肇庆市2017届高三第一次统一质量检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
2（1）若集合M?x?R|x?4x?0，集合N??0,4?，则M?N?
??（A）?0,4? （B）[0,4) （C）(0,4] （D）?0,4?
（2）设i为虚数单位，复数z?3?i，则z的共轭复数z i（A）?1?3i （B）1?3i （C）?1?3i （D）1?3i
??????（3）已知向量m??a,2?,n??1,1?a?，且m?n，则实数a的值为
（A）0 （B）2 （C）?2或1 （D）?2
（1?i）?z?1?2i（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内 （4）设复数z满足
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3 1
22（5）原命题p：“设a,b,c?R，若a?b，则ac?bc”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，
真命题的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（6）图（1）是某高三学生进入高中三年的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到第14次的考试成
绩依次记为A1，A2，…，A14. 图（2）是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 （A）7 （B）8 （C）9 （D）10
?x?2y?0?（7）变量x，y满足约束条件?x?y?0
?x?2y?2?0?则z?2x?y的最小值等于 （A）?53 （B）?2 （C）? （D）2 22（8）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
（A）若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸
烟的人中必有99人患有肺病
（B）从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他
有99%的可能患有肺病
（C）若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推
判出现错误
（D）以上三种说法都不正确.
（9）把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意
一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是
（A）
3 20（B）
3 16（C）
27 （D）
520（10）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
113 （B）35 3104107（C） （D）
34（A）
2
?x?y?3?0?（11）实数x,y满足?x?y?3?0，若z?2x?y的最大值为9，则实数m的值为
?0?y?m?（A）1 （B）2 （C）3
（D）4
（12）在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点.
SMDN?，则MN//面SCD； MANBSMNB?②若，则MN//面SCB； MADN①若
③若面SDA?面ABCD，且面SDB?面ABCD， MSDNC则SD?面ABCD. 其中正确的命题个数是
AB（A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）(1?2x)3(1?3x)5的展开式中x的系数是 .
（14）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm) 儿子身高y(cm) 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177 ?? （ 参考公式b?(x?x)(yii?1nii?1ni?y)?2?xyii?1ni?nx?y?nx2?(x?x)?xi?1n?x，x，y表示样本均值） ??y?b，a2i则y对x的线性回归方程为 .
3
|PA|2?|PB|2（15）在Rt?ABC中，D为斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则? .
|PC|2（16）已知正数a,b满足a?b?2，则
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数； （Ⅲ）在理科综合分数为[220,240)， [240,260)，[260,280)，[280,300]的四组学生中， 用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取多少人？
（18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?面ABCD，PA?BC?4，AD?2，AC?AB?3，
14?的最小值为 . a?1b?1AD//BC，N是PC的中点.
（Ⅰ）证明：ND//面PAB；
（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．
BPNDAC 4
（19）（本小题满分12分）
新生儿Apgar评分，即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分多在7-10分之间，某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名，以下表格记录了他们的评分情况.
（Ⅰ）现从16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名评分不低于9分的概率；
（Ⅱ）以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生儿任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望.
（20）（本小题满分12分）
某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
（Ⅰ）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)； （Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
（21）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是菱形，?ADC?60?，PA?PC,PD?PB，
AC?BD?E，二面角P?AC?B的大小为60?.
（Ⅰ）证明：AC?PB
（Ⅱ）求二面角E?PD?C的余弦值.
DAEPBC 5
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时， 请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程
?3x??1?t??2(t为参数), 曲线C的极坐标方程为:??4cos?. 为:??y?1t??2（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P,Q两点, 求PQ的值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数f?x??x?m?2x?1. （Ⅰ）当m??1，解不等式f?x??3； （Ⅱ）求f?x?的最小值.
