绝密★启用前
高中毕业班第二次高考模拟考试题
数学(文科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知复数z?2i(1?i)(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则z?z?
（A）4i
（B）?4i（C）4 （D）?4
（2）已知集合A?{x|y?
x?1},B?{x|y?ln(2x?x2)}，则A?B?
（A）(2,??)（B）[1,2) （C）(0,2) （D）[1,2]
??????（3）已知向量a?(3,1),b?(0,?1),c?(k,3)，若（a?2b）与c互相垂直，则k的值为
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
（4）已知命题p:?x?R,cosx?sinx，命题q:?x?(0,?),sinx?是
（A）命题p?q是假命题 （B）命题p?q是真命题 （C）命题p?(?q)是假命题（D）命题p?(?q)是真命题
1?2，则下列判断正确的sinx
x2y2?（5）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为
ab（A）
42323 （B） （C）或2 （D）4
333?2x,(x?1)（6）已知函数f(x)??，则f(log29)的值为
f(x?1),(x?1)?（A）9（B）
999（C）（D）
8241,1,1成等比数列，
设{an}的前n项和为Sn，
a1aa24n(n?1)（C）
2
（7）已知等差数列{an}的公差不为0，且a1?1，则Sn?
(n?1)2（A）
4n(n?3)（B）
4n2?1（D）
2（8）函数f(x)?xloga|x|（0?a?1）图象的大致形状是
|x|
?x?y?3?0,?（9）若直线y?2x上存在点(x,y)满足条件?x?2y?3?0,则实数m的最大值为
?x?m.?（A）?2
（B）?1 （C）1 （D）3
（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球球（球的半
径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A）1 cm
（B）2cm （C）3cm
（D）4cm
（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为
(A)(6?22)??12(B) 8(??1) (C)4(2??1)
(D)(12?22)?
（12）已知P是直线kx?y?4?0(k?0)上一动点，PA、PB是
圆C：x2?y2?2y?0的两条切线，切点分别为A、B，若
四边形PACB的最小面积为2，则k的值为 图2 （A）3 （B）2 （C）1 （D）
1 2 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考
生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方
法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________． (14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k值为.
(15)已知函数f(x)?x2?ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直
线x?3y?1?0垂直，记数列{的值为.
(16) 已知梯形ABCD中，AD//BC，?ABC?90,AD=2，BC=1，
?1}的前n项和为Sn，则S2016 f(n)????????P是腰AB上的动点，则|PC?PD|的最小值为. 图3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知如图4，△ABC中，AD是BC边的中线，?BAC?120，且
?????????AB?AC??15.
2A (Ⅰ)求△ABC的面积； B
D(Ⅱ)若AB?5，求AD的长. 图4
（18）（本小题满分12分）
某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中
0.0040C频率/组距b点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg. 已知当 图5 年产量低于450 kg时，单位售价为12元/ kg，当年产量不低于 450 kg时，单位售价为10元/ kg. （Ⅰ）求图中a、b的值；
（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图6，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且?ABC?60，AB=PC=2，PA=PB=2. （Ⅰ）求证：平面PAB?平面ABCD；
?0.0015a0年产量/kg250350450550650（Ⅱ）求点D到平面APC的距离.
图6
（20）（本小题满分12分）
y2x2已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)与抛物线C2:x2?y?1有公共弦AB（A在B左边），AB=2，
abC2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k(k?0)的直线l与C1、C2分别交于点M、N（均异
于点A、B）．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
ln(x?1)（x?2）．
x?2(Ⅰ) 判断函数f(x)的单调性；
已知函数f(x)?(Ⅱ)若存在实数a，使得f(x)?a对?x?(2,??)均成立，求a的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22)(本小题满分10分)选修4?1：几何证明选讲
如图7所示，⊙O和⊙P相交于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．
(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB的长； (Ⅱ) 若AC=3，求AE的长．
(23)(本小题满分10分)选修4?4：坐标系与参数方程
C E O B 图7
D A P x2y2??1． 已知椭圆C的普通方程为：94(Ⅰ) 设y?2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；
(Ⅱ) 设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）
(24)(本小题满分10分)选修4?5：不等式选讲
已知f(x)?|x?2|?|x?a|(a?R,a?0)， (Ⅰ) 若f(x)的最小值是?3，求a的值； (Ⅱ)求|f(x)|?2的解集．
数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一、选择题：
题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 B 10 C 11 A 12 B 解析：（7）由a1a4?a22，得公差d=1，an?n；故选C.
