福建省南安第一中学 学年高一数学上学期期末考试试题
本试卷考试内容为：数学必修2，试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
1V?sh3，其中S为底面面积，h为高；参考公式：柱体体积公式：V?sh，椎体体积公式：
球的表面积公式：S?4?R，其中R为球的半径．
第I卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为（ B ） A．3 B．-2 C． 2 D． 不存在
2222x?y?2x?0x?y?4y?0的位置关系是（ B ） 2．圆与圆
2A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 3．设
m,n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题：
① 若m??，n//?，则m?n ② 若?//?，?//?，m??，则m?? ③ 若m//?，n//?，则m//n ④ 若???，???，则?//? 其中正确命题的序号是（ A ）
A．①和② B．②和③ C．③和④
D．①和④
4．如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A,B,C为其上的三个点， 则在正方体盒子中，?ABC等于（ B ）
A．45 B．60 C．90 D．120 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x的值是（ D ）
9A．2 B．2 3C．2 D．3
oooox211正视图 侧视图
6．已知a,b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系（ C ） A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 俯视图 D．不可能相交
22A(3,5)C:(x?2)?(y?3)?1的切线，则切线的方程为（ C ） 7．自点作圆
A．3x?4y?29?0 B．3x?4y?11?0
- 1 -
C．x?3或3x?4y?11?0 D．y?3或3x?4y?11?0
8．如图中OABC为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（ A ） Ａ．直角梯形 Ｂ．等腰梯形 Ｃ．非直角且非等腰的梯形 Ｄ．不可能是梯形
oo????C?y?B?k?的取值范围是（9．k是直线l的斜率，?是直线l的倾斜角，若30???90，则OA? C ）
x?0?k?A．
3333?k?1k?k?3 D．3 3 B．3 C．
10．两圆相交于点A(1,3)，B(m,?1)，两圆的圆心均在直线x?y?c?0上，则m?c?（ C ）
A．－1 B．2
C．3 D．0
A1B1C1S11．在体积为15的斜三棱柱
ABC?A1B1C1中，S是C1C上的一点，
S?ABC的体积为3，则三棱锥S?A1B1C1的体积为（ C ）
3A．1 B．2 C．2 D．3
12．若动点
ABCA(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x?y?7?0和l2:x?y?5?0上移动，
点N在
22x?y?8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（ A ） 圆C：
A．2 B．2(3?2) C．3 D．22 第II卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分． 13．在空间直角坐标系
o?xyz中，已知点A(1,?2,1)，B(2,1,3)，点P在z轴上，且
|PA|?|PB|，则点P的坐标为(0,0,2)．
14．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是4x?2y?5?0．
22A(3,1)C:(x?2)?(y?2)?4的弦，其中最短的弦长为22. 15．过点作圆
16．如图，三棱柱
A1B1C1?ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角
形，E是BC中点，则下列命题中：
- 2 -
①
CC1与B1E是异面直线；
ABBA；
② AC⊥底面11③ 二面角④
A?B1E?B为钝角；
AC1∥平面AB1E．
其中正确命题的序号为 ④ ．（写出所有正确命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 求经过直线
L1:3x?4y?5?0与直线L2:2x?3y?8?0的交点
M，且满足下列条件的直线L的方程：
（1）与直线2x?y?5?0平行； （2）与直线2x?y?5?0垂直．
?3x?4y?5?x??1??2x?3y??8y?2 所以交点M(?1,2) …………4分 解：?解得?（1）依题意，所求直线斜率k??2 …………6分
故所求直线方程为y?2??2(x?1)，即：2x?y?0 …………8分
k?