6
数学（理科）参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题
13．2 14．y?三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1， （2分） 得x＝0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5. （3分） 220＋240（Ⅱ）理科综合分数的众数是＝230. （5分）
2∵（0.002＋0.009 5＋0.011）×20＝0.45＜0.5， （6分） ∴理科综合分数的中位数在[220,240)内，设中位数为a，
则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5， （7分） 解得a＝224，即中位数为224. （8分） （Ⅲ） 理科综合分数在[220,240)的学生有0.012 5×20×100＝25（位），同理可求理科综合分数为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15位、10位、5位， （10分） 111故抽取比为＝， （11分）
25＋15＋10＋551
∴从理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取25×＝5人． （12分）
5
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，取PB中点M，连结AM，MN.
P1 A 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 A 8 C 9 C 10 C 11 A 12 D 19x?88 15．10 16． 241?MN是△BCP的中位线，∴MN//BC． （1分）
21依题意得，AD//BC，则有AD//MN （2分）
2∴四边形AMND是平行四边形， ∴ ND//AM （3分） ∵ND?面PAB，AM?面PAB ∴ND//面PAB （5分）
BMNDAC 7
P（Ⅱ）法一：取BC的中点E，则AD//CE，所以四边形AECD是平行四边形， 所以CD//AE，又因为AB?AC，所以AE?BC，所以CD?BC， 又BC//AD，所以CD?AD （6分）
NFDPA?面ABCD，CD?面ABCD，所以PA?CD （7分）
又PA?AD?A，所以CD?面PAD. （8分）
BEACD?AF在面PAD内过A做AF?PD于F，则CD?PDD?，又CAF?面PDC ，，连接NF，
则?ANF是AN与面PND所成的角. （10分） 在Rt?ANF中，AN?15AF854?245PC?，AF?，sin?ANF?， ??22AN25516?4所以AN与面PND所成角的正弦值为85 （12分） 25zP法二：取BC的中点E，则AD//CE，所以四边形AECD是平行四边形， 所以CD//AE，又因为AB?AC，所以AE?BC,AE?5 （6分）
N????????如图分别以AE，AD方向为x轴，y轴正半轴建立空间直角坐标系 ,
AFDy?5?C5,2,0,P?0,0,4?,D?0,2,0?,N??2,1,2??， （7分）
??????????PD??0,2,?4?，PC?5,2,?4. （8分）
??BExC???设n?(x,y,z)是平面PND的一个法向量，则 ????????2y?4z?0,?n?PC?0, 即? （9分） ?????????5x?2y?4z?0.?n?PD?0.?令z?1，则x?0,y?2 ，所以n?(0,2,1)是平面PND的一个法向量， （10分）
??????????5?AN?n85AN??,1,2 ，设AN与面PND所成的角为?，sin????????， ??2?25ANn??所以AN与面PND所成角的正弦值为
85. （12分） 258
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设Ai表示所抽取3名中有i名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9分记为
312C12C4C12121事件A，则P(A)?P(A0)?P(A1)?3?. （4分） ?3C16C16140（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3. （5分）
41?， （6分） 16433272791113221231所以P(X?0)?()?，P(X?1)?C3()()?，P(X?2)?C3()()?，
464446444641313P(X?3)?C3()?.
464所以X的分布列为
由表格数据知，从本市本年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为
（10分）
所以E(X)?0?2727911?1??2??3??0.75.（或E(X)?3??0.75）， 646464644即X的数学期望为0.75. （12分）
（20）（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y， （1分） 所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300. （2分）
?5x?7y?4?100?x?y??600?(Ⅱ)约束条件为?100?x?y?0 （5分）
?x?0,y?0,x,y?N?x＋3y≤200，??
整理得?x＋y≤100，
??x≥0，y≥0，x，y∈N.目标函数为w＝2x＋3y＋300.
作出可行域．如图所示： （8分）
初始直线l0:2x?3y?0，平移初始直线经过点A时，w有最大值． （9分）
???x＋3y＝200，?x＝50，?由得?最优解为A(50,50)，所以wmax?x＋y＝100，???y＝50.
