2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（上）10月段考数学试
卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015秋?东莞校级期中）在数列{an}中，a1=1，a2=，若{{an}的第10项为（ ） A．
B．
C．
D．
}等差数列，则数列
2．（5分）（2004?黄冈校级模拟）等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（ ）
A．66 B．99 C．144 D．297 3．Sk+2﹣Sk=24，（5分）（2013?铁岭模拟）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，则k=（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（5分）（2015秋?辽宁校级月考）已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2009=（ ） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 5． （5分）（2015春?蚌埠期末）在△ABC中，已知a2﹣b2﹣c2=bc，则角B+C等于（ ）A．
B．
C．
D．
或
6．（5分）（2014春?宜城市校级期中）在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=200，则4a5﹣2a3的值为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
7．（5分）（2015?宿州三模）若函数|α﹣β|的最小值是A．C．
，则f（x）的单调递增区间是（ ）
B． D．
，且f（α）=﹣2，f（β）=0，
8．（5分）（2015春?石家庄校级期末）已知数列{an}满足a2=102，an+1﹣an=4n，（n∈N*），则数列
的最小值是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28 9．B，C的对边分别是a，b，c，（5分）（2014?濮阳二模）在△ABC中，内角A，若a2﹣b2=sinC=2sinB，则A=（ ） A．30° B．60° C．120° D．150°
10．Sn是其前n项和，（5分）（2015?天水校级模拟）已知{an}是首项为32的等比数列，且则数列{|log2an|}前10项和为（ ） A．58 B．56 C．50 D．45
bc，
，
11．（5分）（2015?西宁校级模拟）正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得am?an=16a12，则A．2
B．16
的最小值为（ ） C．
D．
12．（5分）（2015?文登市二模）设x，y满足约束条件，若目标函数
的最大值为2，则
（ ） A．
B．
的图象向右平移后的表达式为
C．y=sin2x D．
二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷上） 13． （5分）（2015秋?辽宁校级月考）若2sinθ=cosθ，则cos2θ+sin2θ的值等于 ． 14．（5分）（2015秋?辽宁校级月考）在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ．
15．（5分）（2011?福建模拟）在△ABC中，若a=7，b=8，
，则最大角的余弦值是
?? ． 16．（5分）（2015?新课标II）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn= ．
三、解答题：（本大题6小题，共70分，把答案填在答卷上） 17．（10分）（2010?新课标）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 18．（12分）（2015?开封模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．
19．（12分）（2011秋?嘉峪关校级期中）数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2﹣2an+1+an=0，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项；
（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn． 20．（12分）（2015?临沂模拟）已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），?=sin2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角． （I）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且△ABC的面积为，求c边的长． 21．（12分）（2014?荆门模拟）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*） （1）求证：数列{
}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：
．
22．（12分）（2015秋?辽宁校级月考）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，f（x）＜0的解集为（0，），数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=整数m．
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜
对所有n∈N+都成立的最小正
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（上）10月段考
数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015秋?东莞校级期中）在数列{an}中，a1=1，a2=，若{{an}的第10项为（ ） A．
B．
C．
D．
}等差数列，则数列
【考点】等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知结合等差数列的定义可得等差数列的公差，代入通项公式后化简可得an，则答案可求．
【解答】解：∵a1=1，a2=，且{则等差数列{∴∴
．
}等差数列，
，
．
}的首项为1，公差为
，则
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
2．（5分）（2004?黄冈校级模拟）等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（ ）
A．66 B．99 C．144 D．297 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】计算题．
【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．
