成都外国语学校高2013级11月月考
数 学 试 卷
命题人： 杜仕彪 审题人：张玉忠
（试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。）
第Ｉ卷 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。 一、选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知P??1,0,2,Q?yy?sin?,??R，则P?Q= （ ）C
A.? B. 2．设i是虚数单位，复数
????4 正视图
6 侧视图
?0? C. ??1,0? D. ??1,0,2
?俯视
3．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. （第3题图）
1?ai为纯虚数，则实数a为 （ ）D 2?i11A. ? B. ?2 C. D.2
22则该几何体的体积为( )B A．16 C．60
B．48 D．96
开始 s=0，n=1 否 4. 若命题“?x?R,使x2?(a?1)x?1?0”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）D A．1?a?3 B．?1?a?1 C．?3?a?3 D．?1?a?3
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A
A．3 6．函数f(x)?()n≤2012? 是 s=s+sin3B．
2C．?3 D．0
12x?1n? 3输出?2cos?x(?2?x?4)的所有零点之和等于 （ ）C
n= n +1 第5题图
结束 A．2 B．4 C．6 D．8 7.如图是函数
是最大值、最小值点，且A.
B.
在一个周期内的图像，M、N分别
，则A ? ?的值为( ) C
D.
C.
8．数列
?an?,?bn?满足a1?b1?1,an?1?an?bn?1?2,n?N*，则数列ban的前10项和为bn??（D ）
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A.
49414?1? B. ?410?1? C. ?49?1? D. ?333110?4?1? 3
x2y2a2229．过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F(?c,0)(c?0)，作x?y?的切线，切
ab4点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE?（ ）A A．
1(OF?OP)，则双曲线的离心率为21010 B． C．10 D．2 25OA 10. 如右图所示，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内 D B
????????????一点D,若OC?xOA?yOB，则（ C ）
A．0?x?y?1 B．x?y?1
C．x?y??1
D．?1?x?y?0
C O11. (理科)．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,
要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ）C A．232 B．252 C．472 D．484 (文) 如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A A．1?C．
2 πB．D．
11? 2π1 π且当
2 π12. 12. 已知定义在R上的函数f(x)满足
,则
A.
B.
等于（ ）B
D.
C.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。
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二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13．已知圆C的圆心是抛物线y?12x的焦点。直线4x-3y-3=0与圆C相交于A，B两点，且16|AB|=8，则圆C 的标准方程为 。x2?(y?4)2?25
14．已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA?平面ABC，AB?BC，SA?AB?1，
BC?2，则球O的表面积等于 ．4?
15.f?(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，若f?(x)?f(x)?0，若a?e2012f(0) 、
b?e2011f(1)、c?e1000f(1012) ，则a,b,c的大小关系是 a?b?c
16．在数列{an}中，如果对任意的n?N*，都有
an?2an?1???（?为常数），则称数列{an}为an?1an比等差数列，?称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是_________________．1,4
①若数列{Fn}满足F1?1，F2?1，Fn?Fn?1?Fn?2（n?3），则该数列不是比等差数列； ②若数列{an}满足an?(n?1)?2n?1，则数列{an}是比等差数列，且比公差??2； ③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列{an}满足：an?1?an?2an，a1?2，则此数列的通项为an2?32n-1，且{an}不
是比等差数列；
3nan－13（n?2，n?N?）(理）④数列｛an｝满足：a1＝，且an＝，则此数列的通项
2an－1＋n－12n?3n为an?n
3－1且{an}不是比等差数列。
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，A?（1）求C；
?6，(1?3)c?2b．
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????????（2）若CB?CA?1?3，求a,b，c．
解：（1）由(1?3)c?2b 得
b13sinB ???c22sinCsin(?? 则有
?6sinC?C)?sin5?5?cosC?cossinC131366=cotC? ??2222sinC 得cotC?1 即C??4.
