声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
2010年全国高中数学联赛
甘肃省预赛
2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛于2010年9月19日（星期日）上午9:00-11:30在甘肃各地州市同时举行,有九千多名中学生参加了这次预赛. 联赛预赛由省数学会普及委员会在甘肃省五学科竞赛管理委员会领导下组织出题，由各地州市自己组织竞赛和阅卷,并按参加预赛人数的5% ～ 10%上报参加联赛的人选. 最后选拔了近一千名同学参加在省城兰州举行的全国高中数学联赛. 预赛试题的大部分内容不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》的范围，同时适当涉及到了《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》. 试题结构与新的联赛试题结构相适应，取消了选择题. 预赛试卷包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分.
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试 题
一.填空题(每小题7分，共56分)
1. 已知k1?k2???kn是非负整数,满足2k?2k???2k?227，则
12nk1?k2???kn? . 2. 设a?0，函数f(x)?|x?2a|和g(x)?|x?a|的图像交于C点且它们分别与y轴交于A和B点，若三角形ABC的面积是1，则a? .
3. 已知Sn是公差为正数q的等差数列的前n项之和，如果最小值, 则q的取值范围是 .
4. 已知函数y?x3在x?ak的切线和x轴交于ak?1，如果a1?1, 则limSn? .
n??Sn?210n在n?6时取到
5. 函数f:R?R对于一切x,y,z?R满足不等式
f(x?y)?f(y?z)?f(z?x)?3f(x?2y?z)，
则f(1)?f(0)? ；
6.锐角三角形?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若??4cosC，则
ab
1tanA?ba的最小值是；
tanB
x217. P是椭圆取值范围是
12?y24??????????1上的一动点，F1和F2 是椭圆的两个焦点，则PF1?PF2的
；
8. 用3种颜色给立方体的8个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染4个顶点．则 任一棱的两个端点都不同色的概率是 ；
二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分) 9. 已知sin??sin??15，cos??cos??13，求
?1?cos2??????sin2?????1?cos2??????sin2????
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的值.
10. 设a1,a2,?,an是1,2,?,n的一个排列（n?3），求证： 1a1?a2?a3222?1a2?a3?a4222?1a3?a4?a5222???1an?2?an?1?an222?2?n?2?2n?n?1??2n?1?.
11.对任意的正整数n,证明恒等式
n?k?1kk?k?142?n2k. ??n?1k?11n12.设S是一些互不相同的4元数组(a1,a2,a3,a4)的集合，其中ai?0或1,
i?1,2,3,4．已知S的元素个数不超过15且满足：
若(a1,a2,a3,a4),(b1,b2,b3,b4)?S，则
(max{a1,b1},max{a2,b2},max{a3,b3},max{a4,b4})?S
且
(min{a1,b1},min{a2,b2},min{a3,b3},min{a4,b4})?S．
求S的元素个数的最大值．
解 答
1. 19 提示：
227?1?2?32?64?128?2?2?2?2?2,
01567故
k1?k2???kn?0?1?5?6?7?19，
于是应填19.
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2. 2 提示：由f(x)和g(x)的图像知三角形ABC是底为a的等腰直角三角形,故
a
2
其面积1?
4
，于是a?2. 应填2.
n(n?1)2q2q，于是
3. [10,14] 提示：设an?a1?(n?1)q，则Sn?na1?Sn?210n?q2n?210n?a1?．
由题设知
6q2q2?2106?min{5q2?2107q210,?}， 527由此可得5??7，故q的取值范围是[10,14]．
4.3 提示： 由y?x3知y??3x2，于是y?x3在x?ak的切线方程为
y?ak?3ak?x?ak?．
32它与x轴交于点(ak?1,0)，故
?ak?3ak?ak?1?ak?，
32由此可得ak?1?23ak．又a1?1，故
2n1?()3?1?3， limSn?limn??n??221?1?33所以应填3．
5. 0 提示：
x??y?z?f(0)?f(0)?f?2x??3f?0??f?2x??f?0?，
x?y??z?f(2x)?f(0)?f(0)?3f(2x)?f(0)?f(2x)
由此得
f(0)?f(x)?f(0)， 从而f(x)?f(0)?c（常数）．故应填0．
6.提示：由题设及余弦定理
4ab?a?b?c2ab222?a?b?a?b?2c，
22222- 4 -
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于是
1tanA?1tanB?cosBsinA?sinBcosAsinAsinBsin(A?B)sinCsinAsinBsinC sinC2 ??sinAsinBsinC2
?c2
?absinC2ab?a?b1sinC22absinC??23
2absinC而上式等号成立当且仅当A?B?C
1tanA?1tanB?23．
7. [?4,4]
提示：设P(x0,y0)，F1??c,0?,F2?c,0?，则有
????PF1?(?c,0)?(x0,y0)?(?x0?c,?y0)， ?????PF2?(c,0)?(x0,y0)?(c?x0,?y0)，
于是
?????????222222PF1?PF2(?x0?c,?y0)(c?x0,?y0)?x0?c?y0?x0?y0?c．
注意到b?x0?y0?a，即有
b?c?x0?y0?c?a?c，
22222222222也即
?????????22b?c?PF1?PF2?a?c22?????????
（其中a?12,b?4,c?a?b?8），故有?4?PF1?PF2?4．
222228.
135 提示：当其中一种颜色染4个顶点时，其余两种颜色可任意染色剩余的4个
顶点．于是满足要求的染色方法共有
C3?C8?(C4?C4?C4?C4)?3?70?15(种)
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