图像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求r的值； （2）当b=2时，记 bn??n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn?bn?r,
当n?1时,a1?S1?b?r, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1, 又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?则Tn?n?1n?1n?1 ??4an4?2n?12n?1234n?1????? 2223242n?11234nn?1Tn??????? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22324252n?12n?2121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2
222222211?(1?)n?11n?1123n?132 ??n?2??n?1?n?2
1422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1
22222
22．（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）（本小题满分13分）
已知数列?an?的前n项和为Sn，且a1?4,Sn?nan?2?（1）求数列?an?的通项公式；
2（2）设数列?bn?满足：b1?4，且bn?1?bn?(n?1)bn?2,(n?N?)，
n(n?1),(n?2,n?N?) 2求证：bn?an,(n?2,n?N?)； （3）求证：(1?1111)(1?)(1?)??(1?)??e。 b2b3b3b4b4b5bnbn?1
解：（1）当n?3时，Sn?nan?2? Sn?1?(n?1)an?1?2?n(n?1)， 2(n?1)(n?2)n?1，可得：an?nan?(n?1)an?1??2
22?an?an?1?1(n?3,n?N?).?a1?a2?2a2?2?1,?a2?3. ?4,(n?1)可得，an?? ??n?1.(n?2,n?N) （2）1?当n?2时，b2?b12?2?14?3?a2，不等式成立.
2?假设当n?k(k?2,k?N?)时，不等式成立，即bk?k?1.那么，当n?k?1时， bk?1?bk2?(k?1)bk?2?bk(bk?k?1)?2?2bk?2?2(k?1)?2?2k?k?2, 所以当n?k?1时，不等式也成立。
根据（1?），（2?）可知，当n?2,n?N?时，bn?an.
1?x?1??0, 1?x1?x ?f(x)在(0,??)上单调递减，?f(x)?f(0),?1n(1?x)?x.
111?, ∵当n?2,n?N?时，?bnann?1 （3）设f(x)?1n(1?x)?x,f?(x)? ?ln(1??ln(1??(1?11111)????， bnbn?1bnbn?1(n?1)(n?2)n?1n?21111111111)?1n(1?)???ln(1?)????????? b2b3b3b4bnbn?134n?1n?23n?23111)(1?)?(1?)?3e. b2b3b3b4bnbn?123.（湖南省师大附中2010届高三第二次月考数学理试题）已知数列{am}是首项为，公差为b的等差数列，{bn}是首项为b，公比为的等比数列，且满足a1?b1?a2?b2?a3，其中a、b、m、n?N*.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若数列{1?am}与数列{bn}有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列
{cn}，求数列{cn}的通项公式；
（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列{cn}的前项之和为Sn，求证：
999919??????(n?3). S1S2S2S3S3S4SnSn?142【解】（Ⅰ）由题设am?a?(m?1)b,bn?b?an?1. 由已知a?b?a?b?ab?a?2b，所以ab?a?2b?3b.又b＞0，所以a＜3.
因为ab?a?b,b?a，则ab?2a.又a＞0，所以b＞2，从而有a?b?1. b?1因为a?N*，故a?2. （Ⅱ）设1?am?bn，即1?a?(m?1)b?b?an?1. 因为a?2，则3?(m?1)b?b?2n?1，所以b?3.
2n?1?(m?1)n?1因为b?a?2，且b∈N*，所以2n?1?(m?1)?1，即m?2，且b＝3.
故cn?bn?3?2n?1. （Ⅲ）由题设，Sn?3(1?2???2n?1)?3(2n?1).
01n?1n01n?1n当n?3时，2n?1?Cn?Cn?L?Cn?Cn?1?Cn?Cn?Cn?Cn?1?2n?1，当且
仅当n?3时等号成立，所以Sn?3(2n?1). 于是
911111?n??[?](n?3). n?1Snsn?1(2?1)(2?1)(2n?1)(2n?3)22n?12n?3因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则
1111111119999???[??????] ?????3212799112n?12n?3S1S2S2S3S3S4SnSn?11111111119???(?)????.
