C题 饮酒驾车
摘要
随着我国经济的发展，购买私家车的人日益增多。车辆给人们生活的出行带来了便捷，但近年来由于人们的不慎出现了不少的交通事故。据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。为探讨避免饮酒驾车造成的交通事故，本文建立了饮酒血液中酒精含量的数学模型。用数据拟合的方法拟合出参数，求解模型。
问题一，我们用房室系统的方法分析了酒精在人体内的分布，将大李两次进酒看成，酒精输入的两种情况，对大李碰到的情况作出了解释。
问题二，我们分别以短时间内进酒和以长时间内进酒建立了两房室模型对问题进行分析，求解酒精含量在人体内随时间变化的函数，基本上反映了酒精含量在人体内随时间变化的规律。因而我们的问题也得到了解决。
问题三，我们分在短时间内快速进酒和在较长时间内进酒两种情况，分别求出两种情况下的酒精浓度函数并画出图像，再计算出浓度出现最大值时的时刻。
问题四，也就是说只要每两次喝酒的时间间隔小于24小时，每天喝适量酒还是能正常开车的。
关键词： 微分方程 房室系统 拟合
一、 问题重述
据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学
1
模型，讨论并完成以下问题：
1. 对大李碰到的情况做出解释；
2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1）酒是在很短时间内喝的；
2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
5. 根据模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
二、问题分析
问题一：此问主要求大李第一次喝酒6个小时后体内的酒精浓度和第二次喝酒6个小时后体内的酒精浓度，并分析解释第一次体内酒精的浓度未达到20毫克/百毫升，而第二次却大于20毫克/百毫升，这是由于什么原因造成的。 问题二：此问要构造在短时间内喝了三瓶啤酒或半斤低度白酒在血液里酒精浓度关于时间t的函数，并求当酒精浓度小于20毫克/百毫升时，时间t的取值，以及在较长时间内喝三瓶啤酒或低度白酒的血液里酒精浓度关于时间t的函数，并求当酒精浓度小于20时，时间t的取值。 问题三：短时间内喝酒和长时间内喝酒两种情况下的酒精浓度已由前面的问题中求出，通过对两种情况下酒精浓度进行求导，得出血液中酒精浓度达到最大值时的时刻。
问题四：根据已建模型，若两次喝酒的时间间隔小于24个小时，天天喝酒体内酒精浓度存在小于20毫克/百毫升的情况，故天天喝定范围量的啤酒可不妨开车。
三、基本假设与变量说明基本假设
1、基本假设
（1）体内酒精在任意时刻都是均匀分布的;
（2）酒精的分解和输出的速率与酒精当前的浓度成正比，同样与体内酒精总量成正比，且比例系数一样;
（3）人体对啤酒和白酒的吸收速率一样; 2、变量说明
x(t)...………..表示第一次进酒t时刻血液里酒精的含量.
y(t)……….....表示第一次次进酒t时刻体液里酒精的含量. .
x1(t)………....表示第二次进酒t时刻血液里酒精的含量.
y1(t)…...………表示第二次进酒t时刻体液里酒精的含量.
2
m…...………..表示酒精的总量.
v……...………表示血液的容积. .
v1…………….表示体液的容积.
c(t)…...……...酒精浓度.
k……………...表示酒精由体液进入血液的速率与体液中存量酒精的数量比.
k1………...….表示酒精由血液输出的速率与血液中存量酒精的数量比.
