几何中的最值问题
几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.
求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；
求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 常用定理：
1、两点之间，线段最短（已知两个定点时） 2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）
3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）
BAPB'
AB'lPBl
PA+PB最小，需转化，使点在线异侧 |PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧
4、圆外一点P与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P最近的点即为P到圆的最近距离，离P最远的点即为P到圆的最远距离
类型一 线段和最小值
1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁
正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．
AAPQDEAKQD蚂蚁AC蜂蜜OMP
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
小值为 . NBBCBPC
2. 如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN周长的最3. 如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ
的最小值为 .
4. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最
小值为 .
5. 如图，当四边形PABN的周长最小时，a = ．
1
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，
OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为 .
yP(a,0)N(a+2,0)OB(4,-1)xDyBCA(1,-3)OEFAx
第7题图
第5题图 第6题图 变式加深：
7、如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为() A.
OAxyBP B. C. D.
第8题图 第10题图
第9题图
8、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为
9、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G,连接BE交AG与点H。若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是
10、如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________.若将△ABP中边PA的长度改为22，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为_________．
类型二 线段差最大值
2
1、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PA?PB的最大值等于 ．
yABAOBx
M
第1题图 第2题图
DPCN第3题图
建立平面直角坐标系如
2、点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，
图所 示．若P是x轴上使得PA?PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP?OQ＝ ．
3、如图所示,已知A(1/2,y1),B(2,y2)为反比例函数y=1/x图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是 ．
4、如下图，一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=m/x（m < 0）的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（-6，2） （1）求m，k的值；
（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|PA-PB| 的值最大？并求出最大值.
yAOBx
核心：画曲为直
5、已知如图，圆锥的底面圆的半径为1，母线长OA为2，C为母线OB的中点．在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为 ．
6、如图，圆柱底面半径为2cm，高为9?cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 cm。
7、在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是
O
C
A B
第5题图 第6题图
类型三 线段最值
第7题图
3
1、已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y??x?6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为________
2、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13,0），直线y=kx-3k+4与圆O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为______________.
AFEBMPCAPBBCDM
ANA'C
第3题图
第4题图
第5题图
3、如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．
4、如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．
5、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A′，连接BA′，则BA′的最小值是_________．
A60°AO45°yCB
xC'DBMA'CPCQBOA
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
6、如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB=a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，点M为BC上一动点，则A′M的最小值为
7、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为C'，连接AC'，则AC'的最小值是_________
8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 .
9、如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为边AB上一动点,且PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则线段EF长度的最小值是_____ 4
10、如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为_______
DPCD C FFP
AEBABE
第10题图 第11题图 第11题备用图 11、如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为 ； （2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 .
类型四 圆外点和圆的最值
1、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ． BPAA'CBFEDPCAQD
第1题图 第2题图
2、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
3、在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
5
若|x1?x2|?|y1?y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|； 若|x1?x2|<|y1?y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|．
例如：点P1与点P2的“非常距离”为|2?5|=3，也就是图1(1,2)，点P2(3,5)，因为|1?3|?|2?5|，所以点P1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点）． 111,0)，B为y轴上的一个动点， 2①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
3（2）已知C是直线y?x?3上的一个动点，
4①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标
1）已知点A(?
4、在平面直角坐标系中，已知抛物线y??12x?bx?c（b,c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的定2点A的坐标为(0,?1)，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q. i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标； ii）取BC的中点N，连接NP,BQ.试探究明理由.
PQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说
NP?BQ
6
若|x1?x2|?|y1?y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|； 若|x1?x2|<|y1?y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|．
例如：点P1与点P2的“非常距离”为|2?5|=3，也就是图1(1,2)，点P2(3,5)，因为|1?3|?|2?5|，所以点P1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点）． 111,0)，B为y轴上的一个动点， 2①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
3（2）已知C是直线y?x?3上的一个动点，
4①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标
1）已知点A(?
4、在平面直角坐标系中，已知抛物线y??12x?bx?c（b,c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的定2点A的坐标为(0,?1)，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q. i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标； ii）取BC的中点N，连接NP,BQ.试探究明理由.
PQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说
NP?BQ
6