（2）依题意，所求直线斜率
1
2， …………10分
y?2?故所求直线方程为
1(x?1)2，即：x?2y?5?0 …………12分
18．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中，?ABC?90，
?SA?面ABCD，SA?AB?BC?2，AD?1．
- 3 -
（1）求证：面SAB?面SBC；
（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．
，BC?面ABCD,?SA?BC （1）证明：?SA?面ABCD又?AB?BC，SA?AB?A,
?BC?面SAB ?BC?面SA B?面SAB?面SBC …………8分
（2）解：已知SA?面ABCD，连结AC，则?SCA就是SC与底面ABCD所成的角， 则在直角三角形SCA中，SA?2，AC?2?2?22，
22tan?SCA?SA22??AC222 …………12分
A1B1C1D1的中心．
19．（本小题满分12分）如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右边画出（单位：cm），P为原长方体上底面
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；
（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E,P的坐标；
（3）连接AP，证明：AP∥面EFG． D1C1 GP FB1 DEC
（1）解：如图（徒手作图不得分，
A
36224（正视图）
364（侧视图） 22B4- 4 - （正视图） 4（侧视图） 尺寸不准确酌情给分） …………4分
（2）解：建立如图直角坐标系
z D1GFPB1EDC1E(4,0,2)
y CP(2,3,4) …………8分
（3）证明：连接
ABAB1,AD1,B1D1，依题意知：E,F,G分别为原长方体所在棱中点，x BDGF?面AB1D1 ∴GF∥面AB1D1
GF∥11，
EF∥AB1，EF?面AB1D1 ∴EF∥面AB1D1
面AB1D1
又GF?EF?F ∴面EFG∥
面AB1D1 ∴AP∥面EFG ……12分
又∵AP?22x?y?4x?4y?m?0，直线l:x?y?2?0． C:20．（本小题满分12分）已知圆
（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；
（2）若圆D过点P(1,1)，且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．
2222x?y?4x?4y?m?0(x?2)?(y?2)?8?m C:解：（1）圆 即
圆心C(?2,?2)到直线l的距离
d?|?2?2?2|?22， ………… 2分
2若圆C与直线l相离，则d?r，∴r?8?m?2 即 m?6 ………… 4分 2又r?8?m?0 即 m?8 ∴6?m?8 ………… 6分
（2）设圆D的圆心D的坐标为
(x0,y0)，由于圆C的圆心C(?2,?2)，
依题意知：点D和点C关于直线l对称， ………… 7分
则有：
?x0?2y0?2??2?0??x0?0?22???y?20?y0?0??(?1)??1??x0?2， …………10分
- 5 -
222x?y?rC∴圆的方程为:， 又因为圆C过点P(1,1)，
22222x?y?2 ……12分 1?1?r?r?2D∴， ∴圆的方程为：
21．（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD中，AB?2,AD?1，E为CD的中点，以
AE为折痕，把?DAE折起为?D?AE，且平面D?AE?平面ABCE。
（1）求证：AD??BE
（2）求四棱锥D??ABCE的体积；
（3）在棱D?E上是否存在一点P，使得D?B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由。
D'DECEABABC
（1）证明：在长方形ABCD中，?DAE和?CBE为等腰直角三角形，
∴?DEA??CEB?45，∴?AEB?90，即BE?AE ………… 2分 ∵平面D?AE?平面ABCE，且平面D?AE?平面ABCE?AE， ∴BE?平面D?AE，AD??平面D?AE
∴AD??BE ………… 4分 （2）取AE中点F，连接D?F，则D?F?AE ∵平面D?AE?平面ABCE， 且平面D?AE?平面ABCE?AE，
ooD'PFAEQBCD?F?平面ABCE， 1VD??ABCE?SABCE?D?F3∴
- 6 -
1122???(1?2)?1??24 ………… 8分 32（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ， 若D?B∥平面PAC ∵D?B?平面D?BE 平面D?BE?平面PAC?PQ ∴D?B∥PQ ………… 10分
EPEQEQEC1????PDQBQBAB2 ∴在?EBD?中，， ∵在梯形ABCE中EPEQ11??EP?ED??QB2，即3∴PD
1EP?ED?3∴在棱D?E上存在一点P，且，使得D?B∥平面PAC ………… 12分
22．（本小题满分14分）已知直线l:y?kx?2，M(?2,0),N(?1,0)，O为坐标原点，动点
|QM|?2Q满足|QN|，动点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与圆O:x?y?2交于不同的两点A,B，当
22?AOB??2时，求k的值；
k?（3）若
12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，
探究：直线CD是否过定点．
解：（1）设点Q(x,y)，依题意知
(x?2)2?y2|QM|??222|QN|(x?1)?y ……2分
2222x?y?2x?y?2 …… 4分 C 整理得， ∴曲线的方程为
?2d?r2 …… 6分 （2）∵点O为圆心，∠AOB=2，∴点O到l的距离
- 7 -
22∴k?1=2·2 ? k??3 …… 8分
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上， ……9分
211x(x?t)?y(y?t?2)?0P(t,t?2)22设，则该圆的方程为：
t2tttt2tt2t22?(?1)(,?1)(x?)?(y??1)??(?1)2（ 或用圆心24，半径44得2x2?tx?y2?(1t?2)y?0即 2
又C、D在圆O：
x2?y2?2上 l1CD:tx?(t?2)y?2?0(x?y)t?2y?2?∴2 即 2 ????x?y??1?20?x?由?2y?2?0 得 ?2?y??1
(1,?1)∴直线CD过定点2 444 …… 12分
…… 14分
）
- 8 -
0 南安一中2014~2015高一年上学期数学期末考试卷参考答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B B A B D C C A C 填空题
10
C 11 C 12 A
13、(0,0,2) 14、4x?2y?5?0 15、22 16、 ④ 三、解答题
?3x?4y?5?x??1??2x?3y??8y?2 所以交点M(?1,2) …………4分
17．解：?解得?（1）依题意，所求直线斜率k??2 …………6分
故所求直线方程为y?2??2(x?1)，即：2x?y?0 …………8分
k?
