2010年朝阳区中考二模数学试题
考 生 须 知
2010.6
1． 本试卷共8页，共三道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟. 2． 在试卷和答题卡上准确填写学校．班级．姓名． 3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4． 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题32分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1．6的倒数是
A．-6 B．±
16 C．?16 D．
16
2．全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水、保护水，是我们每一位公民义不容辞的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为
A．3?10?4 B．3?10?5 C．0.3?10?4 D．0.3?10?5 3．已知?a?3??2b?2?0，则ab等于
A．-6 B．6 C．-1 D．1
4．某校抽取九年级的7名男生进行了1次体能测试，其成绩分别为75，90，85， 75，85，95，75，（单位：分）这次测试成绩的众数和中位数分别是
A．85，75 B．75，80 C．75，85 D．75，75 5．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是
A．8 B．6 C．5 D．4
6．已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是65πcm2，则圆锥的母线长是
A． 6.5 B． 13 C．15 D．26 7．如图，△ABC被一个矩形所截，矩形的一条边与AB、AC分别交于点D、E，另一条边与BC在同一条直线上．如果点D恰为AB的三
等分点，那么图中阴影部分面积是△ABC面积的
A．
13 B．
19 C．
49 D．
59
8．已知二次函数y1=x2-x-2和一次函数y2=x+1的两个交点分别为A(-1，0)，B(3，4)， 当y1＞y1时，自变量x的取值范围是
A． x ＜-1或x＞3 B．-1＜x＜3 C．x＜-1 D．x＞3
第Ⅱ卷 （填空题和解答题，共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．若分式
x2?4x?2的值为0，则x的值为 ．
10．某中学团委为玉树地震灾区组织捐款活动，九（1）班生活委员对本班30名同学的捐款情况进行了统计，并绘制了条形图（如图），那么九（1）班同学本次平均每人捐款____元． 11．我们知道，投掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是正面朝上的概率是
141210题图 ；投掷两枚均匀的硬币，同时出现两个
18；投掷三枚均匀的硬币，同时出现三个正面朝上的概率是；那么投掷n
枚均匀硬币，出现n个正面朝上的概率是_______． 12．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有______个．
三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）
计算：
310题图 8?2?23?2?2sin60?
14．（本小题5分）
已知a2+2a=4，求
15．（本小题5分）
已知：如图，AC与BD相交于点O，且OB=OC，OA=OD． 求证：∠ABC=∠DCB．
16．（本小题5分）
如图，
是四张不透明且质地相同的
数字卡片．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． （1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字3的概率； （2）为能赢得一张上海世博会的门票，李明与王刚请张红做裁判，张红用以上四张卡片设计了一个方案（见右侧信息图），但李明却认为这个方案设计的不公平．
请你用列表法或树形图法求出概率说明李明的说法是否正确．
方 案 随机抽取一张卡片,记下数字后放回,洗匀后再抽一张卡片记下数字.将抽取的第一张、第二张卡片上的数字相加,若两数之和为奇数，则李明得到门票；若两数之和为偶数，则王刚得到门票. 15题图 1a?1?1a2?1?a?1a2?2a?1的值．
17．（本小题5分）
如图，反比例函数y?kx（x＞0）的图象过点A．
（1）求反比例函数的解析式； （2）若点B在y?kx（x＞0）的图象上，
求直线AB的解析式．
18．列方程（组）解应用题（本小题5分）
“五一”期间某校学生到相距学校10千米的“老年公寓”开展“献爱心”活动，部分同学骑自行车从学校出发，20分钟后另部分同学乘汽车从学校出发，结果乘汽车的同学比骑自行车的同学提前10分钟到达“老年公寓”．已知汽车速度是自行车速度的4倍，求两种车的速度各是多少？
19．（本小题5分）
在下面所给的图形中，若连接BC，则四边形ABCD是矩形，四边形CBEF是平行四边形． （1）请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）； （2）请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．
20．（本小题5分）
已知：如图, AB是⊙O的直径, AB=AC，BC交⊙O于点D，延长CA交⊙O于点F，连接DF，DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=10，cos?C?
21．（本小题5分）
阅读下列材料，然后解答后面的问题：
利用完全平方公式(a±b)2 =a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形， 如a2+b2= (a+b)2 -2ab或a2+b2 = (a -b)2 +2ab．从而使某些问题得到解决.
