高考数学最后冲刺必读题解析（4）
19. （本题满分14分）
已知点Pnan，bn满足：an?1?an·bn?1，bn?1???bn?12?，且已知，n?NP0?，? 2?33?1?anl （1）求过点P0，P1的直线的方程；
（2）判断点Pn?n?2?与直线l的位置关系，并证明你的结论；
（3）求点Pn的极限位置。 解：（1）由a0?12，b0?，得： 33231313?，a??? b1?124344?1?1????3? 显然直线l的方程为x?y?1………………3分 （2）由a1?13，b1?，得： 44341414?，a??? b2?225455?1?1????4? ∴点P2?l，猜想点Pn?n?2?在直线l上，以下用数学归纳法证明： 当n＝2时，点P2?l
假设当n?k(k?2)时，点Pk?l，即ak?bk?1 当n?k?1时，
ak?1?bk?1?ak·bk?1?bk?1
??1?ak?bk?1 ??1?ak?bkbk ?21?ak1?ak?1 ∴点Pk?1?l
综上，点Pn?l?n?2?………………8分 （3）由an?1?an·bn?1，bn?1?bn，an?bn?1，得： 21?anan?1?an·
bn1?anan?a·??an?0?n221?an1?an1?an?1an?11??1an
∴数列??1?1
是以?3为首项，公差为1的等差数列 ?aa?n?0
11?3?n，an?ann?31n?2bn?1?an?1??n?3n?3 ?lima?lim1?0
nn??n??n?321?n?2n?1limbn?lim?limn??n??n?3n??31?n???P0，1 ?Pn? 即点Pn的极限位置为点P（0，1）………………14分
20. （本题满分14分）
22 已知直线l：y?mx?1与曲线C：ax?y?2m，a?R交于两点A、B。
??????? （1）设OP?OA?OB，当a??2时，求点P的轨迹方程；
?? （2）是否存在常数a，对任意m?R，都有OA·OB??2？如果存在，求出a的值；
如果不存在，说明理由。
?? （3）是否存在常数m，对任意a?R，都有OA·OB为常数？如果存在，求出m的
?值；如果不存在，说明理由。
解：（1）设Ax1，y1，Bx2，y2，则
??????? OP?OA?OB??x1?x2，y1?y2?
由??y?mx?1??2x?y?022消去y，得：
22 m?2x?2mx?1?0???1?
2?m??2?0 依题意有?解得： 22?????2m??4m?2?0??2 m?1且m?2，即m??1或m?1且m??2
2x1?x2?
2m1，xx?122?m22?m24y1?y2?mx1?1?mx2?1?m?x1?x2??2?2?m2
2m?x???2?m2 ∴点P的坐标为：?消去m，得：
4?y??2?m2?x2?1 2x?y?2y?0，即?y?1??12222 由y?42y?42m?，得
2?m2y?2y?4?1?y? ??，解得y?0或y?4
?2y?4?2??yx2?1（y?0或y?4）………………5分 ∴点P的轨迹方程为?y?1??122 （2）假设存在这样的常数a
?y?mx?1 由?2消去y得： 2?ax?y?2?m
2?ax2?2mx?1?0??2?2m1
x1?x2??2，x1x2??2m?am?a?? OA·OB?x1x2?y1y2
?x1x2??mx1?1??mx2?1??m?1·x1x2?m?x1?x2??12??
?m2?1·???1?2m?m·?1m2?am2?a
?3m2?1 ??12m?a??2 解得：a? 当a?1 3112时，m??0，且方程<2>判别式 332 ??4m?4?m???0
∴对任意m?R，A、B两点总存在，故当a???21?3?1时，对任意m?R，都有3??OA·OB??2………………10分
?? （3）假设这样的常数m存在，对任意的a?R，使OA·OB为一常数M。
??? 即OA·OB?x1x2?y1y2?M
?3m2?1?1?M 即
m2?a 化简，得：?1?M?a??M?2?m2?1 ∵a为任意正实数
?1?M?02 ??，即3m?1?0，矛盾。 2??M?2?m?1?0 故这样的常数m不存在。………………14分 20．（本小题满分12分）
数列{an}，设Sn是数列的前n项和，并且满足a1?1,Sn?1?4an?2.
（Ⅰ）令bn?an?1?2an(n?1,2,3?),证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （Ⅱ）令Cn?bn1,Tn为数列{}的前n项和,求limTn.
n??3log2Cn?2?log2Cn?1解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?2(a?b)x?ab.
依题意知，s、t是二次方程f?(x)?0的两个实根.
∵f?(0)?ab?0,f?(a)?a2?ab?a(a?b)?0,f?(b)?b2?ab?b(b?a)?0,……2分 ∴f?(x)?0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根. ∵s?t,?0?s?a?t?b. …………4分 （Ⅱ）由s、t是f?(x)?0的两个实根，知s?t?2(a?b)ab,st?. 3342(a?b)3?ab(a?b)…6分 273∴f(s)?f(t)?(s3?t3)?(a?b)(s2?t2)?ab(s?t)??∵f(s?ta?b211)?f()??(a?b)3?ab(a?b)?(f(s)?f(t)), 232732s?ts?t,f()）在曲线y=f(x)上. ……8分 故AB的中点C（222（Ⅲ）过曲线上点(x1,y1)的切线方程为y?y1?[3x1?2(a?b)x1?ab](x?x1).