?550 ． （11分）
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元． （12分）
9
（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为E是AC的中点，PA?PC， 所以AC?PE. （1分） 因为底面ABCD是菱形，所以AC?BD. （2分） 又PE?BD?E ，所以AC?面PDB. （3分） 又因为PB?面PDB，所以AC?PB. （4分） （Ⅱ）方法一：
由（Ⅰ）知CE?面PDB，PD?面PDB，所以CE?PD. （5分） 过E作EH?PD于H，连接CH，则PD?面CEH，
又CH?面CEH，则PD?CH， （6分） 所以?CHE是二面角E?PD?C的平面角． （7分） 由（Ⅰ）知?PEB是二面角P?AC?B的平面角，所以?PEB?60?． （8分） 设AB?a，在Rt?PBD中，PE?DHAECBP133BD?BE?a，?PBE是等边三角形，PB?a， 222EH是?PBD的中位线，则EH?13PB?a， （10分） 24CE?a722a ， （11分） ，CH?CE?CH?24cos?PEB? 方法二：
EH21，即二面角E?PD?C的余弦值为 ?CH721. （12分） 7????????由（Ⅰ）知AC?面PDB. 如图，分别以ED，EC方向为x轴，y轴正半轴建立空间直角坐标系.
z?3??a?a,0,0设AB?a，则D?，C?0,,0?. （5分） ??2??2???由（Ⅰ）知?PEB是二面角P?AC?B的平面角， 所以?PEB?60?． （6
xDAEPBC分） y 10
在Rt?PBD中，PE?13BD?BE?a， 22?33??PBE是等边三角形，所以P???4a,0,4a??， （7分） ???????333??????3a?PD??a,0,?aDC??a,,0?， （8分） ???4???4?2???2??设n1?(x,y,z)是平面PDC的一个法向量，则
?3a???????ax?y?0,???n1?DC?0,?22 即? （9分） ?????????33ax?3az?0.?n1?PD?0.??44??令x?1，则y?z?3，所以n1?(1,3,3)是平面PDC的一个法向量. （10分）
???面EDP即xoz平面，它的一个法向量为n2?(0,1,0). （11分）
?????n?n2321??设二面角E?PD?C的平面角为?，则cos????1??，所以二面角?7|n1|?|n2|1?3?3?1E?PD?C的余弦值为
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ） ???4cos?,??2?4?cos?, 由?2?x2?y2,?cos??x，得x2?y2?4x，所以
2曲线C的直角坐标方程为?x?2??y?4. （2分）
221. （12分） 7?3x??1?t??2由?，消去t得：x-3y+1?0.所以直线l的普通方程为x-3y+1?0. （4分） ?y?1t??2?3x??1?t??22（Ⅱ）把 ? 代入x2?y2?4x，整理得t?33t?5?0， （6分） ?y?1t??2因为??27?20?7?0，设其两根分别为 t1,t2，则t1?t2?33,t1t2?5, （8分）
11
所以PQ?t1?t2?
?t1?t2?2?4t1t2?7. （10分）
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当m??1时，不等式f?x??3 ，可化为x?1?2x?1?3 .
11当x??时，?x?1?2x?1?3, ∴x??1，∴?1?x??； （1分）
22当?12?x?1时，?x?1?2x?1?3,，∴x?1，∴?12?x?1； 当x?1时，x?1?2x?1?3,∴x?1，∴x?1； 综上所得，
?1?x?1. （Ⅱ）f?x??x?m?2x?1?x?m?x?12?x?12 ??x?m????x?1?1?2???x?2 ?m?12?x?12，当且仅当?x?m????x?1?2???0时等号成立. 又因为m?12?x?12?m?112，当且仅当x??2时，等号成立. 所以，当x??12时，f?x?取得最小值m?12.
12
（2分） （3分）
（4分） （5分） （6分） （7分） （8分）
10分） （