45，求EF的长．
例：已知a+b=5，ab=3，求a+b的值． 解：a+b= (a+b) -2ab = 5 -2×3=19． 问题：（1）已知a?1a?6，则a222
2222
?1a2=________；
（2）已知a–b =2，ab=3，求a4+b4的值．
22．（本小题5分）
已知抛物线y?x2?2mx?m2与直线y?2x交点的横坐标均为整数，且m＜2，求满足要求的m的整数值．
23．（本小题7分）
如图，平行四边形ABCD中，AD=8,CD=4,∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动． 当其中一个点到达终点时，另一个点随止运动．点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ积为S．
（1）求S关于t的函数关系式； （2）求出S的最大值；
（3）t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．
24．（本小题7分）
如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF．
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF－BE．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；
（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=
12之停的面
∠BAD时，EF与
DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．
12∠BAD时，EF与
图1 图2 图3
25．（本小题8分）
如图，边长为2的正方形ABCO中，点F为x轴上一点，CF=1，过点B作BF的垂线，交y轴于点E．
（1）求过点E、B、F的抛物线的解析式；
（2）将∠EBF绕点B顺时针旋转，角的一边交y轴正半轴于点M，另一边交x轴于点N，设BM与（1）中抛物线的另一个交点为点G，且点G的横坐标为
65，EM与
NO有怎样的数量关系？请说明你的结论．
（3）点P在（1）中的抛物线上，且PE与y轴所成锐角的正切值为
32，求点P的坐标．
2010年朝阳区中考二模数学试题答案
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B
7 C 8 A 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9． -2
10． 35
11．
12n 12．4
三、解答题（共13个小题，共72 分） 13. （本小题5分）
解：原式＝2?4?2?3?2?32?????????????????4分
=0 ??????????????????????????5分
14. （本小题5分）
解：原式＝
1a?1?1(a?1)(a?1)?(a?1)a?12 ???????????????2分
?1a?12?a?1(a?1)2 ????????????????????3分
?(a?1)2 ???????????????????????4分
当a2?2a?4时，原式?15. （本小题5分）
证明： ∵. OB=OC，
2(a?1)2?25.????????????5分
∴∠ACB＝∠DBC. ???????????????????? 1分
∵OA＝OD，
∴AC＝BD． ?????????????????????? 2分 又∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．?????????????????????? 4分 ∴∠ABC＝∠DCB． ????????????????????? 5分
16．（本小题5分）
（1） P(3) =
12 ?????????????????????????? 1分
（2）表格或树形图略 ?????????????????????? 2分 因为p(奇)?38， p(偶)?58， ???????????????????? 4分
所以抽取的数字之和为偶数的概率大于数字之和为奇数的概率．
所以这个方案设计的不公平，李明的说法是正确的．?????????? 5分
17．（本小题5分）
解：（1）∵ 反比例函数y?kx（x＞0）的图象过点A，
∴ k=6． ??????????????????????????? 1分 ∴ 反比例函数的解析式为y?（2）∵ 点B在y?6x6x． ???????????????? 2分
的图象上，且其横坐标为6，
∴ 点B的坐标为（6，1）． ??????????????????? 3分 设直线AB的解析式为y?kx?b(k?0)，
把点A和点B的坐标分别代入y?kx?b(k?0)，
1??3?2k?b,?k?? 解得 ?2, ????????????????? 4分 ?1?6k?b.??b?4.?∴直线AB的解析式为y??18. （本小题5分）
12x?4 ??????????????? 5分
解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为4x千米/时，????? 1分
由题意，得
10x?104x?12 ．
解得 x=15． ?????????????????? 3分 经检验：x=15是原方程的解． ?????????????????? 4分 则4x?60．
答：自行车的速度为15千米/时，则汽车的速度为60千米/时．?????? 5分
19. （本小题5分）
解：（1）如图1或 图2 ?????????????????????? 2分
（2）如图
3 ??????
????????????????????? 4分
过矩形ABCD的中心O1和平行四边形CBEF的中心O2画线段MN，交AD于M，交EF于N，则线段MN为所求． ???????????????????? 5分
20. （本小题5分）
证明：（1）连接OD， ?????????? 1分 ∵OB＝OD，∴∠B＝∠1． ∵AB=AC, ∴∠B=∠C． ∴∠1=∠C．
∴OD∥AC． ?????????? 2分 ∵DE⊥CF于点E，∴∠CED＝90°． ∴∠ODE＝∠CED＝90°．
∴ DE是⊙O的切线．?????????? 3分 解：(2) 连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°． ∵cosC=cosB=
45．
∵AB=10，∴BD=AB·cosB=8． ????????????????? 4分 ∵∠F=∠B =∠C． ∴DF=DC=8．且cosF=cosC=在Rt△DEF中， EF=DF·cosF=
32545．
． ??????????????????????? 5分
21．（本小题5分）
解：（1）34． ????????????????????????? 2分 （2）∵(a?b)2?a2?b2?2ab， ∴a?b?(a?b)?2ab
=4+6=10． ?????????????????????? 4分 ∴a?b?(a?b)?2ab
=100-18=82．????????????????????? 5分 22．（本小题5分）
解：∵抛物线y?x2?2mx?m2与直线y?2x相交，
∴x2?2mx?m2?2x．??????????????????????1分 ∴x2?2(m?1)x?m2?0． ∴??2(m?1)??4m2?0．
24422222222解得 m??
