第22章 二次根式导学案
22.1 二次根式(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质
a?0(a?0)a?0(a?0)和(a)2?a(a?0)
和(a)2?a(a?0)。
三、学习过程
（一）复习引入： （1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______, a一定是_______数。
4（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子
a?0(a?0)的意义是 。
（二）提出问题
1、式子
a表示什么意义?
2、什么叫做二次根式？ 3、式子4、(a)2a?0(a?0)的意义是什么？
?a(a?0)的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
a3，?16，
34，
?5，3(a?0)，
x2?1
2、计算 ：
(1) (
4)22 (2) (3)1
（3）(0.5)2 （4）(13)2
?0,
2根据计算结果，你能得出结论： (a)?________，其中a(a)2?a(a?0)的意义是 。
指a的 ，而0的算术平方根是 ，
中，
3、当a为正数时
负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式字母a必须满足 , （三）合作探究
才有意义。
1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x取何值时，下列各二次根式有意义？
①
2、（1）若
3x?4 ②3?a2?23x1 ③ ?
2?xa?3?有意义，则a的值为___________．
?x在实数范围内有意义，则x为（ ）（2）若 。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
（四）展示反馈 (学生归纳总结) 1．非负数a的算术平方根
a(a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 2．式子
a(a?0)的取值是非负数。
（五）精讲点拨 1、二次根式的基本性质(求二次根式的平方，如(
5a)2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方
2
形式，如5=(
5).
2
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 （五）拓展延伸 1、(1)在式子(2)已知
x21?2x1?x?4中，x的取值范围是____________.
2x?y+＝0，则x-y＝ _____________.
,则yx= _____________。
a)2(3)已知y＝2、由公式(a)23?x+
x?3?2?a(a?0)，我们可以得到公式a=( ,利用此公式可以
把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 5 0.35 (2)在实数范围内因式分解
x2?7 4a-11
2
（六）达标测试
A组
(一)填空题： 2?3?1、 =________; ???? ?5?2、 在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
（二）选择题：
2?13)的值为1、计算 ( （ ）
A. 169 B.-13 C±13 D.13
3
2、已知 x ?3?0,则x为（ ）A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。 A. 3= ( C .(3)22 B 0.5=( D (5B组
7)0.5)22
0.3)=0.3 =35
（一）选择题：
1、下列各式中，正确的是（ ）。
4?9?9?4A. 9? B 4? = 9?4
255C D 4?2?4?2?366
2、 如果等式(?x)2= x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0
（二）填空题:
1、 若
a?2?b?3?0，则 a2?b= 。
2、分解因式：
X4 - 4X2 + 4= ________.
3、当x= 时，代数式4x?5有最小值，
其最小值是 。
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：
a2?a
2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质难点：综合运用性质三、学习过程
4
a2a2?a．
?a进行化简和计算。
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式
2x?5有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：
x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（二）提出问题 1、式子
a2?aa2表示什么意义?
2、如何用来化简二次根式? 3、在化简过程中运用了哪些数学思想? （三）自主学习
自学课本第3页的内容，完成下面的题目：
2?a1、计算：
4?
0.22?
(45)2?
202?
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当a?0时,a?
(?45)22、计算：
(?4)2?
(?0.2)2??
?0时,(?20)2?
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a3、计算：
02a?
? 当a?0时,a?
（四）合作交流 1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
a2? a a?0??a?? 0 a?0??a a?0?
2、化简下列各式：
5
(1)0.32?______2(2)??0.3?2?______(3)??5?2?_______
(4)(2a) ?_____（a<0）a)23、请大家思考、讨论二次根式的性质(区别与联系。
（五）展示反馈 1、化简下列各式 （1）
4x(x?0) (2)
2?a(a?0)与
a2?a有什么
x4
2、化简下列各式 （1）
（六）精讲点拨
利用
a2(a?3)2(a?3) （2）?2x?3?2（x＜-2）
?a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，
达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 （七）拓展延伸
(1)a、b、c为三角形的三条边，则(2) 把(2-x)
A、
1x?2(a?b?c)2?b?a?c?____________.
的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ） B、
C、? D、?
2?xx?22?xx?2(3) 若二次根式
?2x?6有意义，化简│x-4│-│7-x│。
6
（八）达标测试：
A组
1、填空：（1）、
（2）、
(2x?1)(??4)2-(2x?3)2(x?2)=_________.
