2016届高二数学第二次月考试卷（文科）
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设a>2，A＝a＋1＋a，B＝a＋2＋a－2，则A、B的大小关系是( )
A．A>B B．A
??－2，x＞0，
2．设函数f(x)＝?2若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解
?x＋bx＋c，x≤0，?
集为( )．
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) C．[－3，－1]∪(0，＋∞)
B．[－3，－1] D．[－3，＋∞)
3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )．
x2y2
A.＋＝1 8172
x2y2
B.＋＝1
819
x2y2
C.＋＝1 8145
x2y2
D.＋＝1
8136
4.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，|AB|则的值为( ) |CD|
11
A．16 B. C．4 D.
164
222
b＋1xy
5．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则的最小值为( )
ab3a
233A. B. C．2 D．1
336．设双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝2围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，
1
y)为D内的一个动点，则目标函数z＝x－y的最小值为( )
2
3252
A．－2 B．－ C．0 D．－
227．以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于不同的四点，顺次连接四个交点和两个焦点恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率为( ) A.3－2
B.3－1
C.2
2
D.3 2
x≥0，??
8．当实数x，y满足不等式组?y≥0，
??2x＋y≤2 ( ) A．(－∞，0]
时，恒有ax＋y≤3成立，则实数a的取值范围是
B．[0，＋∞) C．[0,2] D．(－∞，3]
x2y2
9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP43的最大值为( ) A．2
C．6 D．8
2
xyy
10.已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与
ab4
2
2
B．3
以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )
131
A．a2＝ B．a2＝13 C．b2＝ D．b2＝2
22二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
2
.2
过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________． 12．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________. 13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
x2y2
14．已知以y＝±3x为渐近线的双曲线D：2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，
ab|PF1|－|PF2|
若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．
|PF1|＋|PF2|x2y2
15．已知A，B两点分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，
ab
→→若AB·BF>0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
2016届高二数学第二次月考试卷（文科）答题卡
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11、 12、 13、 14、 15、
三、解答题
16．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．
π
(1)当α＋β＝，求tanβ的值；
4
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．(12分)
17．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．（12分）
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上． (1)求抛物线C的标准方程；
(2)设直线l是抛物线的准线，AB是抛物线过焦点的弦．求证：以AB为直径的圆与准线l相切．（12分）
19．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15) 求双曲线E的方程．（12分）
20．设x>0，且x≠1，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．（13分）
31
1，?. 21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M??2?2
(1)求椭圆C的方程；
2→→
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA·PB＝PM？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．（14分）
2016届高二数学第二次月考试卷（文科）答案
ACABA BBDCC
4?5－1??1?＋＝1 12. 2 13. 14. ?0，? 15. ?，1? 21683?2?
π?2
16.(1)∵由条件知，sinβ＝sin??4－β?， 2
311整理得sinβ－cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝.
223
2
(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sinαsinβ， ∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
sinαcosαsinαcosα
∴tanβ＝ 2＝1＋sinα2sin2α＋cos2α
tanα112＝＝≤＝. 212242tanα＋1
2tanα＋
tanα
1
当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，
tanα22
∴tanα＝时，tanβ取得最大值，
24
tanα＋tanβ
此时，tan(α＋β)＝＝2.
1－tanαtanβ
17.将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
|4＋2a|3
(1)若直线l与圆C相切，则有2＝2.解得a＝－. 4a＋1
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质， 11.
，?a＋1
得?|CD|＋|DA|＝|AC|＝2，
|AB|＝2.?|DA|＝12
|CD|＝
2
22
2
2
x2y2
|4＋2a|
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 18.(1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1. ∴y2＝2x为所求抛物线的方程．
1
(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：y2－2ty－1＝0，设AB的中点为M(x0，
2
2
1＋2t
y0)，则y0＝t，x0＝. 2
2
11＋2t1
∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2.又AB＝2x0＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d
222
1
＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切． 2
x2y2
19.设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab
22
由题意知c＝3，a＋b＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有： x2y2112－2＝1，ab
x2y222
－＝1，a2b2???
两式作差得：
y1－y2b2x1＋x2－12b24b2
＝＝＝2， x1－x2a2y1＋y2－15a25a
－15－0
又AB的斜率是＝1，
－12－3
所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得 a2＝4，b2＝5.
x2y2
所以双曲线的标准方程是－＝1.
45
3x
20. f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx3x－logx4＝logx. 4
3x
(1)当logx>0，
4x>1，0 >1，0<<1，???4?4 4 也就是x>，或0 33x3x4 (2)当logx＝0，即＝1，也就是x＝时，f(x)＝g(x)． 4433x (3)当logx<0， 4x>1，0 0<<1，>1，???4?4 4 也就是1 34 综上，知当x>，或0 3 4 当x＝时，f(x)＝g(x)； 34 当1 3 x2y2 21.(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)， ab ??由题意得?c1 ＝，a2??a＝b＋c， 2 2 2 19 ＝1，2＋a4b2x2y2 故椭圆C的方程为＋＝1. 43 (2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的 22 方程得，(3＋4k21)x－8k1(2k1－1)x＋16k1－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B， 解得a2＝4，b2＝3. 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 2 所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k21)(16k1－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0， 1 所以k1＞－. 2 16k28k1(2k1?1)1－16k1－8 又x1＋x2＝，xx＝， 21223＋4k13?4k1→→→2因为PA·PB＝PM， 5即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝， 452 所以(x1－2)·(x2－2)(1＋k21)＝|PM|＝. 4 5 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝. 1 4 24＋4k28k1(2k1?1)161?16k1?81152 所以[(1＋k)＝＝，解得k＝±. ?4]?2?21122423＋4k13?4k13?4k111因为k1＞－，所以k1＝. 22 1 于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x. 2