12．?????????????????????????? 2分
∵m＜2， ∴?12?m＜2． ???????????????????? 3分
∵ m为整数，∴ m=0，1．
∵抛物线y?x2?2mx?m2与直线y?2x交点的横坐标均为整数， 即方程x2?2mx?m2?2x的根为整数． 当m=0时，x-2x=0，
解得 x=0或x=2，两根均为整数，∴m=0符合题意． ????????? 4分 当m=1时，x2?4x?1?0， ∵ △=(-4)-4=12，
∴ x-4x+1=0没有整数根，∴m=1不符合题意，舍去．
∴ 满足条件的m的整数值为0．??????????????????? 5分
23. （本小题7分）
解：（1）①当 0 < t ≤ 2时,如图1，
过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E， ∵∠BCE=∠D=60°，∴BE=43． ∵ CP=t， ∴ S?CPQ?12CP?BE?12?43t?23t． ?????????????? 2分
2
2
2
② 当 2 < t ≤ 4时,如图2，
CP=t，BQ=2t-4，CQ=8-(2t-4)=12-2t． 过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于点F． ∵∠PCF=∠D=60°，∴PF=
32t．
∴ S?CPQ?12CQ?PF?12(12?2t)?32t??32t2?33t．???????? 4分
（2）当 0 < t ≤ 2时,t=2时，S有最大值43．
323292当 2< t ≤ 4时, S?CPQ??t2?33t??(t?3)?23，
t=3时，S有最大值
综上所述，S的最大值为
92923．
3． ??????????????????? 5分
（3）当 0 < t ≤ 2时, △CPQ不是等腰三角形，
∴ 不存在符合条件的菱形．???????????????????? 6分 当 2 < t ≤ 4时,令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴ 当t=4时，△CPQ是等腰三角形．
即当t=4时，以△CPQ一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形． ???????????????????????????? 7分
24. （本小题7分）
解：（2）EF=DF-BE．???????????????????????? 1分 （3）EF=DF-BE．?????????????????????????? 2分 证明：在DF上截取DM=BE，连接AM．如图， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°, ∴∠D=∠ABE． ∵AD=AB， ∴△ADM≌△ABE．
∴AM=AE．???????????3分 ∴∠DAM=∠BAE． ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∴∠DAM+∠BAF=∴∠MAF=
121212∠BAD，
∠BAD．
∠BAD．
∴∠EAF=∠MAF． ?????????????????????? 4分 ∵AF是△EAF与△MAF的公共边， ∴△EAF≌△MAF． ∴EF=MF．
∵MF=DF-DM=DF-BE,
∴EF=DF-BE． ??????????????????????? 5分 (4) △CEF的周长为15． ??????????????????? 7分 25. （本小题8分）
解：（1）由题意，可得点B（2,2）． ∵ CF=1， ∴ F ( 3，0 ) ．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠OAB=∠BCF＝90°，AB=AC， ∵ BE⊥BF，∴∠EBF＝90°．
∴∠EBF=∠ABC．即∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBF． ∴∠ABE=∠CBF．
∴△ABE≌△CBF． ∴ AE=CF．
∴ E(0,1) ． ???????????????????????????? 1分 设过点E、B、F的抛物线的解析式为y=ax+bx+1，
5?a??,??4a?2b?1?2,?6∴ ? ∴?
139a?3b?1?0??b??6?2
∴抛物线的解析式为y=?6556x+
2
136x +1． ?????????????? 2分
136（2）∵ 点G(,y )在抛物线y=?y=?5656x2 +
x +1上，
×(,
655)2 +
136×
65+1=
125．
∴ G (
6125)．
设过点B、G的直线解析式为y=kx+b,
1??2k?b?2,?k??,? ∴ ?62 12 ∴ ?k?b???b?35?5?∴ 过点B、G的直线解析式为y=?∴ 直线y=?∴ EM=2．
1212x+3．
图1 x+3与y轴交于点M (0,3) ． ????????????? 3分
可证∴△ABM≌△CBN．∴CN=AM．∴N (1,0) ． ∴ON=1．
∴ EM=2ON．?????????????????????????? 4分 （3）∵ 点P在抛物线y=?可设点P坐标为（m，?如图2
①过点P1作P1H1⊥y轴于点H1，连接P1E． ∴ tan∠H1EP1=
m?56m256x2 +
136136x +1上， m +1）．
56m2 +
32，∴
P1H1H1E?32?32．
即
?136．?? 5分
图2 m?1?1解得m1=
95,m2=0（不合题意，舍去）．
②过点P2作P2H2⊥y轴于点H2，连接P2E．
∴ tan∠H2EP2=
m1?(?5617532，∴
P2H2H2E??3232．
即
m2?136． ???????????????? 6分
m?1)解得m3=
当m1= 当m3=
95175,m4=0（不合题意，舍去）．
56时，?m2 +
569513665m +1=
115；
1955时, ?m2 +，
13m +1=?），P2（
． ，?195 综上所述，点P1（
1117）为所求．???????? 8分
说明：各解答题不同的正确解法参照以上标准给分.