第9课时 动态型问题
动态型试题比较侧重图形的旋转、平移、对称、翻折，在这里重点考察学生几何图形的认识，对称、全等、相似，是对数学综合能力的考察动态型试题.对学生的思维要求比较高，对题目的理解要清晰，明确变化的量之间的关系，同时还要明确不变的量有那些，抓住关键，理清思路。
动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法．当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解．
类型之一 探索性的动态题
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断。探索型问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要学生自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需要的结论或方法或条件，用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识。
1.（·宜昌市）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.
（1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由； （2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系； （3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你最小值和最大值.
2..（·南京市）如图，已知?O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP?10cm，射线PN与?O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts． （1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与?O相切？
类型之二 存在性动态题
存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断. 3.如图，直线y??43x?4和
探索正方形PTEF的面积y的
yC标是（-2，0）．
x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点
AOBx1
B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位
长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动
t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在， 求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
4．(·湖州市) 已知：在矩形AOBC中，OB?4，OA?3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不点的反比例函数y?kx(k?0)的图象与AC边交于
与B，C重合），过F点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等； （2）记S?S△OEF?S△ECF，求当k为何值时，S有少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
5.（·白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为．．
(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是 (2) 当t= 秒或 秒时，MN=
12最大值，最大值为多
沿EF对折后，C点恰
速度运动，设直线m与矩
t（秒）．
__________；
AC；
(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，说明理由．
类型之三 开放性动态题
2
求出最大值；若没有，要
开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。解答开放性问题的思维方法及途径是多样的，无常规思维模式。开放性问题的条件、结论和方法不是唯一的，要对问题充分理解，分析条件引出结论，达到完善求解的目的。 6.（苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB?DC?5，AD?6，BC?12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动． （1）梯形ABCD的面积等于 ； （2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 秒；
D点多少时间？
（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开
7.（·福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
8.（·苏州）课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．
（1）△A1OB1的面积是 ；A1点的坐标为（ ， ）；B1点的坐标为（ ， ）；
（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，-1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积．
3
2
（3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于 ．
第9课时 动态型问题答案
1.【解析】要想证明△ABC与△SBR相似，只要证明其中的两个角相等即可；要想得到TS=PA，只要证明△TPS≌△PFA即可；对于（3），需要建立正方形PTEF的面积y与AP的函数关系式，利用函数的极值来解决. 【答案】解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°. 在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角， ∴△ABC∽△SBR..
(2)线段TS的长度与PA相等. ∵四边形PTEF是正方形，
∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°, 在Rt△PFA中，∠PFA ＋∠FPA＝90°, ∴∠PFA＝∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS. 当点P运动到使得T与R重合时，
这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS. 由以上可知，线段ST的长度与PA相等.
(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高， ∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋PA＝1, ∴PS＝设PA的长为x，易知AF=PS， 则y＝PF2＝PA2＋PS2,得y＝x2＋(即y＝
54x?21?PA2.
1?x2)2,
12x?14，(5分)
15根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为.
51如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大. 易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
4
∴PA＝
13.
如图3，当P与A重合时，得x＝0. ∴x的取值范围是0≤x≤∴①当x的值由0增大到∴②当x的值由∵
1515131513.
时，y的值由时，y的值由
1415减小到增大到
1529
增大到
≤
29≤
14，∴在点P的运动过程中，
15正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是
14.
2.【解析】本题是双动点问题，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。 【答案】解：（1）连接OQ．
?PN与?O相切于点Q，
?OQ?PN，即?OQP?90． ?OP?10，OQ?6，
??PQ?10?6?8(cm)．
22（2）过点O作OC?AB，垂足为C．
?点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts， ?PA?5t，PB?4t． ?PO?10，PQ?8，?PAPO?PBPQ．
??P??P，?△PAB∽△POQ．
??PBA??PQO?90．
??BQO??CBQ??OCB?90，
???四边形OCBQ为矩形，?BQ?OC．
??O的半径为6，
?BQ?OC?6时，直线AB与?O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置．
BQ?PQ?PB?8?4t．
5