3211442321272n?324.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）．
?已知定义在R上的函数f(x)有2f(x)?f()?2x?1x1?3． x（1）求函数f(x)的解析式； （2）设函数g(x)?f2(x)?2x(x?0)，直线y?2n?x（n?N*）分别与函数
（n?N*）．设an?AnBn，y?g(x),y?g?1(x) 交于An、Bn两点Sn为数列{an}的前项和。
1求an，并证明Sn?1?Sn?○
222Sn1?2(n?2)； nnSS2S3????n)。 23n2求证：当n?2时，Sn?2(○
解．⑴2f(x)?f()?2x?211?3
xx12故2f()?f(x)??x?3两式联立可得f(x)?x?1
xx⑵①由（1）可得g(x)?(x?1)2?2x?x2?1,
2??2n2?12n2?1??2n2?12n2?1??y?x?1联立?得交点An??22n,22n??,由此得Bn??22n,22n??,
??????y?2n?x?2n2?12n2?1??2n2?12n2?1?1???所以an?|AnBn|?? ?????22n???n22n??22n22n???Sn?222Sn2Sn1112222?Sn?1?Sn?S???当n?2时,S?S??, ，②?1nnn?1nnnn2n222Sn?1?Sn?2?2Sn?12S21122S?S??2, ???,21n2n?1(n?1)2SS2S3111????n)?1?(2?2???2) 23n23n累加得：Sn?2(2又?1?(111111????)?1?[????] 2221?22?3n(n?1)23n111111SS??????)??0?Sn2?2(2?3???Sn)
23n223n?1nn?1?(1?
2009——2010学年度全国各地高三数学月考试题分类汇编——数列
一、选择题
1.（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）等比数列{an}的各项为正，公比q满足q2?4，则
a3?a41的值为A． a4?a54 B．2
1C．?
2D．
1 22.（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）．则“数Sn是数列{an}的前n项和，列{Sn}为等差数列”是“数列{an}为常数列”的 A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.（江西师大附中2010届高三10月月考数学理试题）已知等差数列{an}的前项和为Sn，且S2?10,S5?55，
则过点P(n,an)，Q(n?2,an?2)(n?N*)的直线的斜率为 A．4
B．
1 4C．－4 D．－
14
4.（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）． 在数列{an}中，an?2n?3， 前n项和Sn?an2?bn?c,n?N*，其中a、b、c为常数，则a?b?c?
A．?3
B．?4
C．?5
D．?6 5.（江西师大附中2010届高三10月月考数学理试题）．在等差数列?an?中，若
1a2?a4?a6?a8?a10?80，则a7?a8的值为A．4
2
D．10
B．6 C．8
6.（江西师大附中2010届高三10月月考数学理试题）．已知在等差数列?an?中，
a1?120,d??4,
若Sn?an(n?2)，则的最小值为A．60 B．62
D．72
C．70
7.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）5.已知f(x)为偶函数，且
f(2?x)?f(2?x)，
当?2?x?0时，f(x)?2x，若n?N*,an?f(n),则a2009? A.2009
B.?2009 C.
1 2 D.
1 48.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）.计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低
1，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为 3C.300元 D.3600元
A.2400元 B.900元
9.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）.设{an}为公比q?1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的两根，则别a2006?a2007=A.3 C.18
D.21
2B.2
10.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）.已知数列{an}
满足an?1?a1?an?1(n?2),a1?a,a2?b,设Sn?a1?a2?...?an,则下列结论正确的是 A.a100?a?b,S100?50(a?b) C.a100??b,S100?50a
B.a100?a?b,S100?50a D.a100??a,S100?b?a
11.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）.数列
?2??2?an?5????4???,(n?N*)，若ap与aq分别为数列中的最大项和最小项，
?5??5?则p?q?A.3 B.4 C.5 D.6
12.（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）设f1(x)?且an?fn(0)?1，
fn(0)?22n?2n?12,fn?1(x)?f1[fn(x)]，1?x1则a2009等于A．()2010
2二、填空题
1B．(?)2009
21C．()2008
2
1D．(?)2007 213.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）.等比数列{an}的公比为
q(q?0)，
其前项和为Sn，若S3,S9,S6成等差数列，则q ＝?31 2?14.（河北省正定中学2010届高三第二次考试数学理试题）.已知定义域为的函数f(x)对任
意实数x,y满足f(x?y)?f(x?y)?2f(x)cosy，且f(0)?0,f()?1．给出下列
2
结论：①f()??41，②f(x)为奇函数，③f(x)为周期函数，④f(x)在(0,?)内单调递2减。其中，正确的结论序号是 ②③ ． 15.（江西师大附中2010届高三10月月考数学理试题）．运算符号：“
n??”，这个符号
n表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×?×n记作
?i，(n?Ni?1).记Tn??ai，
i?1其中ai为数列{an}(n?N?)中的第i项.若Tn?n2(n?N?),则an?
