课时冲关练(十四)
圆锥曲线的概念与性质、 存在性问题与曲线中的证明
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(20142衢州模拟)若双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线与圆
x2+(y-2)2=1至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,2] B.[2,+?) C.(1,
] D.[
,+?)
【解析】选A.取渐近线y=bx,圆心(0,2),半径为1, 则由又a=1, 所以离心率e==
=
≤2.
≥1得b2≤3.
又双曲线的离心率e>1, 所以离心率的取值范围为
.
2.(20132四川高考)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( ) A. B. C. D.
【解析】选C.根据题意可知点P(-c,y0),代入椭圆的方程可得=b2-,根据AB∥OP,可知
=
,即=,解得y0=,即b2-=
,
- 1 -
解得e==,故选C.
3.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足
1
=λ
+λ
2
(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是
( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 【解析】选A.设C(x,y),因为λ2(-1,3), 即
解得
+
=1,即x+2y=5,所以轨迹为直线,故选A.
=λ1
+λ2
,所以(x,y)=λ1(3,1)+
又λ1+λ2=1,所以
4.(20142威海模拟)双曲线y2-=1的离心率e=2,则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为 ( ) A.
B.9
C.27
D.36
=2,即
【解析】选C.依题意可知:双曲线a2=1,b2=m,所以e==
=2,所以m=3,所以双曲线的渐近线方程为y=〒x,抛物线方程
为y2=3x,联立方程组设A(9,3联立方程组设B(9,-3
),
解得
或
解得
或
),由抛物线的对称性可知:△AOB的面积为
- 2 -
S=|AB|xA=27.
【误区警示】本题易忽略双曲线的焦点在y轴上而误选.
5.抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C.
D.
【解题提示】利用“直线平行,则斜率相等”这一结论求解. 【解析】选D.因为双曲线C2:-y2=1, 所以右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=〒x. 抛物线C1:y=x2(p>0),焦点为F'设M(x0,y0),则y0=因为kMF'=kFF',所以又因为y'=x,所以y'由①②得p=
.
. =
.① =x0=.②
.
6.已知双曲线-=1的左右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作直线l与双曲线左右两支分别交于A,B两点,若△ABF2为正三角形,则双曲线的渐近线方程为
( )
A.
x±y=0 B.x±
- 3 -
y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
【解析】选A.设|AB|=|BF2|=|AF2|=x,则由|BF1|-|BF2|=2a得|AF1|=2a,又中
由
|AF2|-|AF1|=2a,
得
|AF2|=x=4a,
结
合
所余
以弦
△定BF1F2
理
,|BF1|=6a,|BF2|=4a,|F1F2|=2c,
得,(2c)2=(6a)2+(4a)2-2〓6a〓4a〓cos 60°?4c2=28a2,得a2+b2=7a2,=6,渐近线方程为y=〒7.下列说法中不正确的是 ( )
A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值,则动点P的轨迹为双曲线的一部分
B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算“”:mn=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,则动点P(x,
)的轨迹是抛物线的一部分
x.即
x〒y=0.
C.已知两圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
D.已知A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
【解析】选D.A中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分,B中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分,C中符合椭圆定义是正确的,D中应为双曲线一支.故选D.
【方法技巧】求动点轨迹方程的常用方法 1.直接法:
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的
- 4 -
等式就得到曲线的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法. 2.定义法:
若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求出动点的轨迹方程. 3.相关点法:
有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法. 4.参数法:
有时求动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可.在选择参数时,选用的参变量可以具有某种物理或几何的性质,如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率,点的横、纵坐标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.
8.(20142温州模拟)如图,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点为
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F1,F2,抛物线C2的顶点为坐标原点O,焦点为F2,过F1的圆x2+y2=a2的一切线交抛物线C2于点A,切点为M,若线段F1A的中点恰为M,则双曲线C1的离心率为 ( )
A.
B.
C. D.
【解析】选A.连接OM,AF2,在△F1AF2中,MO为中位线,且F1M=b,OM=a,从而AF2=2a,由抛物线的定义,设A(x,y),则x+c=2a,从而x=2a-c.又点A到x轴的距离为的垂线),从而点A(2a-c,
(利用抛物线的定义过点A作抛物线准线
).考虑到点A在抛物线C2:y2=4cx
上,从而4b2-4a2=4c(2a-c),即c2-2a2=c(2a-c),即c2-ac-a2=0,故e2-e-1=0,又e>1,解得e=
.
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为 . 【解析】因为PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, 所以|PF2|=2ctan30°=又|PF1|+|PF2|=答案:
10.(20142山东高考)已知双曲线-=1
c,|PF1|=c.
c=2a,则e===.
的焦距为2c,
- 6 -
右顶点为A,抛物线x2=2py线所得线段长为2c,且
的焦点为F,若双曲线截抛物线的准
=c,则双曲线的渐近线方程为 .
【解题提示】本题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意知=
=b,
,
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为即所以=答案:y=〒x
,代入双曲线方程为-=1,得=2,
=1,所以渐近线方程为y=〒x.
11.(20132天津高考)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .
【解析】由抛物线y2=8x知其准线方程为x=-2,故双曲线中c=2,又离心率为2,所以a=1,由b2=c2-a2得b2=3,因此该双曲线的方程为x2-=1. 答案:x2-=1
【方法技巧】求解圆锥曲线方程的方法
求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.
(1)所谓“定型”,就是指确定类型,也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,抛物线的焦点是在x轴的正半轴、负半轴上,还是在y轴的正半轴、负半轴上,从而设出相应的标准方程的形式. (2)所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
- 7 -
12.(20142天水模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别是A',B',若四边形AA'B'B的面积为48,则抛物线的方程为 .
【解析】过A作AC⊥BB'于点C,因为直线的倾斜角为30°,所以AC=AB,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=立消元得:x2-7px+
AA'B'B
,与抛物线方程联
四边形
=0,所以x1+x2=7p,所以AB=8p,所以S
=(AA'+BB')·AC=〓8p〓4p=48,所以p=
x.
x
.所以抛物线方程为
y2=2
答案:y2=2
三、解答题(13～14题每题10分,15～16题每题12分,共44分) 13.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=2(1)求椭圆E的方程.
(2)若圆x2+y2=的切线l与椭圆E相交于P,Q两点,当P,Q两点横坐标不相等时,OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由. 【
解
析
】
(1)
设
A(x0,y0),,所以a=
.
则
,|AB|的最小值为2.
B(-x0,-y0),F(c,0)(c2=a2-b2),|AF|+|BF|=2a=2又|AB|==2
,0≤
=2≤a2,
- 8 -
所以|AB|min=2b=2,所以b=1, 所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)OP与OQ垂直,证明如下:
由题设条件可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m. 因为直线l与圆x2+y2=相切,所以
=,
所以m2=(k2+1).将y=kx+m代入+y2=1中得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, Δ=8(2k2+1-m2)>0.
令P(x1,y1),Q(x2,y2),x1≠x2, 则x1+x2=
①,x1x2=
②, ③. +
=
=0,
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=所以所以
·⊥
=x1x2+y1y2=
,即OP与OQ垂直.
【误区警示】注意检验判别式
在解题时,若直线与圆锥曲线有公共点,在求得参数值时,要注意检验判别式是否大于或等于零,避免产生增解或漏解,如本题中Δ=8(2k2+1-m2)>0.
14.(20142天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知(1)求椭圆的离心率.
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率. 【解析】(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为
- 9 -
=.
.
由=,可得a2+b2=3c2,
又b2=a2-c2,则=. 所以,椭圆的离心率e=.
=
解得a=
c,所以2a2-c2=3c2,
c,e=.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2. 故椭圆方程为设P有
=
·+=1.
,B,
==0,
, .
.由F1
由已知,有即
c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0. ①
又因为点P在椭圆上,故 +=1. ② 由①和②可得3y0=,
即点P的坐标为设圆的圆心为T进而圆的半径r=
. ,则x1=
=-c,y1=
=c,
+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-,代入①得
=c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx. 由l与圆相切,可得即
=c,
=r,
- 10 -
整理得k2-8k+1=0,解得k=4〒所以,直线l的斜率为4+
.
.
或4-
15.(20142嘉兴模拟)如图,两条相交线段AB,PQ的四个端点都在椭圆+=1上,其中,直线AB的方程为x=m,直线PQ的方程为y=x+n.
(1)若n=0,∠BAP=∠BAQ,求m的值.
(2)探究:是否存在常数m,当n变化时,恒有∠BAP=∠BAQ? 【解析】(1)由解得P
,Q
.
因为∠BAP=∠BAQ, 所以kAP+kAQ=0. 设A(m,y),则化简得2my=3, 又
+=1,联立方程组,解得m=〒1,或m=〒
.
+
=0,
因为AB平分∠PAQ,所以m=〒(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得4y2-6ny+3n2-3=0. Δ=12(4-n2),y1+y2=,y1y2=
不合适,故m=〒1.
.
- 11 -
若存在常数m,当n变化时,恒有∠BAP=∠BAQ,则由(1)知只可能m=〒1. ①当m=1时,取A
,∠BAP=∠BAQ等价于
+
=0,
即(2y1-3)(2y2-2n-1)+(2y2-3)(2y1-2n-1)=0, 即4y1y2+3(2n+1)=2(n+2)(y1+y2),
即3(n2-1)+3(2n+1)=3n(n+2),此式恒成立. 所以,存在常数m=1,当n变化时,恒有∠BAP=∠BAQ. ②当m=-1时,取A
,
由对称性同理可知结论成立.
故,存在常数m=〒1,当n变化时,恒有∠BAP=∠BAQ.
16.(20142合肥模拟)如图,点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=于点Q.
(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程. (2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点. 【解析】(1)由条件知,P
,故直线PF2的斜率为
x-,
=
=-.
因为PF2⊥F2Q,所以直线F2Q的方程为y=故Q
.由题设知,
=4,2a=4,解得a=2,c=1.故椭圆方程为
- 12 -
+=1.
(2)直线PQ的方程为即y=x+a.
将上式代入+=1得x2+2cx+c2=0, Δ=(2c)2-4c2=0,所以方程只有一个解, 所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.
=
,
- 13 -