（2） 由CB?CA?1?3 推出 abcosC?1?3 ；而C??????????4,即得
2ab?1?3, 2?2ab?1?3??a?2?2??? 则有 ?(1?3)c?2b 解得 ?b?1?3
?c?2?ac????sinAsinC??18.(理科)某射手每次射击击中目标的概率是
2，且各次射击的结果互不影响。 3（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（2）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记?为射手射击3次后的总的分数，求?的期望。
（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B?5,?.在5次射击中，恰有
2次击中目标的概率P???2?3?40 243（2）解：由题意可知，?的所有可能取值为0,1,2,3,6
1?1? P(??0)?P(A1A2A3)????
327??3P(??1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
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2?1?121?1?22 =???????????
3?3?333?3?392124P(??2)?P(A1A2A3)????
33327228?2?11?1?P(??3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?????????
?3?33?3?278?2?所以?的分布列是 P(??6)?P(A1A2A3)?????3?27322
E??86 2718. （文）（本小题满分12分） 某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：
日 期 4月1日 温 差 10 感染数 23 4月2日 13 32 4月3日 11 24 4月4日 12 29 4月5日 7 17 （1）求这5天的平均感染数；
（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x,y用(x,y)的形式列出所有的基本事件, 其中(x,y)和(y,x)视为同一事件,并求|x?y|?9的概率． 19. 解：（1）这5天的平均感染数为
23?32?24?29?17?25； --------3分
5（2）(x,y)的取值情况有(23,32),(23,24),(23,29),(23,17),(32,24),(32,29),
(32,17),(24,29),(24,17),(29,17)基本事件总数为10。 --------8分
设满足|x?y|?9的事件为A。
则事件A包含的基本事件为(23,32),(32,16),(28,16)， --------10分 所以P(A)?19.如图
33．故事件|x?y|?9的概率为． --------12分 10105，在椎体P?ABCD中，ABCD是边长为
1
的菱形，且
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?DAB?600,PA?PD?2,PB?2,E,F分别是BC,PC的中点，
（1） 证明：AD?平面DEF （2）求二面角P?AD?B的余弦值。
【解析】法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。
因PA=PD，有PG?AD，在?ABD中，AB?AD?1,?DAB?60?，有?ABD为等边三角形，因此BG?AD,BG?PG?G，所以AD?平面PBG?AD?PB,AD?GB.
又PB//EF，得AD?EF，而DE//GB得AD ?DE，又FE?DE?E，所以AD ?平面DEF。
（2）?PG?AD,BG?AD，??PGB为二面角P—AD—B的平面角，
在Rt?PAG中,PG?PA?AG?2227 4在Rt?ABG中,BG=AB?sin60?=3 2
73??4PG?BG?PB21 ?cos?PGB??44??2PG?BG7732??22222
法二：（1）取AD中点为G，因为PA?PD,PG?AD.
又AB?AD,?DAB?60?,?ABD为等边三角形，因此，BG?AD，从而AD?平面PBG。
延长BG到O且使得PO ?OB，又PO?平面PBG，PO ?AD，AD?OB?G, 所以PO ?平面ABCD。
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以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴，z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系。
设P(0,0,m),G(n,0,0),则A(n,?,0),D(n,,0).
1212
????????3 ?|GB|?|AB|sin60??2?B(n?3331n31m,0,0),C(n?,1,0),E(n?,,0),F(?,,). 22222422
????????????3n3m由于AD?(0,1,0),DE?(,0,0),FE?(?,0,?)
2242
????????????????得AD?DE?0,AD?FE?0,AD?DE,AD?FE,DE?FE?E?AD?平面DEF。
????????13 （2）?PA?(n,?,?m),PB?(n?,0,?m)
22
?m2?n2?1323?2,(n?)?m2?2,解之得m?1,n?. 422取平面ABD的法向量n1?(0,0,?1),设平面PAD的法向量n2?(a,b,c)
由
????????3b3bPA?n2?0,得a??c?0,由PD?n2?0,得a??c?0,22223). 2?取
n2?(1,0,
32??21. ?cos?n1,n2??771?4913an??3n?1?，n?N? 88820． 设数列?an?的前n项的和Sn?（1）求首项a1与通项an；
(2)设bn?2?log3(9?an)，cn?tanbn?tanbn?1,求数列{cn}的前n项和Tn. 解：（I）a1?S1?n913a1??32?，解得：a1?6??????????2分 888高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！
由a9n?Sn?Sn?1?a9a1?118n?8n?1?8?3n?8?3n ， 得an?3n?9(a?1n?1?3n) ， 即an?9n?3n。?????????6分
（2）cn?tanbn?tanbn?1?tan(n?2)?tan(n?3)，n?1?????????8分
又?tan[(n?3)?tan(n?2)]?tan(n?3)?tan(n?2)1?tan(n?2)?tan(n?3)?tan1
?tan(n?2)?tan(n?3)?tan(n?3)?tan(n?2)tan1?1?????????9分
所以数列{cn}的前n项和为
Tn?tan(1?2)?tan(1?3)?tan(2?2)?tan(2?3)?……?tan(n?2)?tan(n?3)?tan(1?3)?tan(1?2)tan1?tan(2?3)?tan(2?2)tan1?……?tan(n?3)?tan(n?2)tan1?n??