?1 n?1?an??n2 .
()n?2??n?116．（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
仿此，52的“分裂”中最大的数是___9________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为___15 ________.
三、解答题 17．（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）（12分）数列{an}中，an?32，
Sn?63， （1）若数列{an}为公差为11的等差数列，求a1； 2}的前m项和Sm?. （2）若数列{an}为以a1?1为首项的等比数列，求数列{am?a1?(n?1)?11?32,?n?3?解：（1）依题意，得? 解得：? n(n?1)a?10na??11?63.?11??2?1?qn?1?32,? （2）?1?qn 解得：q?2. ?63.?1?q? 从而a?q2m2(m?1)?4m?11?4m1m?，∴Sm??(4?1). 1?4318．（湖北省黄冈中学2010届高三9月月考数学试题理科）（12分）已知数列?an?的各项均
是正数，其前n项和为Sn，满足(p?1)Sn?p2?an，其中p为正常数，且p?1.
（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?13(n?N?)，数列?bnbn?2?的前n项和为Tn，求证：Tn?.
2?logpan4解：（1）由题设知(p?1)a1?p2?a1，解得a1?p。
2??(p?1)Sn?p?an, 由? 两式作差得(p?1)(Sn?1?Sn)?an?an?1. 2??(p?1)Sn?1?p?an?1, 所以(p?1)an?1?an?an?1，即an?1?1an， p1的等比数列。 p 可见，数列?an?是首项为p，公比为11 an?p()n?1?()n?2.
pp （2）bn?111??
2?logpp2?n2?(2?n)n1111?(?)
n(n?2)2nn?2 bnbb?2? Tn?b1b3?b2b4?b3b5??bnbn?2
11111111111 ?[(?)?(?)?(?)?(?)???(?)]
213243546nn?211113 ?(1???)?。
22n?1n?2419.（江西师大附中2010届高三10月月考数学理试题）．已知数列{an}满足：
?1?a?n,n为奇数，且bn?a2n?2,n?N* a1?1,an?1??2n??an?2n,n为偶数（1）求a2,a3,a4；
（2）求证数列{bn}为等比数列并求其通项公式； （3）求和S2n+1=a1?a2???a2n?a2n?1.解：（1）a2?,a3??,a4?
32527 4（2）a2n?2?a2n?1?2n?1,a2n?1?a2n?4n
∴bn?1?a2n?2?2?(a2n?2)?bn,b1?a2?2??
12121212
11为公比的等比数列，∴bn??()n 2211（3）a2n?2?bn?2?n,a2n?1?2?n?4n
22∴S2n?1?a1?a3?????a2n?1?a2?a4?????a2n
111111?1?2n?(?2?????n)?4(1?2?????n)?2n?(?2?????n)
2222221??2n2?2n?1?n?1
2∴{bn}是以?为首项，
20.（湖南师大附中2010届高三月考试题一）为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在
25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，到2004年底库区的绿化率只有30%。计划从2005年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1，2004
123，经过一年绿化面积为a2，?，经过n年绿化面积为an?1. 104 （1）试写出an?1与an的关系式，并证明数列{an?1?}是等比数列；
5年绿化面积为a1? （2）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？
解：（1）设2004年坡度在25°以上的坡荒地面积为b1，经过n年绿化造林后坡荒地
面积为bn?1,则an?bn?1.
故an?1?96%an?16%bn?96%an?16%(1?an) 44?80%an?16%?an?.????4分52544444an?,得an?1??(an?). ?? 5255554414所以数列{an?1?}是以a1???为首项,为公比的等比数列.
5525414n （2）由（I）可知an?1???(). ????8分
52541442若??()n?60%,则()n?. ????9分 52555由an?1?4241610243642因为?,()2???,()??,555252555125542562502451024625?22 ()4???,()?5??,5562562555555442又y?()x是减函数,所以当n?5时,()n?.?????12分555故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。
21.（广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科）等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的
?x