（10）设球的半径为r，依题意得3??r??r(6r?6)?r?3. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：
43321111???22??2??2?2????2?22?4?2??4?22222?2??4??22??8?4?(6?22)??12.
(12)S四边形PACB?PA?AC?PA?CP2?CA2?CP2?1，
可知当|CP|最小时，即CP?l 时，其面积最小，由最小面积CP2?1?2得|CP|min?5， 由点到直线的距离公式得：|CP|min?51?k2?5，因k?0，所以k?2.
二、填空题：
题号 答案 13 60 14 6 15 2016 201716 3 解析：（15）依题意知函数f(x)?x2?ax的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率
k?f'(1)?2?a?3?a??1，故
1111???， f(n)n(n?1)nn?11201611111?1??S2016?1???????．
2017201722320162017????????????????????（16）如图以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则PC?PD?PQ?2PE，要|PQ|取最小值，
????只需|PE|取最小值，因E为CD的中点，故当
????PE?AB时，|PE|取最小值，这时PE为梯形的
????13中位线，即|PE|min?(|BC|?|AD|)?,
22
故|???PQ?|min?3. 三、解答题：
（17）解：(Ⅰ)∵???AB?????AC???151152，∴AB?AC?cos?BAC??2AB?AC??2,----2分
即AB?AC?15，----------------------------------------------------3分
A∴S?ABC?21AB?ACsin?BAC?132?15?2?1534.-------5分 (Ⅱ)解法1：由AB?5得AC?3，
BD延长AD到E，使AD=DE，连结BE，---------------6分
∵BD=DC,
∴四边形ABEC为平行四边形，∴?ABE?60?,且BE?AC?3-----------8E分
设AD?x，则AE?2x，在△ABE中，由余弦定理得：
(2x)2?AB2?BE2?2AB?BEcos?ABE?25?9?15?19,-----------------------10分
解得x?192，即AD的长为192.--------------------------------------12分
【解法2：由AB?5得AC?3，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC?25?9?15?49, 得BC?7，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：
BCsin?BAC?ABsin?ACD，
5?3得sin?ACD?ABsin?BACBC?27?5314，----------------------------------------9分 ∵0???ACD?90? ∴cos?ACD?1?sin2?ACD?1114，--------------10分
在△ADC中，AD2?AC2?CD2?2AC?CDcos?ACD?9?494?2?3?72?1114?194， 解得AD?192.------------------------------------------------------12分】 【解法3：由AB?5得AC?3，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC?25?9?15?49, 得BC?7，--------------------------------------------------------------------------------------7分
在△ABC中，cos?ACB?AC2?BC2?AB22AC?BC?9?49?252?3?7?1114,------------9分 在△ADC中，由AD2?AC2?CD2?2AC?CDcos?ACD?9?494?2?3?72?1114?194，解得AD?192.-------------------------------------------------------12分】
C （18）解：（Ⅰ）由100(a?0.0015?b?0.004)?1，
得100(a?b)?0.45，-------------------------------------------------2分 由300?100a?400?0.4?500?100b?600?0.15?455，
得300a?500b?2.05，-----------------------------------------------4分 解得a?0.0010，b?0.0035；----------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，
当年产量为300kg时，其年销售额为3600元， 当年产量为400kg时，其年销售额为4800元， 当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，
当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，-------------------------8分 因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分 而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分 故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分 (19)解：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，----1分 由PA=PB=2，AB=2知△PAB为等腰直角三角形，
∴PO⊥AB，PO=1，------------------------------------------------------------------2分 又AB=BC=2，?ABC?60知△ABC为等边三角形，∴CO?3---3分
222又由PC?2得PO?CO?PC,∴PO⊥CO，-----------4分
?∴PO⊥平面ABC，-------------------------------------------5分
又∵PO?平面PAB，∴平面PAB?平面ABCD-----------------------6分 （Ⅱ）设点D到平面APC的距离为h，
