安庆一中2015届高三年级模拟考试最后一卷
数学(理科)试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 已知i为虚数单位，复数z满足1?i?(1?i)2z?(1?i)2，则复数z的虚部为（ ）.
1313 B.i C. D.? 22222. 若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是
A.
（ ）.
A.k?6? B.k?7? C.k?8? D.k?9?
?3. 若
?20(sinx?acosx)dx?2，则实数a等于（ ）
B．1 C．?2
D．2
A．?1
x?1,则f(x??)?f(x)对x?R恒成立； 2?x?x②要得到函数y?sin(?)的图象，只需将y?sin的图象向右平移个单位；
424224. 下列命题：①若f(x)?2cos③若锐角?,?满足cos??sin?，则????A．0
B．1
?2．其中真命题的个数是（ ）
D．3
C．2
5. 设a?R，则“a??1”是“直线ax?y?1?0与直线x?ay?5?0平行”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 则曲线C1：?-2?cos?-1?0 上的点到曲线C2 ：?的最短距离为( ) A．22 B．
2?x?3?t（t为参数）上的点
y?1?t?322 C．2 D． 22，则△PBC与△ABC面积之比是（ ）
C． D． 7．在△ABC所在平面上有一点P，满足 A． B． 8. 数列{an}满足a1?1，*11t2S?S?，记数列前n项的和为S，若?4?an?n?2n?1n230anan?1对任意的n?N 恒成立，则正整数t的最小值为 （ ） A．7
B．8
C．9 D．10
9. 实数x,y满足x2?2xy?y2?x2y2?1，则x?y的最大值为（ ） A． 4
B． 2
C．2 D．
10. 若x、y?{xx?a0?a1?10?a2?100}，其中ai?{1,2,3,4,5,6,7}(i?0,1,2)，且
x?y?636，则实数对(x,y)表示坐标平面上不同点的个数为（ ）
A．50个
B．70个
C． 90个 D． 180个
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。 11. 二项式
(x3?1n)2x的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为
212. 在区间[0，4]内随机取两个数a,b，则使得函数f(x)?x?ax?b有零点的概率
为 ．
13. 已知正三棱锥P﹣ABC的主视图和俯视图如图所示， 则此三棱锥的外接球的表面积为 ．
23 4
23 23 x2y214. 双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为俯视图 主视图 ab22a?e的最小值为 . y??3x,离心率为e,则
b15. 在实数集R中，我们定义的大小关系“?”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序
的定义，我们定义“点序”记为“
”：已知M(x1,y1)和N(x2,y2)，MN，当且仅当
“x1?x2”或“x1?x2且y1?y2”.定义两点的“?”与“?”运算如下：
M?N?(xM?N?x1x2?y1y2. 1?x2,y1?y2)
则下面四个命题：
①已知P(2015,2014)和Q(2014,2015)，则P②已知P(2015,2014)和Q(x,y)，若P③已知P④已知P⑤已知PQ；
Q，则x?2015，且y?2014；
Q，QM，则PM；
Q?M；
Q，则对任意的点M，都有P?MQ，则对任意的点M，都有P?M?Q?M.
[来
其中真命题的序号为 （把真命题的序号全部写出） 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出字说明、证明过程或演算步骤。 安庆一中最后一卷 16.（本小题满分12分）
文
?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知点(a,b)在直线
x(sinA?sinB)?ysinB?csinC上。
（1）求角C的大小；
（2）若?ABC为锐角三角形且满足
17.（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足:Sn?1?(an?2)Sn,n?N
2?m11??，求实数m的最小值。 tanCtanAtanB（1）求S1,S2,S3，猜想Sn,并用数学归纳法证明；
（2）设bn=(2n+1)an2，求证：对任意正整数n，有b1+b2+L+bn<1．
18.（本小题满分12分）
在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某4名考生选做每一道题的概率均为
1 . 2（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为?，求?的概率分布列及数学期望.
19.（本小题满分13分）
0如图，在?ABC中，?C?90，AC?BC?a，点P在边AB上，设AP??PB(??0)，
过点P作PE//BC交AC于E，作PF//AC交BC于F。沿PE将?APE翻折成?A?PE,使平面A?PE?平面ABC；沿PF将?BPF翻折成?B?PF,使平面B?PF?平面ABC．
（1）求证：B?C//平面A?PE；
（2）是否存在正实数?，使得二面角C?A?B??P的大小为90？若存在，求出?的值；
0若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分13分）
x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:??1,设R(x0,y0)是椭圆C上的任一
2412点，从原点O向圆R：?x?x0???y?y0??8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q. （1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2?1?0； （3）试问OP?OQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
21.（本小题满分13分） 已知函数f(x)?lnx
（1）方程f(x?a)?x有且只有一个实数解，求a的值； （2）若函数g(x)?f(x)?22222125x?mx(m?)的极值点x1,x2(x1?x2)恰好是函数 22h(x)?f(x)?cx?bx的零点，求y?(x1?x2)h?(x1?x2)的最小值． 2 理科数学参考答案
一、选择题
1?1?3i?i?3i231????i，其虚部为. 1. A 解析：由条件可知z?22i?222 2. C 解析：执行程序框图依次得S?log23,k?3;
此时应不S?2,k?4;S?log25,k?5;S?log26,k?6;S?log27,k?7;S?3,k?8，符合条件，输出此时的S的值，故选C. 3. A 解析：4. B
解析；①②是假命题，③是真命题.
