（15）某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：
①函数y?f(x)的图像是轴对称图形； ②对任意实数x，f(x)≤x恒成立；
③函数y?f(x)的图像与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等； ④函数y?f(x)的图像与直线y?x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等； ⑤当常数k满足︱k︱＞1时，函数y?f(x)的图像与直线y?kx有且仅有一个公共点.
其中正确的结论序号是 （请写出所有正确结论序号）.
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
（16）(本小题满分12分)
已知函数f(x)?cos(2x??3)?sin2x.
C1)??，c?3, 24(Ⅰ) 求函数f(x)的最大值；
(Ⅱ) 若?ABC的三边a,b,c所对的角分别为A，B，C，且C为锐角，f(a?b?3，求?ABC的面积.
（17）（本小题满分12分）
宿州市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构。若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A、B、C三家社区医院，并且他们对三家社区医院的选择是等可能的且相互独立. (Ⅰ)求甲、乙两人都选择A社区医院的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X，求X的分布列和数学期望.
（18）（本小题满分12分）
已知四棱锥P?ABCD的直观图及三视图如图所示． (Ⅰ)求四棱锥P?ABCD的体积； （Ⅱ）若E是侧棱PC的中点， 求证：PA//平面BDE；
（Ⅲ）求二面角D?AP?B的余弦值.
（19）(本小题满分12分)
已知数列{an}满足:a1?1，an?an?1?(Ⅰ)证明数列{a2n?1}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
（20）(本小题满分13分)
4n?1(n?N?). 2x2y2?3?已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的两焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，并且经过点P?1,?.
ab?2?（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知圆O:x2?y2?r2(b?r?a)，若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆
O相切于点N；求|MN|的最大值．
（21）（本小题满分14分）
(x)?p(x?)?2lnx,g(x)?.设函数f（p?R，e是自然对数的底数）．
(Ⅰ)当p?2时，求函数y?f(x)的图像在点A(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在其定义域内为单调递增函数，求p的取值范围； （Ⅲ）若存在x1,x2?[1,e]，使得f(x1)?g(x2)成立，求p的取值范围．
1x2ex宿州市2015届高三第三次教学质量检测
数学（理科）参考答案
一、选择题：
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） B D C C B A D C B A 答案 二、填空题：（11） 0.1 （12）6 （13）cosx （14）5 （15）②④⑤ 三、解答题：
（16） 解：（Ⅰ）f(x)?cos2xcos当2x?2k???3?sin2xsin?3?1?cox2x31??sin2x?……3分 222?2即x?k???4(k?Z)时
3?1………………………………………………………………6分 2C3113?（Ⅱ）由(Ⅰ)知f()??sinC????sinC?C?…………8分
222423∴c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?2ab?2abcosC，∴ab?2 …………10分
函数f(x)的最大值是
13…………………………………………………………………12分 absinC?22111（17） (Ⅰ)设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么P(A)???
3391 ∴甲、乙两人都选择A社区医院概率为 ……………………………………3分
9111 （Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一社区医院”为事件B，那么P(B)?3???
3332∴甲、乙两人不选择同一社区医院的概率是P(B)?1?P(B)?………………6分
31（Ⅲ）依题意X~B(4,)
324?k24?kk1kk?C4?(k?0,1,2,3,4)，即 ∴X的分布列为P(X?k)?C4()?()3381 ∴S?ABC?
X P 0 1 2 3 4 16 8132 8124 818 811 81…………………………………………………………… 10分
14?…………………………………………………………… 12分 33（18）解：由三视图可知，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC?面ABCD，
且PC=2…………………………………………………………………………………2分
112(Ⅰ)由锥体体积公式得VP?ABCD?SABCD?PC??1?2?…………………………………4分
333（Ⅱ）连接AC，交BD于点F，显然F为AC中点，连接EF，则EF为三角形PAC中位线， 所以EF//PA,又PA在平面BDE外，PA//平面BDE……………………………………………………6分
（Ⅲ）以C为坐标原点，以CD、CB、CP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
∴EX?4?P?0，0，2?、D?1，0，0?、B?0，1，0?、A?1，1，0?， ????????????????AD??0,?1,0?,PD??1,0,?2?,AB???1,0,0?,PB??0,1,?2?…………………………………………8分
??????设面PAD的法向量n1=?x1,y1,z1?,PAB的法向量n2=?x2,y2,z2? ????????????AD?n1?0??y1?0??,令z1=1，得x1=2，?n1??2，0，1?同理得n2?(0,2,1)………10分 由?????????x?2z?01??PD?n1?0?1
三、解答题
BcosC?2sinAcosB?sinCcosB，即sin(B?C)?2sinAcosB，
1?因为0?A?? ,所以sinA?0,?cosB? ， ?B?．
324?1?cos2A1?cos2C22?（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2A?2C? ，y?cosA?cosC?