由(Ⅰ)知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形， 由VD?PAC?VP?ADC得S?PAC?h?∵S?ADC?∴h?131S?ADC?PO---------------------------------------------8分 311732,---------------------10分 ?2?3，S?PAC?PA?PC2?(PA)2?4222S?ADC?PO2213?1221，即点D到平面APC的距离为.-------12分 ??7S?PAC7722（20）解：（Ⅰ）∵抛物线y?x?1的顶点为(0,?1)，即椭圆的下焦点为(0,?1)，
∴c?1，----------------------------------------------------------------------------------------1分 由AB=2知xB?1，代入抛物线得B(1,0)，得b?1，----------------------2分
y2?x2?1；---------------------------4分 ∴a?b?c=2，C1的方程为2（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y?k(x?1)，-------------------------------5分
222y2?x2?1消去y得：(k2?2)x2?2k2x?k2?2?0， 联立222k?2k?2，y??4k，-------------------------7分
则xM?xB?2，得xM?2Mk?2k?2k2?2
由
?y?k(x?1)2，得x?kx?k?1?0， 2x?y?1由??k2?4(k?1)?(k?2)2?0，得k?2，
则xN?xB?k?1，得xN?k?1，yN?k(k?2)，----------------------------9分
?????????∵点A在以MN为直径的圆外，即?AM,AN??[0,?)，----------------------10分
2?????????∴AM?AN?0，又A(?1,0)， ?????????2?4k2(k?2)2k2(4?k)2k??0， ?k?∴AM?AN?(xM?1,yM)?(xN?1,yN)?2k2?2k?2k2?2解得k?4，综上知k?(??,0)?(0,2)?(2,4).-----------------------------12分
x?2?ln(x?1)(x?2)?(x?1)ln(x?1)x?1?（21）解：(Ⅰ) 解法1：f'(x)?， -----------2分 22(x?2)(x?1)(x?2)记g(x)?(x?2)?(x?1)ln(x?1)（x?2），g'(x)??ln(x?1)?0，----------3分 即g(x)在(2,??)上单调递减，∴g(x)?g(2)?0
从而f'(x)?0，∴函数f(x)在(2,??)上的单调递减.----------------------------5分
x?2?ln(x?1)x?1【解法2：依题意得f'(x)?， --------------------------------------------2分 (x?2)2记g(x)?则g'(x)?x?2?ln(x?1)（x?2） x?1112?x??，---------------------------------------------------------3分
(x?1)2x?1(x?1)2∵x?2∴g'(x)?0，即函数g(x)在(2,??)上单调递减， ∴g(x)?g(2)?0，从而得f'(x)?0，
∴函数f(x)在(2,??)上的单调递减.--------------------------------------------------5分】 (Ⅱ) 解法1：f(x)?a对?x?(2,??)均成立，
等价于ln(x?1)?a(x?2)对?x?(2,??)均成立，-------------------------------------6分 由y?ln(x?1)得y'?1，由此可得函数y?ln(x?1)的图象在点（2,0）处的切线 x?1为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分
（1）当a?1时，在(2,??)上，直线y?a(x?2)与函数y?ln(x?1)的图象相交，不合题意；---9分
（2）当a?1时，在(2,??)上，直线y?a(x?2)在函数y?ln(x?1)的图象的上方，符合题意---------------11分
综上得：要使f(x)?a对?x?(2,??)均成立，a?[1,??).------------------------------12分 【解法2：f(x)?a对?x?(2,??)均成立，
等价于ln(x?1)?a(x?2)对?x?(2,??)均成立---------------------------------------5分 记h(x)?ln(x?1)?a(x?2)，则h'(x)?11?a?ax?aa?1?a??(x?)-------6分 x?1x?1x?1a1?a， a?1?2?0?a?1，
aa（1）当a?0时，对?x?(2,??)，h'(x)?0，即函数h(x)在(2,??)单调递增，
h(2)?0，令h'(x)?0得x?故h(x)?h(2)?0，即ln(x?1)?a(x?2)?0，不符合题意；---------------------------8分 （2）当0?a?1时，对?x?(2,此时函数h(x)在(2,1?a)，h'(x)?0， a1?a)上为增函数，即ln(x?1)?a(x?2)?0，不符合题意；-----10分 a（3）当a?1时，对?x?(2,??)，有h'(x)?0，函数h(x)在(2,??)单调递减，
因此ln(x?1)?a(x?2)?h(2)?0，符合题意；
综上得：要使f(x)?a对?x?(2,??)均成立，a?[1,??)．------------------------12分】
选做题：
（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得?BAC??BDA，---------1分
?BAD??BCA，----------------------------------------------------2分
所以?BAC∽?BDA，------------------------------------------------------------------3分
得AB?BC，----------------------------------------------------------------------------4分
BDABAB2?BC?BD?8，AB?22；---------------------------------5分
（Ⅱ）连接EC，∵?AEC??AEB??BEC，-----------------------------------------6分
?ACE??ABE??BAD??ADB-------------------------------------------------7分 ∵?AEB??BAD，?BAC??BDA=?BEC,----------------------8分 ∴?AEC??ACE------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分