2= (x?2)22、已知2＜x＜3，化简：
?x?3
B组
1、 已知0 ＜x＜1，化简：
2、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿
3a(x?1x)2?4－
(x?1x)2?4
图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
22.2二次根式的乘除法
二次根式的乘法
一、学习目标
1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
7
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二
次根式的化简。
三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算： （1）（2）（3）
416×
9=______
254?9=_______ =_______ =_______
× ×
=_______ =_______
16?2510036100?362、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）（2）（3）
416××
9_____
254?9
____
3616?25100×__
100?36（二）提出问题
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习
自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空： （1）（3）
22××
35________
6 （2） （4）
5××
6________
30
1045202、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？ 能用数学表达式表示发现的规律吗？
3、二次根式的乘法法则是：
8
（四）合作交流
1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算： （1） （3）
5a9×
27 （2）2
5×3
2
·
15ab （4）
5·
3a·
13b
2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质：
。 （2）化简： ①
54 ②
12ab22
③
25?49 ④
100?64
（五）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于后再进行计算，你有什么好办法？
9 9×
27的运算中不必把它变成
243（六）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。 （七）拓展延伸
1、判断下列各式是否正确并说明理由。 （1）（2）
(?4)?(?9)23＝
3b6?4??9
3ab8=ab
）=6?(?2)916?168?6（3） 6（4）
4×（-2
?16=?1248
916 =4?＝4?3＝12
2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3
23 (2) ?2a12a
（八）达标测试：
A组
1、选择题 （1）等式
x?1?x?1?x2?1成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．
A．4
5×2
5=8
5 B．5
10
3×4
2=20
5
C．4
3×3
2=7
5 D．5
3×4
2=20
6
（3）二次根式(?2)2?6的计算结果是（ ）
A．2
6 B．-26 C．6 D．12
2、化简： （1）
360； （2）
32x4；
3、计算： （1）18?30； （2）
3?275；
B组
1、选择题 （1）若a?2?b2?4b?4?c2?c?1?04，则
b2?a?c=（ A．4 B．2 C．-2 D．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A．(?4)?(?6)??4??6=（-2）×（-4）=8
B．4a4?4?a4?22?(a2)2?2a2
C．32?42?9?16?25?5
D．
132?122?(13?12)(13?12)?13?12?13?12?25?12、计算：（1）6
8×（-2
6）； （2）8ab?6ab3；
11
）
二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二
次根式的化简。
三、学习过程 （一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）3
3、填空： （1）
91616364168×（-4
6） （2）
12ab?6ab3
=________，916=_________ （2）=________，1636416=________ （3）=________，=_________ （二）提出问题：
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的除法法则进行计算？ 3、商的算术平方根有什么性质？
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习
自学课本第7页—第8页内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律：
916
______916 1636______1636 416_______416 12
2、利用计算器计算填空: （1）
343434=_________（2）2323=_________（3）2325=______
25规律：______ _______ 25_____ 3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则： 。 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质： 。 （四）合作交流
1、 自学课本例3，仿照例题完成下面的题目：
计算：（1）
2、自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：
化简：（1）
（五）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母；
13
123 （2）32?18 364 （2）64b9a22
（2）分母中不含有二次根式。 （六）拓展延伸 阅读下列运算过程：
13?33?3?33，25?25?55?255
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。 利用上述方法化简：(1)
26112=_________ （２）312=_________ (３) （七）达标测试：
=_____ ___ (４) 2105=___ ___ A组
1、选择题 （1）计算
113?213?125的结果是（ ）．
27 A．
275 B． C．722 D．
（2）化简
23?3227的结果是（ ）
2363 A．- B．- C．- D．-2 2、计算： （1）
14
248 （2）
2x3
8x（3）
14?116 （4）9x64y2
B组
用两种方法计算： （1）
最简二次根式
一、学习目标
1、理解最简二次根式的概念。 2、把二次根式化成最简二次根式．
3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点
重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、化简（1）
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？
15
648（2）
463
96x4 （2）3227
（二）提出问题： 1、什么是最简二次根式？
2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 3、如何进行二次根式的乘除混合运算？ （三）自主学习
自学课本第9页内容，完成下面的题目：
1、满足于 , 的二次根式称为最简二次根式. 2、化简: (1) 3512 (2)
xy?xy2442 (3)
8xy23 (4)
820
（四）合作交流 1、计算：
123?213?125
2、比较下列数的大小 （1）
2.8与
234 （2）?76与?67
A
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
16
BCAC=3cm，BC=6cm，求AB的长．
（五）精讲点拨
1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．
（六）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
12?113?2?(1?(2?1)2?1)2)3?2)?2?12?1?2?1，
2?1)(?1?(3?(3?12?3?3?3?22?3?2，
2)(同理可得： =2?3，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （
12?1?13?2?……+
20091?2008）（
2009?1）的值．
（七）达标测试：
A组
1、选择题
17
（1）如果
xyxy（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
xyya?2a2 A．（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
（2）化简二次根式a A、
?a?2?的结果是
?a?2 B、- C、
a?2 D、-
a?2
2、填空： （1）化简（2）已知xx?xy15?2422=_________．（x≥0） ，则x?1x?的值等于__________.