（2）依题意，所求直线斜率
1
2， …………10分
y?2?故所求直线方程为
18．（1）证明：
1(x?1)2，即：x?2y?5?0 …………12分
?SA?面ABCD，BC?面ABCD,?SA?BC
又?AB?BC，SA?AB?A,
SB?BC?面SAB ?BC?面SA BCAD?面SAB?面SBC …………6分
（2）解：已知SA?面ABCD，连结AC，则?SCA就是SC与底面ABCD所成的角， 在直角三角形SCA中，SA?2，AC?2?2?22，
22tan?SCA?SA22??AC222 …………12分
19． （1）解：如图（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分） …………4分
6 3
224- 9 - （正视图） 4（侧视图） （2）解：建立如图直角坐标系 z
D1C1 GP FB1
y
EDCE(4,0,2)A P(2,3, 4 B ) …………8分
x （3）证明：连接AB1,AD1,B1D1，依题意知：E,F,G分别为原长方体所在棱中点， ∵GF∥B1D1，GF?面AB1D1 ∴GF∥面AB1D1
∵EF∥
AB1，EF?面AB1D1 ∴EF∥面AB1D1
又GF?EF?F ∴面EFG∥
面AB1D1
又∵AP?面AB1D1 ∴AP∥面EFG ……12分
20．解：（1）圆C:x2?y2?4x?4y?m?0 即
(x?2)2?(y?2)2?8?m ?2?2?2| 圆心C(?2,?2)d?|2?2到直线l的距离
， ………… 2分
若圆C与直线l相离，则d?r，∴r2?8?m?2 即 m?6 ………… 4分 又r2?8?m?0 即 m?8 ∴6?m?8 ………… 6分
（2）设圆D的圆心D的坐标为
(x0,y0)，由于圆C的圆心C(?2,?2)，
依题意知：点D和点C关于直线l对称， ………… 7分
??x0?2??y0?2?2?0?2?x0?0?y0?22??则有：
??y0?0?x?(?1)??10?2， …………10分
2y2?r2∴圆C的方程为:x?， 又因为圆C过点P(1,1)，
∴12?12?r2?r?2， ∴圆D的方程为：
x2?y2?2 ……12分
21．（1）证明：在长方形ABCD中，?DAE和?CBE为等腰直角三角形，
- 10 -
∴?DEA??CEB?45，∴?AEB?90，即BE?AE ………… 2分 ∵平面D?AE?平面ABCE，且平面D?AE?平面ABCE?AE， ∴BE?平面D?AE，AD??平面D?AE
∴AD??BE ………… 4分 （2）取AE中点F，连接D?F，则D?F?AE ∵平面D?AE?平面ABCE， 且平面D?AE?平面ABCE?AE，
ooD'PFAEQBCD?F?平面ABCE， 1VD??ABCE?SABCE?D?F3∴
1122???(1?2)?1??24 ………… 8分 32（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ， 若D?B∥平面PAC ∵D?B?平面D?BE 平面D?BE?平面PAC?PQ ∴D?B∥PQ ………… 10分
EPEQEQEC1????QB， ∵在梯形ABCE中QBAB2 ∴在?EBD?中，PDEPEQ11??EP?ED??QB2，即3∴PD
1EP?ED?3∴在棱D?E上存在一点P，且，使得D?B∥平面PAC ………… 12分
22．解：（1）设点Q(x,y)，依题意知
(x?2)2?y2|QM|??222|QN|(x?1)?y ……2分
- 11 -
整理得x2?y2?2， ∴曲线C的方程为
x2?y2?2 …… 4分 ?d?2（2）∵点O为圆心，∠AOB=2，∴点O到l的距离
2r …… 6分 22∴k2?1=2·2 ? k??3 …… 8分
（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上， ……9分
P(t,1t?x(x?t)?y(y?1t?2)?0设22)，则该圆的方程为：2
(t,t?1)t2?(t?1)2t2(x?)2?(y?t?1)2?t?(t?1)2（ 或用圆心24，半径44得2444x2?tx?y2?(1t?2)y?0即 2 又C、D在圆O：
x2?y2?2上 l:tx?(1CDt?2)y?2?0(x?y)t?2y?2?0∴2 即 2 …… 12分
????x?y?0??x?1由?22y?2?0?2? 得 ?y??1
(1,?1)∴直线CD过定点2 …… 14分
）
- 12 -