4t2)?9(1?t2)，------------1分 （23）解：(Ⅰ)将y?2t代入椭圆的普通方程得x?9(1?42于是得x??31?t2，-----------------------------------------------------------------------------2分
???x?31?t2,?x??31?t2,∴椭圆C的参数方程为?（t为参数）和?（t为参数）---4分
???y?2t.?y?2t. (Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分
设点P的坐标为(3cos?,2sin?)，(0???则S四边形AOBP?S?BPO?S?OPA??2)---------------------------------------------6分
11?2?3cos???3?2sin?---------------------------8分 22?3sin??3cos??32sin(??)，(0???)----------------9分
24当sin(?????4)?1，即???4时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为32.------10分
?(a?2),(x??2)??（24）解：（Ⅰ）解法1：∵a?0， ∴f(x)??2x?2?a,(?2?x?a)，--------------2分
(x?a)??a?2, 当?2?x?a时，?2?a?f(x)?a?2，∴当x?R时，?2?a?f(x)?a?2，---4分 ∴f(x)min??(a?2)??3，∴a=1；--------------------------------------------------5分 【解法2：∵||x?2|?|x?a||?|(x?2)?(x?a)|?a?2，----------------------2分
∴|f(x)|?a?2，f(x)min??(a?2)，---------------------------------------------3分 又已知f(x)min??3，
∴a=1；----------------------------------------------------------5分】
?(a?2),(x??2)??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)??2x?2?a,(?2?x?a)，（a?0）
(x?a)??a?2,当x??2时，f(x)??(a?2)??2，|f(x)|?2，不等式|f(x)|?2解集为空集----6分 当x?a时，f(x)?a?2?2，不等式|f(x)|?2解集也为空集；----------------7分 当?2?x?a时，|f(x)|?2，即?2?2x?2?a?2?a?2?x?a
22aa?2??2，?a，∴当?2?x?a时，|f(x)|?2的解为a?2?x?a-----9分
2222综上得所求不等式的解集为{x|a?2?x?a}----------------------------10分
22∵
上海市2016-2017年高考模拟考试
数学试卷（理科）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，
每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A?{?1,3,2m?1}，集合B?{3,m2}．若B?A，则实数m?．
3n?1?． 2．计算：limn?1nn??3?23．函数f(x)?3x?1的反函数f?1(x)?． 4．函数f(x)?(sinx?cosx)2的最小正周期为．
5．在极坐标系中，直线?(cos??2sin?)?1与直线?sin??1的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．
6．已知菱形ABCD，若|AB|?1，A??????????????，则向量AC在AB上的投影为． 37．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V?．
8．已知函数f(x)?x?lg(x?1?x)，若f(x)的定义域中的a、
b满足f(-a)+f(-b)-3=f(a)+f(b)+3，则f(a)?f(b)?．
32第7题 1??9．在代数式(4x?2x?5)?1?2?的展开式中，常数等于．
x??2510．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为．
11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数表示）． 12．设离散型随机变量?可能取的值为1，2，3，P(??k)?ak?b（k?1,2,3），若?的数学期
望E??7，则a?b?． 3?y??2x?4033,13．正整数a、b满足1?a?b，若关于x、y的方程组?有且只有一组
y?|x?1|?|x?a|?|x?b|?解，则a的最大值为．
14．数列{an}中，若a1?0，ai?k2（i?N*，2k≤i?2k?1，k?1,2,3,?），则满足ai?a2i≥100的i的最小值为．
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为l1:a1x?b1y?c1?0，l2:a2x?b2y?c2?0，那么
“
a1a2b1?0”是“两直线l1、l2平行”的[答] ( )． b2
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
A．充分非必要条件 C．充要条件 16．复数z?m?i（m?R，i为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(b?c)∶(c?a)?7∶∶910，则△ABC[答] ( )． 17．若△ABC的三条边a，b，c满足(a?b)∶A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
18．若函数f(x)?lg[sin(?x)?sin(2?x)?sin(3?x)?sin(4?x)]的定义域与区间[0,1]的交集由n个开区间组成，则n的值为[答] ( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域
内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）
如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆形的圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60?．若A、B、C是凳面圆周的三等分点，AB?18厘米，求凳子的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．
20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
COAPB
已知函数f(x)?asinx?bcosx，其中a、b为非零实常数．
???（1）若f???2，f(x)的最大值为10，求a、b的值．
?4?（2）若a?1，x?
