线性代数补充习题
第一章 行列式
一、填空题
ab01．若?ba0?0，则a,b满足的条件是________ ．
?10?12．排列36715284的逆序数为________ ．
03ad3．行列式
0100004．行列式?0n00eb00?1f?________ ． 2c?01?20????________ ．
0000n?1?0?12a5．设行列式203中，余子式M21?3，则a?________ ．
369二、选择题
1．下列行列式中值为0的是（ ）．
（A）行列式中有两行对应元素之和为0 （B）行列式中对角线上元素全为0
（C）行列式中有两行含有相同的公因子 （D）行列式中有一行与另一列对应元素成比例
2xx?12．在函数f(x)??1?x1中，x3的系数是（ ）．
32?x（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
a11a12a22a32a13a23a333．设a21a311a1121?1，则a2121a3122a11?3a122a21?3a222a31?3a32a11?a13a21?a23?（ ）． a31?a33（A）-2 （B）-1 （C）?3 （D）2 21
a11a12a22a13a23?0，Aij是D元素aij的代数余子式（i,j?1,2,3），若4．设D?a21a31a32a33a13A1j?a23A2j?a33A3j?0，则（ ）
． （A）j?1 （B）j?2 （C）j?3 （D）j?1或j?3
??x1?ax3?05．若方程组??2x1?x4?0ax仅有零解，则a?（ ）．
?1?x2?x3?0??x3?2x4?0（A）?11112 （B）2 （C）?4 （D）4
三、判断题
1．交换行列式的两行（列），行列式的值不变．（ ）
2．n阶行列式中，若有n2?n个以上元素为0，则行列式的值为0．（ ）a1?b1b1?c1c1?d1a1b1c1b1c1d13．a2?b2b2?c2c2?d2?a2b2c2?b2c2d2．（ ） a3?b3b3?c3c3?d3a3b3c3b3c3d34．元素aij的代数余子式Aij与aij所在有行、列有关，而与aij的值无关．（ a1005．
b010010100100100c001?a001?b111?c010?d001．
（ ） d111111001111010第二章 矩阵
一、填空题
?101?1．设A???010??101?,B??010?，且A?B，则????x?________ ． ?x01????101???103?2．设A???021???100?,B?022? ，则?A?B??A?B?? ． ?????001????000??3．设A???10??a1??，则An? ． 2
）
4．设f?x??x2?x?1,A???13??21??，则f?A?? ． 5．设A???12?A?34??，则的伴随矩阵A*? ． 6．设A???ab?(ad?cb?0)，则A?1= ． ?cd????a1?7．若A??a?2????（ai?0,i?1,2,?,n），则A?1? ． ??a?n?8．设A?2，且A为三阶方阵，则3A? ．
9．已知A???121???101??，B??12??11?，则AB? ． ?11????10．??25??23??X???4?6??21??，则X? ． 二、选择题
1．??x?yy?z??a?bb?c??（ ）． ?（A）??xy?z??ab?c?????yy?z? （B）?x?y??bb?c????a?b?????y?z? ?b?c??（C）??xy??yz? （D?x?yy??x?yz??ab?????bc?）???a?bb?????a?bc? ?2．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵．
?001??100??100??10（A）?1?010? （B）?001? （C）??010?? （D）??0??100??????010????22?001????003．设A,B,C均为n阶方阵，且|A|?0，则必有（ ）． （A）AB?CA?B?C （B）AB?AC?B?C （C）BC?O?C?O （D）AB?C?B?E
4．已知矩阵 Am?n,Bn?m(m?n)，则下列运算结果不为n阶方阵的是（ （A）BA （B）AB （C）(BA)T （D）ATBT
3
01??2?1??）． 5．若A是（ ），则必有AT?A．
（A）可逆矩阵 （B）三角矩阵 （C）初等矩阵 （D）对称矩阵
?263??，且矩阵A的秩R?A??2，则3056．设A??． a?（ ）????3a4??（A） 9 （B）18 （C） 0 （D）任何数 7．矩阵A经初等行变换化为行阶梯形矩阵后（ ）．
（A） 秩变大 （B）秩变小 （C）秩不变 （D）化为单位方阵 8．设A是2阶可逆矩阵，?为实数，如果?A?4A，则（ ）． （A）???2 （B）???1 （C）???2 （D）??4 9．设A是n阶方阵，k为非零实数，则?kA?（ ）． （A）??1?knA （A）knA （C）?kA （D）kA