【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①， 由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，
②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，
则前9项的和S9=9×19+故选B．
×（﹣2）=99．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题． 3．Sk+2﹣Sk=24，（5分）（2013?铁岭模拟）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，则k=（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】计算题．
Sk， 【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．
【解答】解：根据题意： Sk+2=（k+2）2，Sk=k2 ∴Sk+2﹣Sk=24转化为： （k+2）2﹣k2=24 ∴k=5 故选D
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题． 4．（5分）（2015秋?辽宁校级月考）已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2009=（ ） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【考点】数列的概念及简单表示法． 【专题】计算题．
【分析】由已知条件变形可得数列{an}的周期为6，可得a2009=a5，在由已知条件求得a5即可 【解答】解：由条件an+2=an+1﹣an可得：an+6=an+5﹣an+4 =（an+4﹣an+3）﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1） =﹣[（an+1﹣an）﹣an+1]=an， 于是可知数列{an}的周期为6， ∴a2009=a5，又a1=3，a2=6， ∴a3=a2﹣a1=3，a4=a3﹣a2=﹣3， 故a2009=a5=a4﹣a3=﹣6． 故选B
【点评】本题考查数列的周期性，得出周期为6是解决问题的关键，属基础题． 5． （5分）（2015春?蚌埠期末）在△ABC中，已知a2﹣b2﹣c2=bc，则角B+C等于（ ）
A． B． C．
D．或
【考点】余弦定理． 【专题】解三角形．
【分析】由条件利用余弦定理球得cosA的值，可得A的值，从而求得 B+C=π﹣A的值． 【解答】解：在△ABC中，由a2﹣b2﹣c2=
bc，利用余弦定理可得cosA=
=﹣
，
∴A=，∴B+C=π﹣A=，
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦定理、诱导公式，属于基础题． 6．（5分）（2014春?宜城市校级期中）在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=200，则4a5﹣2a3的值为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20 【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质可得a7的值，而要求的式子可转化为2a7，可得答案． 【解答】解：∵在等差数列{an}中，a3+a5+a7+a9+a11=200， ∴5a7=200，解得a7=40， 设等差数列的公差为d，
则4a5﹣2a3=4（a7﹣2d）﹣2（a7﹣4d）=2a7=80 故选：A
【点评】本题考查等差数列的性质，得出a7的值，并把要求的式子转化为a7是解决问题的关键，属中档题．
7．（5分）（2015?宿州三模）若函数|α﹣β|的最小值是A．C．
，且f（α）=﹣2，f（β）=0，
，则f（x）的单调递增区间是（ ）
B． D．
【考点】正弦函数的单调性． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：由题意可得 =?令2kπ﹣
≤x+
≤2kπ+
=
，∴ω=1，f（x）=2sin（x+
≤x≤2kπ+
，
）．
，k∈z，求得2kπ﹣，2kπ+
]，k∈z，
故函数的增区间为2[kπ﹣
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于基础题． 8．（5分）（2015春?石家庄校级期末）已知数列{an}满足a2=102，an+1﹣an=4n，（n∈N*），则数列A．25
的最小值是（ ） B．26
C．27
D．28
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用累加法可求得an，表示出
后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时
验证n=1的情形．
【解答】解：由an+1﹣an=4n得，
a3﹣a2=8，a4﹣a3=12，a5﹣a4=16，…，an﹣an﹣1=4（n﹣1）， 以上各式相加得，an﹣a2=
而a2﹣a1=4，所以a1=a2﹣4=98，适合上式， 故an=102+（n﹣2）（2n+2）（n∈N*），
=
当且仅当所以数列
即n=7时取等号， 的最小值是26，
﹣2=26，
，所以an=102+（n﹣2）（2n+2）（n≥2），
故选B．
【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力． 9．B，C的对边分别是a，b，c，（5分）（2014?濮阳二模）在△ABC中，内角A，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【考点】余弦定理的应用． 【专题】综合题．
【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A． 【解答】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2=
bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角 ∴A=30° 故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
10．Sn是其前n项和，（5分）（2015?天水校级模拟）已知{an}是首项为32的等比数列，且则数列{|log2an|}前10项和为（ ） A．58 B．56 C．50 D．45 【考点】等比数列的性质．
，
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且an=
=27﹣2n，再求数列{|log2an|}前10项和．
，求出q，可得
【解答】解：∵{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且
，
∴=，
∴1+q3=∴q= ∴an=
，
=27﹣2n，
∴|log2an|=|7﹣2n|，
∴数列{|log2an|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58， 故选：A．