21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
?是f(x)图像的一条对称轴，求x0的值，使其满足f(x0)?3，且x0?0 2[,]?．6x?2，其中a?1． x?1 （1）证明：函数f(x)在(?1,??)上为增函数．
已知函数f(x)?ax?（2）证明：不存在负实数x0使得f(x0)?0．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分8分．
已知数列{an}的通项公式为an?(n?k1)(n?k2)，其中n?N*，k1、k2?Z． （1）试写出一组k1、k2的值，使得数列{an}中的各项均为正数． （2）若k1?1，k2?N*，数列{bn}满足bn?写出所有满足条件的k2的值．
（3）若k1?k2，数列{cn}满足cn?an?|an|，其前n项和为Sn，且使ci?cj?0（i、j?N*，
an，且对任意的m?N*（m?3），均有b3?bm，ni?j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、?、Sn中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求k1、k2的最小值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分8分．
22x0y0x2y2对于双曲线C(a,b)：2?2?1（a,b?0），若点P(x0,y0)满足2?2?1，则称P在C(a,b)的外部；
abab22x0y0若点P(x0,y0)满足2?2?1，则称P在C(a,b)的内部．
ab （1）若直线y?kx?1上点都在C(1,1)的外部，求k的取值范围．
（2）若C(a,b)过点(2,1)，圆x2?y2?r2（r?0）在C(a,b)内部及C(a,b)上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．
（3）若曲线|xy|?mx2?1（m?0）上的点都在C(a,b)的外部，求m的取值范围．
数学试卷（文理）参考答案
一、填空题(本大题满分56分)
251 53n?13336． 7． 8．?3 9．（理）15（文）32 10．（理）103（文）221．1 2． 3．(x?1)3，x?R4．? 5．arccos15
11（文）10312．（理）（文）2 146113．（理）2016（文）14．（理）128（文）2016
1411．（理）
二、选择题(本大题满分20分)
15．B 16．D17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分)
[解] 联结PO，AO，由题意，PO?平面ABC，因为凳面与地面平行， 所以?PAO就是PA与平面ABC所成的角，即?PAO?60?．（2分） 在等边三角形ABC中，AB?18，得AO?63，（4分） 在直角三角形PAO中，OP?3AO?18，（6分）
OP?0.618，解得h?47.13厘米．（9分）
h?OP3h三根细钢管的总长度?163.25厘米．（12分）
sin60?由
20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
bcos??[解（]1）因为f(x)?asinx?bcosx?a2?b2sin(x??)（其中sin??，
22a?b所以f(x)的最大值为a2?b2． 由a2?b2?10，（2分）
aa?b22），
22???a?b?2，（4分） 及f???422??解得a??1，b?3或a?3，b??1．（6分）
?时，取得最大值b2?1或最小值?b2?1， 63???1b??b2?1，解得b?3．（8分） 于是f?????6?22?于是f(x)?sinx?3cosx?2sin(x?)，（10分）
3?当f(x)?3时，解得x?2k?或x?2k??（k?Z）．（12分）
3?因为x0?[0,2?]，故所求x0的值为0，，2?．（13分）
3（2）易知，当x?21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
x?2x?2?ax2?2[证明]（1）任取?1?x1?x2，f(x1)?f(x2)?ax1?1 x1?1x2?1?x?2x2?2?3(x1?x2)x1x2．（3分） ?(ax1?ax2)??1???(a?a)?(x1?1)(x2?1)?x1?1x2?1?因为?1?x1?x2，a?1，所以ax1?ax2，x1?1?0，x2?1?0，x1?x2?0，
3(x1?x2)?0，得f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)． 于是ax1?ax2?0，
(x1?1)(x2?1)因此，函数f(x)在(?1,??)上为增函数．（6分）
x?2（2）（反证法）若存在负实数x0（x0??1），使得f(x0)?0，即方程ax?（8?0有负实数根．
x?1分）
x?2?1??1?对于ax??，当x0?0且x0??1时，因为a?1，所以ax0??0,???,1?，（10分）
x?1?a??a?x?23??1??(??,?1)?(2,??)．（13分） 而?0x0?1x0?1因此，不存在负实数x0使得ax??x?2，得证． x?122．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（理）[解]（1）k1??1、k2??2（答案不唯一）．（4分）
ank?n?2?(1?k2)．（6分） nnk当k2?1，2时，f(n)?n?2均单调递增，不合题意，因此，k2≥3．
nk当k2≥3时，对于f(n)?n?2，当n≤k2时，f(n)单调递减；当n≥k2时，f(n)单调递增．
n由题设，有b1?b2?b3，b3?b4??．（8分） 于是由b2?b3及b4?b3，可解得6?k2?12． 因此，k2的值为7，8，9，10，11．（10分）
?2an,an?0,（3）cn?an?|an|??