3、计算： （1）
B组
1、计算：
2、若x、y为实数，且y=
18
x?4?2134?74?12 (2) 3312?(?18147)?14512
2bab5?(?32ab)?33ba（a>0,b>0）
4?x2?1x?2，求x?y?x?y的值。
22.3二次根式的加减法 二次根式的加减法
一、学习目标
1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。 二、学习重点、难点
重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、学习过程
（一）复习回顾
1、什么是同类项？
2、如何进行整式的加减运算？
3、计算：（1）2x-3x+5x （2）a2b?2ba?3ab2
（二）提出问题
1、什么是同类二次根式？
2、判断是否同类二次根式时应注意什么？ 3、如何进行二次根式的加减运算？
（三）自主学习
自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： 1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
（1）2（3）
2与32 （2）
2与3
5与20 （4）
18与12从中你得到： 。
2、自学课本例1，例2后，仿例计算：
（1） （3）3
488+18 （2）7+27+39?7
-913+312 19
通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应
。 （四）合作交流，展示反馈
小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟
(1)
(3) x1x?4y?x2?y1y12?(13?127) (2) (48?20)?(12?5)
（4）
23x9x?(x21x?6xx4)
（五）精讲点拨
1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（六）拓展延伸
1、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是 面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制 作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底
20
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 重点：用公式法解简单系数的一元二次方程； 难点：推导求根公式的过程。 导学流程 复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 推导公式
用配方法解一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得
2
_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
ab配方，得 x2＋x＋______＝______－,
aabc即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________.
所以 x＝_______________________ 即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公
46
式：
精讲点拨
x＝?b?b2?4ac2a( b2－4 ac≥0) 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？ 展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
② 当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 巩固练习 1、做一做：
(1)方程2x2-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ） (2)方程(2x-1)2=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）. (3)方程3x2-2x+4=0中，b2数根。
(4)不解方程，判断方程x2-4x+4=0的根的情况。
47
?4ac=（ ）,则该一元二次方程（ ）实
2、应用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解 (1)这里a＝___，b＝___，c＝______， b2－4ac＝____________ ＝_________ 所以x＝
?b?b2?4ac2a＝_________＝____________
即原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____
(2)将方程化为一般式，得_________________＝0. 因为 b2－4ac＝_________
所以 x＝_____________＝_______________ 原方程的解是 x1＝________，x2＝_____ (3)因为 ___________________，
所以 x＝____________＝__________＝__________ 原方程的解是 x1＝________，x2＝__________. (4)整理，得_______________＝0. 因为 b2－4ac＝_________， 所以 x1＝x2＝________ 课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？ 2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；
48
(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).
（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
（B）2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m.
(1)养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200 m2吗？ (2)能达到250 m2吗？
拓展提高
m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0 有两个相等的实数根？
第4课时 一元二次方程根的判别式（选学）
学习目标
1、了解什么是一元二次方程根的判别式； 2、知道一元二次方程根的判别式的应用。
49
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况； 难点：根的判别式的变式应用。 导学流程 复习引入
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 精讲点拨
这里的b－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根； 合作交流
方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；
（3）x（3x－2）－6x2＝0； （4）x2＋(
（5）x（x＋8）＝16； （6）（x＋2）（x－5）＝1；
50
32
＋1)x＝0；