【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
11．（5分）（2015?西宁校级模拟）正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得am?an=16a12，则A．2
B．16
的最小值为（ ） C．
D．
【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式． 【专题】综合题；等差数列与等比数列．
【分析】正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项am，an，使得aman=16a12，知m+n=6，由此问题得以解决．
【解答】解：∵正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1， ∴a1q2=a1q+2a1，
即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2， ∵存在am，an，使得aman=16a12， ∴a12?2m+n﹣2=16a12， ∴m+n=6， ∴∴
=（m+n）（的最小值为．
）=（10++
）≥（10+2
）=
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．
12．（5分）（2015?文登市二模）设x，y满足约束条件，若目标函数
的最大值为2，则
（ ） A．
B．
的图象向右平移后的表达式为
C．y=sin2x D．
【考点】简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， ∵m＞0， ∴平移直线则由图象知，直线此时z最大为2， 由
，解得
，即B（1，1）， ，
经过点B时，直线截距最大，
则1+=2， 解得m=2， 则则
得到y=sin[2（x﹣故选：C．
=sin（2x+
），
后，
的图象向右平移）+
]=sin2x，
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷上） 13．（5分）（2015秋?辽宁校级月考）若2sinθ=cosθ，则cos2θ+sin2θ的值等于 ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得cos2θ+sin2θ的值．
【解答】解：∵2sinθ=cosθ，∴tanθ=，
∴cos2θ+sin2θ===
==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 14．（5分）（2015秋?辽宁校级月考）在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 10 ． 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．
【分析】分别用a1，a2n+1表示出奇数项之和与所有项之和，两者相比等于列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值．
【解答】解：∵等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150
设奇数项和S1=
=165，
∵数列前2n+1项和S2=
=165+150=315，
∴===，
解得：n=10． 故答案为：10
【点评】本题主要考查等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．
15．（5分）（2011?福建模拟）在△ABC中，若a=7，b=8，?? ．
，则最大角的余弦值是
【考点】余弦定理． 【专题】计算题．
【分析】先利用余弦定理求得边c的长度，进而根据大角对大边的原则推断出B为最大角，最后利用余弦定理求得cosB的值． 【解答】解：c=
∴b边最大，∴B为最大角， cosB=
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是判断出三角形中的最大角． 16．（5分）（2015?新课标II）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn= ﹣ ．
【考点】数列递推式．
【专题】创新题型；等差数列与等比数列．
=3，
=﹣，
【分析】通过an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1，并变形可得数列{列，进而可得结论．
【解答】解：∵an+1=SnSn+1， ∴an+1=Sn+1﹣Sn=SnSn+1， ∴
=
﹣
=1，
}是以首项和公差均为﹣1的等差数
即﹣=﹣1，
又a1=﹣1，即∴数列{∴
==﹣1，
}是以首项和公差均为﹣1的等差数列，
=﹣1﹣1（n﹣1）=﹣n，
∴Sn=﹣， 故答案为：﹣．
【点评】本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题：（本大题6小题，共70分，把答案填在答卷上） 17．（10分）（2010?新课标）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．
（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值． 【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5 解得d=﹣2，a1=9，
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
（2）由（1）知Sn=na1+
d=10n﹣n2．
因为Sn=﹣（n﹣5）2+25． 所以n=5时，Sn取得最大值．
【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性． 18．（12分）（2015?开封模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（I）化简已知等式可得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（II）又由正弦定理，得
?sin2A═．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，即可解得c
的值，由三角形面积公式即可得解． 【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得 2cos2A+3cos A﹣2=0，即（2cos A﹣1）（cos A+2）=0．﹣﹣﹣﹣（2分） 解得cos A=或cos A=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣（4分） 因为0＜A＜π，所以A=
．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
?sin2A═．﹣﹣﹣（8分）
（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sin A?sin A=解得：bc=
，
由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，所以c=4或c=所以可得：S=bcsinA=bc?