an≤0.?0,（2）由题设，bn?
其中an?(n?k1)(n?k2)?n2?(k1?k2)n?k1k2，且k1?k2．
当k1?k2≤0时，{an}各项均为正数，且单调递增，cn?2an，也单调递增，不合题意；
?2an,n?k2,当k1≤0?k2时，cn??不合题意；（12分）
n≤k2.?0,?2an,n?k1orn?k2,于是，有0?k1?k2，此时cn??（14分）
k1≤n≤k2.?0,因为ci?cj?0（i、j?N*，i?j），所以i、j?(k1,k2)．
于是由cn?2an?2(n?k1)(n?k2)?2[n2?(k1?k2)n?k1k2]，可得
k1?k2i?j，进一步得?220?i?k1?k2?j，此时，i的四个值为1，2，3，4，因此，k1的最小值为5．（16分）
又S1、S2、?、Sn中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设Sm?Sm+1=Sm+2=?，于是有cm+1=cm+2=??0，
因为当k1≤n≤k2时，cn?0，所以5?k1≤m?1?m?2??≤k2， 因此，k2≥6，即k2的最小值为6．（18分）
（文）[解]（1）设直线3x?y?1?0上点的坐标为(x0,3x0?1)，代入x2?y2，
2得x2?y2?x0?(3x0?1)2??8(x0?)2?，（2分）
38181822（2）设点N的坐标为(x0,y0)，由题设x0?y0≥1．（6分）
??????????1322222?(y0?1)2?2(y0?)2?，（8分） |MN|?x0?(y0?1)，由x0≥1?y0，得|MN|≥1?y022?????61236对于y0?R，有2(y0?)?≥，于是|MN|≥，（10分）
2222?????6因此，|MN|的最小值为．
2（3）因为圆x2?y2?r2和双曲线C(a,b)均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一
对于x?R，x2?y2≤?1，因此，直线y?3x?1上的点都在C(1,1)的外部．（4分） 象限及x、y轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为?分）
?2r2r?．（12
?2,2????r2r22r2r将x?，y?代入双曲线C(a,b)方程，得2?2?1（*），（13分）
2a2b2241又因为C(a,b)过点(2,1)，所以2?2?1，（15分）
ab24b8b222将a?2代入（*）式，得r?2．（17分）
b?1b?33r22?0，解得r2?8．因此，r的取值范围为(22,??)．（18分） 由b?2r?823．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
2?(kx0?1)2?1（理）[解]（1）由题意，直线y?kx?1上点(x0,kx0?1)满足x2?y2?1，即求不等式x0的解为一切实数时k的取值范围．（1分）
2对于不等式(1?k2)x0?2kx0?2?0，
当k??1时，不等式的解集不为一切实数，（2分）
2??1?k?0,于是有?解得|k|?2． 22????4k?8(1?k)?0,故k的取值范围为(??,?2)?(2,??)．（4分）
（2）因为圆x2?y2?r2和双曲线C(a,b)均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x、y轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为??2r2r?．
?2,2????r2r22r2r将x?，y?代入双曲线C(a,b)方程，得2?2?1（*），（6分）
2a2b2241又因为C(a,b)过点(2,1)，所以2?2?1，（7分）
ab4b28b222将a?2代入（*）式，得r?2．（9分）
b?1b?33r22?0，解得r2?8．因此，r的取值范围为(22,??)．（10分） 由b?2r?8x2y2112（3）由|xy|?mx?1，得|y|?m|x|?．将|y|?m|x|?代入2?2?1，
ab|x||x|?1?m|x|??|x|?x2???1对任意非零实数均成立．（12分）