3221?14?113?1?[cos2A?cos(?2A)]?1?(cos2A?sin2A)?1?sin(2A?),（8分）
26232224???7???1?0?2A??2A??,??，则当sin(2A?)?1 ,即A?时，y的最小值为．（12分）
3236666n18．（Ⅰ）an?10n?90，bn?2?98 ……………6分
[来源学科网ZXXK]17.解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sin（Ⅱ）2018年底甲工厂将被乙工厂兼并。 ……………12分 19.（Ⅰ）第五行以此填入 第七行以此填入
12 0.24 ……………2分
50 1 ……………4分
估计本次全校85分以上学生比例为32％ ……………6分
1（Ⅱ） ……………12分
420．⑴连结BC1，AC1，
∵M,N是
AB，A1C的中点∴MN∥BC1．
又∵MN?平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1． --------------------4分 ⑵∵三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱与底面垂直， ∴四边形BCC1B1是正方形．∴BC1?B1C． ∴MN?B1C．连结A1M,CM，?AMA1??AMC． ∴A1M?CM，又N中A1C的中点，∴MN?AC． 1∵B1C与A1C相交于点C，∴MN?平面A1B1C． --------------9分
[来源:Zxxk.Com]⑶由⑵知MN是三棱锥M?A1B1C的高．在直角?MNC中，MC?5,AC?23， 1∴MN?2．又S?A1B1C?22．
14VM?A1B1C?MN?S?A1B1C?． --------------------12分
339?1??a24b2?1?x2y2?c121．解：⑴设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，由题意得??
a2ab??a2?b2?c2??x2y222解得a?4,b?3，故椭圆C的方程为??1．……………………4分
43⑵若存在直线l1满足条件的方程为y?k1(x?2)?1，代入椭圆C的方程得
(3?4k12)x2?8k1(2k1?1)x?16k12?16k1?8?0．
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B，设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)， 所以??[?8k(2k?1)]?4(3?4k)(16k?16k?8)?32(6k1?3)?0. 所以k222??1． 28k1(2k1?1)16k12?16k1?8,x1x2?又x1?x2?，
3?4k123?4k12?????????????25因为PA?PB?PM，即(x1?2)(x2?2)?(y1?1)(y2?1)?，
4522所以(x1?2)(x2?2)(1?k)?|PM|?．
4
5． 416k2?16k2?84?4k258k(2k?1)12?2??4](1?k)??，解得k1??． 所以[2223?4k3?4k3?4k421因为A,B为不同的两点，所以k?．
21于是存在直线l1满足条件，其方程为y?x．………………………………12分
2即[x1x2?2(x1?x2)?4](1?k12)?82(x?2)(x?2)? (x?0) xx当0?x?2时，f'(x)?0，当x?2时，f'(x)?0，
22要使f(x)在(a,a?1)上递增，必须a?2g(x)??x?14x??(x?7)?49 如使g(x)在(a,a?1)上递增，必须a?1?7，即a?6
由上得出，当2?a?6时f(x)，g(x)在(a,a?1)上均为增函数 ……………6分
?y?m（Ⅱ）方程f(x)?g(x)?m有唯一解??有唯一解
2?y?2x?8lnx?14x822设h(x)?2x?8lnx?14xh'(x)?4x??14?(2x?1)(x?4) （x?0）
xxh'(x),h(x)随x变化如下表
x (0,4) (4,??) 4 22．（Ⅰ）解：
f'(x)?2x?h'(x) h(x) ? ? 0 极小值?24?16ln2 ? ? 由于在(0,??)上，h(x)只有一个极小值，?h(x)的最小值为?24?16ln2， 当m??24?16ln2时，方程f(x)?g(x)?m有唯一解． ……14分c.o.