=
bc=5
或S=
﹣﹣﹣﹣（10分）
﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查． 19．（12分）（2011秋?嘉峪关校级期中）数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2﹣2an+1+an=0，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项；
（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）首先判断数列{an}为等差数列，由a1=8，a4=2求出公差，代入通项公式即得． （2）首先判断哪几项为非负数，哪些是负数，从而得出当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）求出结果；当n≤5时，
Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an当，再利用等差数列的前n项和公式求出答案． 【解答】解：（1）由题意，an+2﹣an+1=an+1﹣an， ∴数列{an}是以8为首项，﹣2为公差的等差数列 ∴an=10﹣2n，n∈N （2）（2）∵an=10﹣2n，令an=0，得n=5．
当n＞5时，an＜0；当n=5时，an=0；当n＜5时，an＞0．
∴当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）=T5﹣（Tn﹣T5）=2T5﹣Tn，Tn=a1+a2+…+an．
当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn．
∴
【点评】考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，求出公差，用代入法直接可求；（2）问的关键是断哪几项为非负数，哪些是负数，属于中档题．
20．（12分）（2015?临沂模拟）已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），?=sin2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角． （I）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且△ABC的面积为，求c边的长． 【考点】余弦定理；等差数列的通项公式；平面向量数量积的运算． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的定义，以及三角函数的关系式即可求角C的大小；
（Ⅱ）若根据等差数列的性质，建立方程关系结合三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）?=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC， ∵?=sin2C，
∴?=sin2C=sinC，
即2sinCcosC=sinC，解得cosC=， C=
．
（Ⅱ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列， ∴2sinC=sinA+sinB， 由正弦定理得2c=a+b， 又△ABC的面积为， 即absinC=即
ab=
，
，解得ab=36，
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab， 得c2=4c2﹣3×36， 解得c2=36，c=6．
【点评】本题主要考查余弦定理和三角形的面积的计算，利用向量的数量积进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算能力． 21．（12分）（2014?荆门模拟）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*） （1）求证：数列{
}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：
．
【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），两边同除以2n，即可证明数列{列；
}是等差数
（2）求出数列{
}的通项，即可求数列{an}的通项公式；
（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论． 【解答】（1）证明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*） ∴
∴
∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得
∴an=
（3）解：∵Sn=∴2Sn=
+
； ++…+
+…+
=（3﹣2n）?2n﹣3
两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣∴Sn=（2n﹣3）?2n+3＞（2n﹣3）?2n ∴
．
【点评】本题考查数列的通项公式及前n项和，考查不等式的证明，考查构造法的运用，确定数列的通项，正确求和是关键．
22．（12分）（2015秋?辽宁校级月考）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，f（x）＜0的解集为（0，），数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜
对所有n∈N+都成立的最小正
整数m．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】综合题；方程思想；转化法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数f（x）的表达式，结合数列的前n项和公式即可求数列{an}的通项公式；
（2）求出bn=
，利用裂项法进行求解，解不等式即可．
【解答】解：（1）设这二次函数f（x）=ax2+bx （a≠0），则 f′（x）=2ax+b，由f（x）＜0的解集为（0，），
得a=3，b=﹣2，所以 f（x）=3x2﹣2x． 又因为点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y=f（x）的图象上，所以Sn=3n2﹣2n． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=6n﹣5． 当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=6×1﹣5，所以，an=6n﹣5 （n∈N+） （2）由（Ⅰ）得知bn=故Tn=（1﹣因此，要使Tn＜
+…+，即（1﹣
=
﹣）＜
）=（1﹣
=（），
， ﹣
），
，成立的m，必须且仅须满足≤
即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．
【点评】本题主要考查数列通项公式以及数列求和的应用，利用裂项法是解决本题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；sllwyn；wodeqing；lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；maths；zhwsd；cst；涨停；w3239003（排名不分先后） 菁优网
2015年12月23日