由题设，不等式2?x2ab?1?m|x|??|x|?x2?1a2?22222?[(b?am)x??2am]． 其中2?2222ababx2a?2a2m，（t?0）． 令x2?t，设f(t)?(b2?a2m2)t?t222当b?am?0时，函数f(t)在(0,??)上单调递增，f(t)?1不恒成立；（14分） a2当b?am?0时，(b?am)t?≤?2(a2m2?b2)a2，
t22222222函数f(t)的最大值为?2(a2m2?b2)a2?2a2m，
?2(a2m2?b2)a2?2a2m?0?1；（16分） 因为m?0，所以22aba2222当b?am?0时，f(t)???2a2m?0?1．（17分）
tb?b?综上，b2?a2m2≤0，解得m≥．因此，m的取值范围为?,???．（18分）
a?a?（文） [解]（1）k1??1、k2??2（答案不唯一）．（4分）
ak（2）由题设，bn?n?n?2?(1?k2)．（6分）
nnk当k2?1，2时，f(n)?n?2均单调递增，不合题意，因此，k2≥3．
n
k2，当n≤k2时，f(n)单调递减；当n≥k2时，f(n)单调递增． n由题设，有b1?b2?b3，b3?b4??．（8分） 于是由b2?b3及b4?b3，可解得6?k2?12． 因此，k2的值为7，8，9，10，11．（10分）
当k2≥3时，对于f(n)?n?（3）因为an?(n?k1)(n?k2)?n2?(k1?k2)n?k1k2，且0?k1?k2，
?2an,n?k1orn?k2,所以cn?an?|an|??（12分）
0,k≤n≤k.12?因为ci?cj?0（i、j?N*，i?j），所以i、j?(k1,k2)．（14分）
k1?k2i?j，进一步得0?i?k1?k2?j， ?22此时，i的四个值为1，2，3，4，因此，k1的最小值为5．（16分） 又S1、S2、?、Sn中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设Sm?Sm+1=Sm+2=?，于是有cm+1=cm+2=??0，因为当k1≤n≤k2时，cn?0，所以5?k1≤m?1?m?2??≤k2， 因此，k2≥6，即k2的最小值为6．（18分）
于是由cn?2[n2?(k1?k2)n?k1k2]，可得
2016-2017年高三第二次联考（二模）文科数学试卷
一、单选题（共12小题） 1．已知复数
A．第一象限 C．第三象限
（其中为虚部单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
B．第二象限 D．第四象限
，则
B．
”是“
”的（ ）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得残
差
平
方
和
如
下
表
：
D．
（ ）
2．已知集合
A．C．
3．“
A．充分不必要条件 C．充要条件
4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对
相
关
系
数
与
则哪位同学的试验结果体现A．甲
B．乙
两变量有更强的线性相关性（ ）
C．丙
D．丁
5．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）
A．3 数列6．
中，已知
B．4
，且
C．5 D．6
，则数列
为（ ）
A．等差数列
C．从第二项起为等差数列
B．等比数列
D．从第二项起为等比数列
7．将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像
，则函数
的单调递减区间是（ ）
上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数个A．C．
B．D．
8．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
则该几何体的侧面积是（ ） A．B．C．D．
是
所在平面内一点，内的概率是（ ）
B．
C．
D．，则
，则
，现将一粒黄豆随机撒在
内，
9．已知
则黄豆落在A．
10．对于
，则
，有如下四个命题：①若
③若为直角三角形；
为等腰三角形；②若
为锐角三角形；
④若A．1
B．2
，则
为等边三角形，其中正确的命题个数是（ ）
C．3 的焦距长为
，过原点
D．4 作圆：
的
11．已知双曲线
两条切线，切点分别是A．
B．
，且
，那么该双曲线的离心率为（ ） C．2
D．
设12．是定义在的奇函数，其导函数为，且，当