n10．设A,B均为n阶矩阵，则必有（ ）．
?1（A）A?B?A?B （B）AB?BA （C）AB?BA （D）?A?B??A?1?B?1
三、判断题
1．设A,B都是m?n矩阵，则A?B?B?A．（ ） 2．两个n阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵．（ ）
3．如果A与B可交换，且A可逆，则A?1与B可交换．（ ） 4．n阶方阵A可逆的充分必要条件是A?0．（ ）
5．设A,B,C都是n阶方阵，且A?0，若AB?AC，则B?C．（ ） 6．设A,B都是n阶方阵，若AB?0，则B?0．（ ） 7．若A与B为n阶方阵，则AB?BA．（ ）
8．设A与B为n阶方阵，且A为对称矩阵，则BTAB也是对称矩阵．（ ） 9．设A与B为n阶方阵，则AB?AB．（ ）
10．若A和B皆为n阶方阵，则必有A?B?A?B．（ ）
4
第三章 向量组的线性相关性
一、填空题
TTT1．设?1??2,?1,1?,?2??1,?3,2?，若?3??1,?,5?可由?1,?2线性表示，则?? ．
2．设?1?2?1??2,?2??1??2,?3???1?3?2，则?1,?2,?3的线性相关性为线性 ． 3．设?1,?2,?3,?4是n维向量组，?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1，则
?1,?2,?3,?4的线性相关性为线性 ．
4．设?1??1,0,0,2?,?2??0,0,1,4?,?3??0,1,0,3?，则该向量组的秩为R??1,?2,?3?? ．
TTT5．若向量组?1??1,t?1,0?,?2??1,2,0?,?3??0,0,t2?1?的秩为2，则t? ．
TTTTTT6．若向量组?1??6,k?1,7?,?2??k,2,2?,?3??k,1,0?的秩为3，则k? ．
二、选择题
1．向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是（ ）． (A) ?1,?2,?,?n均不为零向量
(B) ?1,?2,?,?n中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) ?1,?2,?,?n中有一个部分向量线性无关
(D) ?1,?2,?,?n中任意一个向量都不能由其余n?1个向量线性表示 2．设向量组?1,?2,?3线性无关，则与?1,?2,?3等价的向量组为（ ）． (A) ?1??2,?2??3 (B) ?1??2,?1??2,3?1,4?2 (C) ?1??2,?1??2,?1??3,?1??3 (D) ?1??2,?2??3 3．设向量组?,?,?线性无关，?,?,?线性相关，则（ ）． (A) ?必可由?,?,?线性表示 (B) ?必不可由?,?,?线性表示 (C) ?必可由?,?,?线性表示 (D) ?必不可由?,?,?线性表示
4．设A为m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分条件是（ ）． (A) A的列向量组线性无关 (B) A的列向量组线性相关 (C) A的行向量组线性无关 (D) A的行向量组线性相关
三、判断题
5
1．设向量组?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s都线性相关，且可以互相线性表示，则必有r?s．（ ） 2．n维向量组?1,?2,?,?s(s?1)线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量线性表示．（ ）
3．设n维向量组?1,?2,?,?r中每一个向量均可由?1,?2,?,?s线性表示，且r?s，则?1,?2,?,?r必线性相关．（ ）
4．设?1,?2,?,?n为n个m维向量，且n?m，则该向量组必定线性相关．（ ） 5．设?1,?2,?3是线性无关向量组，则向量组2?1,3?2,5?1?10?2??3也线性无关．（ ） 6．设向量组?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s等价，则?1,?2,?,?r的任一极大无关组与?1,?2,?,?s的任一极大无关组可互相线性表示．（ ）
第四章 线性方程组
一、填空题
?kx1?x2?x3?1?1．若方程组?x1?kx2?x3?k无解，则k? ．
?x?x?kx?k223?1?2x1??x2?x3?1?2．设方程组??x1?x2?x3?2有唯一解，则?? ．
?4x?5x?5x??123?1??x1?x2?x3?0?3．齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解，则?? ．
?x?x?x?023?1二、选择题
1．设n元齐次线性方程组Ax?0的系数矩阵A的秩为r，则Ax?0有非零解的充分必要条件是（ ）．
(A) r?n (B) r?n (C) r?n (D) r?n