∵y1?x1(x1?a)?(x1?b)，又切线过原点.
∴?x1(x1?a)(x1?b)??x1[3x1?2(a?b)x1?ab]. 解得x1=0，或x1?2a?b. 2当x1=0时，切线的斜率为ab；当x1?a?b时，切线的斜率为?1(a?b)2?ab.……10分
42∵a?0,b?0,a?b?22, ∴两斜率之积
11[?(a?b)2?ab]?ab?(ab)2?(a?b)2?ab?(ab)2?2ab?(ab?1)2?1??1. 44故两切线不垂直. ………………12分
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x(x?a)(x?b),其中0?a?b.
（Ⅰ）设f(x)在x?s及x?t处取到极值，其中s?t,求证:0?s?a?t?b; （Ⅱ）设A(s,f(s)),B(t,f(t)),求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上； （Ⅲ）若a?b?22，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直. 解：（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，
作CD⊥AB于D， 由题知：AB?AC?而AB?AC?|AB|?|AC|?cosA ② 由①②AC?cosA?同理，|BD|?1|AB| ① 211,即|AD|?. ………………2分 223,则|AB|?2 ∴A（－1，0）、B（1，0）……4分 2x2y21设双曲线方程2?2?1(a?0,b?0),c(?,h),E(x1,y1)
2ab2?x?,??15由3BE?2EC,得? …………6分
2?y?h.1?5??1h2?2?2?1b?4a?44h2??1 ………………8分 因为E、C两点在双曲线上，所以?2225a25b??c2?a2?b2?1???21a??x2y2?7??1 …………10分 解得?，∴双曲线方程为166?b2??777?（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2) ∵|TM|?|TN|,?y1?(x1?x0)?222y2?(x2?x0)2
22∴y1?y2?(x2?x0)2?(x1?x0)2?(x2?x12)?2x0(x1?x2) ①
2又M、N在双曲线上，满足7x1?2227272222y1?1,7x2?y2?1,?y12?y2?6(x12?x2) ② 66将②代入①，7(x1?x2)?2x0(x1?x2)
∵x1?x2,?7(x1?x2)?2x0 …………………………12分 又x1?x2?277,?x0?(x1?x2)?7, 72∴x0取值范围为（7,??） ………………14分
???221. （12分）已知定点A（0，1），B（0，－1），C（1，0），动点P满足AP·BP?k|PC|
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。
??（2）当k?2时，求|AP?BP|的最大值和最小值。
解：（1）设p(x，y)
? 则AP?(x，y?1)?BP?(x，y?1)?PC?(1?x，?y)
???2 由AP·BP?k|PC|得
x2?y2?1?k[(x?1)2?y2] 3分
整理得(k?1)x2?2kx?(k?1)y??k?1?0（*） 4分 当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分 当k≠1时，*式化为(x?k?1)?y2? k?1(k?1)2 表示心(k1，0)为圆，为半径的圆 6分 k?1|k?1| （2）当k=2时，*式化为(x?2)2?y2?1，x?[1，3]
??22 此时，|AP?BP|?2x?y?24x?3
∴其最小值为2，最大值为6 12分
??12AB·AC?，BP1≠AB， 22. （14分）△ABC中，|AB|=|AC|=1，P1为AB边上的一点，
23从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂
足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4……
（1）令BPn为xn，寻求BPn与BPn?（即xn与xn?1）1之间的关系。
（2）点列P1，P2，P3，P4……Pn是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由； （3）若|AB|?1，|BP1|?1，则是否存在正整数3m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。
??1解：（1）由|AB|=|AC|=1，AB·AC?，∴∠BAC?60°
2 从而△ABC为边长为1的正三角形 2分
则BPn?xn，则BPn?1?xn?1，于是BQn?BPn·cos60°? ∴CQn?1?1xn 21xn 3分 211(1?xn) 22 同样 CRn?CQn·cos60°? ARn?1?1111(1?xn)??xn 4分 2224111 又APn?1?ARn·cos60°?(?xn)
22411131 BPn?1?1?(?xn)??xn
2244831 即xn?1??xn 5分
48212 （2）由（1）可得：xn?1???(xn?)
3832221 ∴{xn?}，当x1≠时，是以x1?为首项，公比为?的等比数列
3338221n?1 ∴xn??(x1?)(?) 7分
3382 当n???时，xn?
32 ∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP0? 9分
3221m?111m?1?() 11分 （3）P0Pm?|xm?|?|x1?|()338381m?11000?0.003，∴8m?1? 由|P0Pm|?0.001得() 831000m?1? 当m?4时，8
3 ∴m?4，m的最小值为4 14分