25. A 解：若直线ax?y?1?0与直线x?ay?5?0平行，则有a?1?0，解得a??1，
??20?0?20(sinx?acosx)dx??sinxdx?a?2cosxdx?1?a，1?a?2?a??1.
故选A.
226. D 解：曲线C1、C2的直角坐标方程分别是(x?1)?y?2、x?y?4?0.圆心到直
线的距离是7、A 解答： 解：∵1?42?32322?2?.故选D. .结合图形发现最短距离为222， ∴P是三角形的重心， ∴P到顶点的距离是到对边距离的2倍， ∵△PBC与△ABC底边相同， ∴△PBC与△ABC面积之比是 故选A 8. D 解：由条件得：1?1?4?a2?n22an?1an1
4n?322设f(n)?S2n?1?Sn?an?1?an?2??a2n?12?11??4n?14n?5?1 8n?1由于f(n?1)?f(n)?111???0
8n?58n?94n?1
f(n)关于n成递减的. 其最大值在n=1时取到，即为S?S?14，若S2n?1?Sn?3145t对任30*意的n?N 恒成立，只要t?14?t?91，故正整数t的最小值为10.
304539. C 解：由x+2xy+y+xy=1，变形为（x+y）+（xy）=1． 可设x+y=cosθ，xy=sinθ，θ∈[0，2π）． 22222∴（x﹣y）=（x+y）﹣4xy=cosθ﹣4sinθ=1﹣sinθ﹣4sinθ=﹣（sinθ+2）+5≤4， ∴x﹣y≤2， 故选：C． 10.C： 解：记A=∈{x|x=a0+a1?10+a2?100}， 实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A中的解的个数， 按10进制位考察即可． 首先看个位，a0+a0=6，有5种可能． 再往前看： a1+a1=3且a2+a2=6，有2×5=10种可能， a1+a1=13且a2+a2=5，有2×4=8种可能 所以一共有（10+8）×5=90个解， 对应于平面上90个不同的点． 故选C． 二、填空题
11、210 根据展开式中，只有第6项的系数最大，可求n=10，写出其通项公式，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项. 12. 解：∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取， ∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系， 可得对应的点（a，b）在如图的正方形OABC及其内部任意取， 其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点 22若函数f（x）=x+ax+b有零点，则 22△=a﹣4b≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a﹣2b=0的下方， 且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S1=∵正方形OABC的面积为S=4×4=16 ∴函数f（x）=x+ax+b有零点的概率为P=故答案为： 22222222=4 == [来源:Zxxk.Com][来源学科网]
解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2图： [来源:学科网ZXXK]13. 解： ，如 其中SA=4，AH=×2×=2，SH==2， 设其外接球的球心为0，半径为R，则：OS=OA=R， ∴R+=2?R=， =． ∴外接球的表面积S=4π×故答案为：14.43
3解：由题意bc2a2?b2a2?1??b? 22???3,a2?e2a?a2a?a2?a?????abbbb，
因
为
所
以
2
4?a24a2???bbb4a43???a???abbb32a?0,b?0,??343??a?24??????b33?3?15. 答案: ①③④ 三、解答题 16. 解：
[来源:学&科&网]，当且仅当
443即a?2,b?23时，等号成立. 3?ab3（1）由条件可知a(sinA?sinB)?bsinB?csinC，根据正弦定理得a?b?c?ab，
222?a2?b2?c21?，故角C的大小为???6分 又由余弦定理知cosC?32ab2（2）由条件可知m?tanC?1?sinC?cosAcosB??1??????tanAtanBcosCsinAsinB????[来源:Zxxk.Com]
sinCcosAsinB?cosBsinA2sin2C2c22(a2?b2?ab)????? cosCsinAsinBsinAsinBabab?ab??2???1??2?(2?1)?2， ?ba?当且仅当a?b即?ABC为正三角形时，实数m的最小值为2。???12分
17. 答案：
n123， ,S2=-,S3=-猜想Sn=-234n+11111（2）an=-，bn=2-，b+b+L+b=1-<1 12nn(n+1)2n(n+1)(n+1)2（1）S1=-
1 2?1?（2）随机变量?的可能取值为0,1,2,3,4，且?~B?4,?.