2．设n元齐次线性方程组Ax?0，若R(A)?r?n，则该方程组的基础解系（ ）． （A）唯一存在 （B）共有n?r个 （C）含有n?r个解向量 （D）含有无穷多个解向量
3．已知?1,?2,?3是线性方程组Ax?0的一个基础解系，则必有（ ）． （A）?1,?2,?3线性相关 （B）?1,?2,?3线性无关
6
（C）?1??2,?2??3,?3??1线性相关 （D）?1??2,?2??3,?3??1不是Ax?0基础解系
?x1?3x2?2x3?04．方程组?的一组基础解系是由（ ）个解向量组成的．
??2x1?6x2?4x3?0（A）2 （B）1 （C）3 （D）0 5．设?1,?2,?,?s是n元齐次线性方程组Ax?0的基础解系，则（ ）． （A）?1,?2,?,?s线性相关 （B）Ax?0的任意s?1个解向量线性相关 （C）s?R(A)?n （D）Ax?0的任意s?1个解向量线性相关 6．若?1,?2,?3是齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系，则（ ）．
（A）?1??2,?2??3,?3??1也是Ax?0的一个基础解系 （B）基础解系具有唯一性 （C）?1??2,?2??3,?3??1不一定是Ax?0的基础解系 （D）以上说法都不对
三、判断题
1．设?1,?2为齐次线性方程组Ax?0的解，?1为非齐次线性方程组Ax?b的解，则?1?k1?1?k2?2为
Ax?b的通解（k1,k2为任意实数）．（ ）
2．设?1,?2为齐次线性方程组Ax?0的解，?1,?2为非齐次线性方程组Ax?b的解，则
??1??2????1??2?为Ax?b的解．（ ）
??k?3?x1?x2?2x3?0?kx1??k?1?x2?x3?03．若方程组?有非零解，则k应满足的条件是k?0或k?1．（ ） ?3?k?1?x?kx??k?3?x?0123??x1?kx2?x3?03?4．若方程组?2x1?x2?x3?0只有零解，则k应满足的条件是k?．（ ）
5? ? kx2?3x3?0第五章 矩阵的特征值
一、填空题
1．设?1??2,3,0?T,?2??1,0,4?T，则内积??1,?2?? ．
?11?2．设??k?,,1,0?为单位向量，则k? ．
?32?3．设?1,?2是矩阵A的属于不同特征根?1,?2的特征向量，则?1,?2是线性 ．
7
T?1?1?4．设A???的特征值为0，2，则3A的特征值为 ． ?11???100??，则A的特征值为 ． 2205．设A??????345??6．若?0为A的一个特征值，则矩阵多项式f?A?有一个特征值为 ．
7．已知三阶矩阵A的三个特征值为1, -1，2，则A2?2A?3E的特征值为 ． 8．设??0为方阵A的一个特征值，则A?1有一个特征值为 ．
9．设A为n阶方阵，方程组Ax?0有非零解，则A必有一个特征值为 ． 10．n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有 个线性无关的特征向量．
二、选择题
1．下列结论中不正确的是（ ）．
（A）若n维向量?与?正交，则对任意实数k,l，k?与l?也正交； （B）若n维向量?与?1,?2都正交，则?与?1,?2的任意线性组合也正交； （C）若n维向量?与?正交，则?,?中至少有一个是零向量； （D）若n维向量?与任意n维向量都正交，则?是零向量． 2．设A是正交矩阵，则下列矩阵中（ ）不是正交矩阵．
（A）A?1 （B）AT （C）Am（m是正整数） （D）kA（k?1） 3．下列说法正确的是（ ）．
（A）因为特征向量都是非零向量，所以它对应的特征值非零； （B）属于一个特征值的特征向量只能有一个； （C）一个特征向量只能属于一个特征值； （D）n阶矩阵有n个不同的特征值．
4．设n阶可逆矩阵A有一特征值为?，则A*的特征值之一是（ ）． （A）??1A （B）??1A （C）?A （D）?A
5．设n阶可逆矩阵A有一特征值为?，则E?A?1的特征值之一是（ ）． （A）1???1 （B）1???1 （C）1?? （D）1?? 6．设A是3阶矩阵，且R(A)?2，则（ ）．
8
nn（A）0未必是A的特征值 （B）0是A的一重特征值
（C）0是A的二重特征值 （D）0是A的特征值，且重数至少是1 7．n阶方阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ）．
（A）充分而非必要条件 （B）充要条件 （C）必要而非充分条件 （D）无关的条件 8．设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，则（ ）．
（A）?E?A??E?B （B）A与B有相同的特征值和特征向量 （C）A与B都相似于一个对角矩阵 （D）对任意常数t，tE?A与tE?B相似
9．设?1,?2,?,?n是n阶对称矩阵A的特征值，??diag??1,?2,?,?n?，则（ ）不成立． （A）A与?等价 （B）A与?相似 （C）A?? （D）A??
