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第11章 静电场中的导体和电介质
一 选择题
1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q ( a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )
qqRqqa A . B . C . D . 224π?0a4π?0(a?R)4π?0a4π?o(a?R)解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷?q?分
布在导体球表面上，且?q??(?q?)?0，它们在球心处的电势
dq?1 V????dq??0 ??q?4π?R?q?4π?R00q点电荷q在球心处的电势为 V?
4π?0aq据电势叠加原理，球心处的电势V0?V?V??。
4π?0a所以选（A）
2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为? ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )
?2??? d A . E? B . E? C . E= D . E=? ? 2?0?0ε02ε0 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板d 的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2? S，可得 E??。 ?0选择题2图
所以选（C）
4. 半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比?R /?r为 ( )
A． R／r B. R2 / r2 C. r2 / R2 D. r / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q、q，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则
QqQR? 即 ?
4π?0R4π?0rqr 7
?RQ/4?R2r?? ?rq/4? r2R所以选（D）
5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度?为 ( )
A. ε0 E B. ε0εr E C. εr E D. (ε0εr ?ε0) E
解：根据有介质情况下的高斯定理??D?dS??q，取导体球面为高斯面，则有
D?S???S，即??D??0?rE。
所以选（B）
9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c。 若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 ( )
A. C B. ２C／３ C. 3 C／２ D. ２C
d /3 d 解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为：
选择题9题 ?d2? d U?Ed?? (d?)??033?0其电容值变为： C??Q? S3?0S3???C U2? d2d23?0所以选（C）
10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？( )
A. 电容器的电容量 B. 两极板间的场强 C. 电容器储存的能量 D. 两极板间的电势差
解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板
? S电容器的电容C?，改变两极板间的距离d，则电容C发生变化；两极板间
dU1的场强E?，U不变，d变化，则场强发生变化；电容器储存的能量We?CU2，
2dU不变，d变化，导致电容C发生变化，则电容器储存的能量也要发生变化。 所以选（D）
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二 填空题
1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为?(x、y、z)，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E(x、y、z) = ，其方向 。
解：E(x、y、z)= ?(x、y、z)/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(?>0)或与导体表面垂直朝里(σ<0)。
2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为? ，则导体板两侧面
的感应电荷密度分别为?1 和?2 ? ? 1 ? 2
= 。
解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：
????1?2?0；?1???2。由此可解得：2?02?02?0?1???2 ；?2??2。
填充题2图
3. 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒(R1< R2)，其间充满着相对介电常数为εr的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为? 和?? ，则介质中的电位移矢量的大小D= ，电场强度的大小E= 。
解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D= ? /（2πr），
电场强度大小E= D/εrε0=? /（2πεrε0 r）。
5. 半径为R的金属球A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×10?5J,今将该球与远处一个半径是R的导体球B用细导线连接，则A球储存的电场能量变为 。
1Q2解：金属球A原先储存的能量W??5?10?5J,当它与同样的金属球B
2C1(Q/2)2连接，则金属球A上的电荷变为原来的1/2，则能量W???1.25?10?5J
2C7. 一空气平行板电容器，其电容值为C0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W0，今在两极板间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，则此时电容值C= ，储存的电场能量We = 。
Q解：初始时电容C0?0，充电后将电源断开，Q0不变，由E?D/?0?r，
U0QdUD当两极板间充满电介质时，两极板电势差U?Ed?d?0?0，
?0?r?0?rS?r 9
22W1Q01Q0Q0??0。 ?C???rC0 W?2C2?rC?rU8. 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上并保持电压恒定为U。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的增量为 ，电源对电场做功为 ，外力对极板做功为 。
11?0S2解：初始时，电容器的静电能We0?Q0U0?U0，将极板距离拉开一
22d?S111倍，电容值变为C?0?C0，极板间电压不变，?Q?CU0?C0U0?Q0，
2d222此时电容器的静电能We?4d11?S电源对电场做功W?U?q?U(Q0?Q0)??0U2
22d由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功
W???We?W??∴电容器中静电能的增量 ?We?We?We0??111?0S2QU0?We0?U 224d1?0SU2
?0S4dU?2?0S2dU?2?0SU24d
三 计算题
8. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间距离
+q ?q 为d，在两极板间平行地插入一面积也是S，厚度为t的金属片，试求：(1)电容C等于多少？(2)金属片在两极板间放
A B 置的位置对电容值有无影响？
解：设极板上分别带电量+q和?q；金属片与A板距离d1 d2 为d1，与B 板距离为d2；金属片与A板间场强为 t d E1 =q / (ε0 S )
金属板与B板间场强为 E2 =q / (ε0 S ) 金属片内部场强为 E??0 则两极板间的电势差为
UA?UB=E1d1+E2d2 =( q /ε0S)(d1+d2) = (q /ε0S) (d ? t)
由此得 C=q /(UA ?UB) =ε0S /（d ? t）
因C值仅与d、t有关，与d1、d2无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。
10. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R的导体球带电。（1）当球上已带有电荷q时，再将一个电荷元dq从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？（2）使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力共作多少功？
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解：（1）令无限远处电势为零，则带电量为q的导体球，其电势为
q V?
4πε0R将dq从无限远处搬到球上过程中外力作的功等于该电荷远在球上所具有电势能
q dW?dWe?dq
4πε0R（2）带电球体的电荷从零增加到Q的过程，外力作功为
QqdqQ2 W?dW? ?04π ε0R8π ε0R??13. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，长都是
L，中间充满相对介电常数为εr的各向同性场匀介质，内外筒分别带有电荷Q，设L>>b，即可忽各边缘效应。求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器贮存的能量。
解：由高斯定理，两筒之间的场强
Q E?2πε0εrLra b 两筒间的电势差
bQb U?E.dr?ln
a2πε0εrLaL πε0εrLQ2计算题13图 ∴电容C??
bUln()a1Q2b2电容器贮存能量 W?CU?ln
24πε0εrLa?