?2?1k1kk14P(??k)?C4()(1?)4?k?C4()(k?0,1,2,3,4)222∴
∴变量?的分布列为： 18.解：（1）
? 0 1 2 3 4 13P 4 8 11311E????0??1??2??3??4??2
164841619.
116 14 116
解：（1）法一：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，（创作：学科网“天骄工作室”）
则C(0,0,0),A(0,a,0),B(a,0,0)设P(x,y,0)，由
AP??PB?(x,y?a,0)??(a?x,?y,0)?x??aa?aa,y?,?P(,,0) ??1??1??1??1
20.解：
（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径r?22， 因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切， 所以OR?2r?4，即x02?y02?16，①
?x02y02?x0??22,??1，② 联立①②，解得?又点R在椭圆C上，所以 2412??y0??22.所以所求圆R的方程为x?22???2?y?22?2?8．
（2）因为直线OP：y?k1x，OQ：y?k2x，与圆R相切， 所以|k1x0?y0|1?k1222?8)k12?2x0y0k1?y0?8?0 ?22,化简得(x0222同理(x0?8)k2?2x0y0k2?y0?8?0，
22所以k1,k2是方程(x0?8)k2?2x0y0k?y0?8?0的两个不相等的实数根，
2y0?8有韦达定理得，k1?k2?2
x0?822x0y0122?12?x0??1，即y0因为点R(x0,y0)在椭圆C上，所以，
2241212x012??，即2k1k2?1?0． 所以k1k2?2x0?824?（3）方法一：（i）当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为2k1k2?1?0，所以
12y1y222?x12x2 ?1?0,即y12y24x1x2?x12y1212?2??1y?12?x1???2412?12因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上，所以?2， 即?， 21xy?y2?12?x2?2?2?122???2?2412所以(12?12121222x1)(12?x2)?x12x2，整理得x1?x2?24， 22422所以y1?y2??12???12??12?22x1???12?x2??12， 所以OP?OQ?36． 2??2?方法二：（i）当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
24?2x??y?k1x,?11?2k2,??1联立?x2y2解得? 2?1,???y2?24k1.?24121?1?2k12?124(1?k12)24(1?k22)22kk??所以x?y?，同理，得，由， x?y?12222221?2k11?2k22121所以OP2?OQ2?x12?y12?x22?y22
24(1?k12)24(1?k22) ??221?2k11?2k212))224(1?k1)2k136?72k12?36 ???2121?2k121?2k11?2(?)2k124(1?(?（ii）当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP?OQ?36，
22
综上：OP2?OQ2?36
21. 解：（1）方法一：由题意得，函数y?f(x?a)?ln(x?a)与直线y?x相切 ，设切点为
(x0,y0)，y??f?(x?a)??x0?0,a?1
11，?y?x?x??1,?x0?a?1又有x0?ln(x0?a)
0x?ax0?a方法二：方程即ln(x?a)?x，构造函数F(x)?ln(x?a)?x，定义域为xx??a，
??F?(x)?1?(x?1?a)?1?，由1?a??a可得F(x)在(?a,1?a)上单调递增，在x?ax?a(1?a,??)单调递减，而x??a,F(x)???;x???,F(x)???；则F(1?a)?0即a?1.
（2）g(x)?lnx?125x?mx(m?),h(x)?lnx?cx2?bx 225x2?mx?1?0的两根为x1,x2，当m?时方程x2?mx?1?0的??0 由已知g?(x)?2x则x1?x2?m，x1x2?1
?lnx1?cx12?bx1?0又由x1,x2为h(x)?lnx?cx?bx的零点可得? 2?lnx2?cx2?bx2?02x1xx2两式相减ln1?c(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2)?0，可解得b??c(x1?x2)①
x2x1?x2ln而y?(x1?x2)h?(x1?x22)?(x1?x2)[?c(x1?x2)?b]代入①式 2x1?x2x1x1?1x1?x2x1x2xx22y?(x1?x2)(?2?ln1 ?ln?)?2x1x2x1?x2x2x1?x2x1?x2?1x2ln令
x111?t(0?t?1)，由x1?x2?m，x1x2?1可得t??2?m2，则t?(0,]
4tx21t?1?(t?1)2t?(0,]单调递减，?lnt，而G?(t)?y?G(t)设函数G(t)?2，则在 ?024t?1t(t?1)所以G(t)min?G()??
14x?x266?ln4，即y?(x1?x2)h?(1)的最小值为??ln4. 552