?00?10．下列矩阵中与对角矩阵???相似的是（ ）． ??03??10??24??31??2?1?（A）? （B） （C） （D） ????????31??02??00??10?三、判断题
1．线性无关向量组一定可以化为等价的正交向量组．（ ） 2．正交向量组必线性无关．（ ）
3．线性无关的n维向量组?1,?2,?,?n必是n维向量空间的一组基．（ ） 4．若n阶方阵A与B相似，则A与B必有相同的特征值和特征向量．（ ）
5．设?1,?2分别是实对称方阵A对应于两个不同特征值?1,?2的特征向量，则内积
??1,?2??0．（ ）
6．n阶矩阵A可逆的充要条件是A的任一特征值不等于0．（ ）
7．设A,B,C均为n阶矩阵，且B?CTAC，则A与B必有相同的特征值．（ ） 8．n阶矩阵A可与对角阵相似的充分必要条件是A有n个相异的特征值．（ ） 9．n阶矩阵A可与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．（ ） 10．n阶对称矩阵A一定可与对角阵相似．（ ）
参考答案
9
第一章 行列式
一、填空题
n(n?1)1、a?b?0 2、13 3、?3abc 4、(?1)2n! 5、52
二、选择题
1、A 2、B 3、C 4、C 5、D
三、判断题
1、× 2、√ 3、× 4、√ 5、√
第二章 矩阵
一、填空题
?009?1、1 2、??00?1? 3、?10? 4、??53? 5、?4?2? 6、1?d????001???na1???25?????31??ad?bc???c?a?1?1?7a?1?、?2?? 8、54 9、2 10、?1?2?23????4???414?
???a?1?n??二、选择题
1、C 2、D 3、B 4、B 5、D 6、B 7、C 8、A 9、A 10、C
三、判断题
1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、√ 6、× 7、× 8、√ 9、√ 10、×
第三章 向量组的线性相关性
一、填空题
1、-8 2、相关 3、相关 4、3 5、1 6、?32和4 二、选择题
1、D 2、C 3、C 4、A
三、判断题
1、× 2、√ 3、√ 4、√ 5、√ 6、√
10
?b?a?? 第四章 线性方程组
一、填空题
1、?2 2、?45和1 3、1 二、选择题
1、B 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A
三、判断题
1、√ 2、× 3、√ 4、×
第五章 矩阵对角化
一、填空题
1、2 2、?67 3、无关 4、0，6 5、1，2，5 6、f(?0) 7、2，6，1110、n
二、选择题
1、C 2、D 3、C 4、B 5、A 6、D 7、A 8、D 9、D 10、C
三、判断题
1、√ 2、√ 3、√ 4、× 5、√ 6、√ 7、× 8、× 9、√ 10、√
11
、??1 、0 8 9
第四章 线性方程组
一、填空题
1、?2 2、?45和1 3、1 二、选择题
1、B 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A
三、判断题
1、√ 2、× 3、√ 4、×
第五章 矩阵对角化
一、填空题
1、2 2、?67 3、无关 4、0，6 5、1，2，5 6、f(?0) 7、2，6，1110、n
二、选择题
1、C 2、D 3、C 4、B 5、A 6、D 7、A 8、D 9、D 10、C
三、判断题
1、√ 2、√ 3、√ 4、× 5、√ 6、√ 7、× 8、× 9、√ 10、√
11
、??1 、0 8 9