四、模型的建立与求解
问题一：
大李两次饮酒可认为是短时间快速饮酒
第一次饮酒，进入体液
?dy??ky??dt …… （1） ??y(0)?m?kt
解（1）得
y(t)?mem?ktc(t)?e
v1
?dx??ky?k1x?dt进入血液 ……（2）
??x(0)?0
3
解(2)得
mkx(t)?(e?k1t?e?kt)k?k1mkc(t)?(e?k1t?e?kt)
v(k?k1)
第二次饮酒，进入体液
?dy???ky1?dt…………（3） ??y1(0)?m?y1(6)(m?y(6))?kt …………（4）
ev1y1(t)?(m?y(6))e?kt解（3）得
c1(t)?进入血液
?dx1?ky1?k1x1??dt
??x1(0)?x(6)(m?y(6))?k?k1tx1(t)?(e?e?kt)k?k1解（4）得
(m?y(6))?k?k1t?ktc1(t)?(e?e)k?k1问题二：
1酒在很短时间内喝的
设3瓶啤酒快速喝酒精总量为3m
?dy???ky..............①dt?进入体液
??y(0)?3m解①得：y(t)?3me?kt
4
?dx??ky?k1x..............②dt?进入血液
??x(0)?0解②得：
3km(e?k1t?e?kt)x(t)?
k?k13km(e?e)c(t)? V(k?k1)3km(e?k1t?e?kt)0??20
V(k?k1)t=
2）酒在较长时间内喝的
?k1t?ktdy?dy??dy??????? dt?dt?入?dt?出?dy?令???k0 ?dt?入?dy?又???ky
?dt?出?dy??k0?ky...............① ?dt??y(0)?05
?dx??ky?k1x..............②?dt??x(0)?0y(t)?3me?kt3km(e?k1t?e?kt)x(t)?k?k13km(e?k1t?e?kt)c(t)?V(k?k1)3km(e?k1t?e?kt)0??20V(k?k1)dy?dy??dy???????dt?dt?入?dt?出?dy?令???k0?dt?入?dy?又???ky?dt?出?dy??k0?ky...............①?dt
??y(0)?0k0解①得y(t)?(1?e?kt)k进入体液
?dx??ky?k1x?dt ??x(0)?0x(t)?c(t)?解得
tk1k0k?k1?kk1k1 ??????6
问题三，根据第二问的函数结果来研究在较短的时间内喝和在较长的时间内喝两种情况，酒精浓度达到最高时的时刻： 在短时间内喝：
3kme?kt?e?ktc(t)?v(k?k1)??
求c’（t）
令c’(t)=0时t的取值 此时酒精在血液里的浓度最高
在较长时间内喝的
c(t)?k0(k?e?tk1?k?(?1?e?kt)k1)(k?k1)k1
求c’(t)
l令c’(t)=0，求出t，则此时血液里酒精浓度最大
问题四，先由第一问中的喝一瓶酒来计算，看多久后能正常驾车（血液里酒精浓度小于20毫克/百毫升）
mk?k1t?ktc(t)?(e?e) v(k?k1)求c(t)<20
t=
五、模型的优缺点
1、模型的优点：建立了微分方程模型并运用了机理分析法对饮酒后血液中酒精含量的数学模型进行研究，得出了酒精含量随时间在人体内的变化规律，解决了如何估测避免饮酒驾车、醉酒驾车的问题。
2、模型的缺点：对人体作出了假设，与实际情况不符，还有待改进。以便更精确地反映酒精含量随时间在人体内的变化规律。
六、参考文献
[1]薛毅，数学建模基础， 北京： 北京工业大学出版社，2004-4-1。
[2]梅志红 杨万铨，MATLAB程序设计基础及其应用，北京：清华大学出版社，2005.7
[3]佚名，用行为导向型教学法，提高应用数学的能力，
http://www.lm.gov.cn/gb/news/2006-02/04/content_105222.htm， 2006.9.5 [4]萧树铁 主编.数学实验.北京：高等教育出版社，1999
[4]徐業良,TRIZ理论与应用简介,http://kuanggong.cn/,206.9.6
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七、附录
x=[0 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];
y=[0 15 34 37.5 41 41 38.5 34 34 29 25.5 25 20.5 19 17.5 14 12.5 9 7.5 6 5 3.5 3.5 2]; A=polyfit(x,y,1); z=polyval(A,x); plot(x,y,'+',x,z,'r'); y=-2.0076x+32.2768
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