?tan(n?2)?tan3tan1?n??????12分
21.已知m＞1，直线l:x?my?m2x22?0，椭圆C:m2?y2?1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，?AF1F2，?BF1F2的重心分别为G,H.若原点
O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
（Ⅰ）解：因为直线l:x?my?m22?0经过F2?1,0)，所以m2?1?m22(m2,得
m2?2，又因为m?1，所以m?2，故直线l的方程为x?2y?1?0。
?x?mym2,y?（Ⅱ）解：设A(x??2，消去x得2y2?my?m211),B(x2,y2)。 由??x2?1?0 ??m2?y2?14 则由2??m2?8(m?1)??m2?8?0，知2?8，且有ymm24m1?y2??2,y1?y2?8?12。 由已知，点O在以GH为直径的圆内，???OG??????OH?0,即x1x2?y1y2?0
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m2m2m21m212)(my2?)?y1y2 ?(m?1）(?)所以而x1x2?y1y2?(my1???0 2282822即m?4又因为m?1且??0所以1?m?2。所以m的取值范围是(1,2)。
22．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?ax2?ln(x?1)．
1（1）当a??时，求函数f(x)的单调区间；
4（Ⅱ）当x?[0,??)时，不等式f(x)?x恒成立，求实数a的取值范围． （文）（Ⅲ）利用ln(x?1)?x，求证：
??2482n*ln?(1?)(1?)(1?)???[1?n?1]??1（其中n?N，e是自然n2?33?55?9(2?1)(2?1)??对数的底数）．
2482n)(1?)(1?)???[1?n?1]?e（其中n?N*，e是（Ⅲ）求证：(1?n2?33?55?9(2?1)(2?1)自然对数的底数）．
1122．解析：（Ⅰ）当a??时，f(x)??x2?ln(x?1)（x??1），
4411(x?2)(x?1)f?(x)??x???（x??1），
2x?12(x?1)由f?(x)?0解得?1?x?1，由f?(x)?0解得x?1．
故函数f(x)的单调递增区间为(?1,1)，单调递减区间为(1,??)． ······· 4分 （Ⅱ）因当x?[0,??)时，不等式f(x)?x恒成立，即ax2?ln(x?1)?x?0恒成立，设，只需g(x)max?0即可． ········· 5分 g(x)?ax2?ln(x?1)?x （x?0）
1x[2ax?(2a?1)]， ?1?x?1x?1?x（ⅰ）当a?0时，g?(x)?，当x?0时，g?(x)?0，函数g(x)在(0,??)上单调递减，
x?1故g(x)?g(0)?0 成立． ························ 6分
x[2ax?(2a?1)]1（ⅱ）当a?0时，由g?(x)??0，因x?[0,??)，所以x??1，
x?12a11①若?1?0，即a?时，在区间(0,??)上，g?(x)?0，则函数g(x)在(0,??)上单调
2a2递增，g(x)在[0,??) 上无最大值（或：当x???时，g(x)???），此时不满足条件；
1111②若?1?0，即0?a?时，函数g(x)在(0,?1)上单调递减，在区间(?1,??)上
2a22a2a单调递增，同样g(x) 在[0,??)上无最大值，不满足条件． ·········· 8分
x[2ax?(2a?1)]（ⅲ）当a?0时，由g?(x)?，∵x?[0,??)，∴2ax?(2a?1)?0，
x?1∴g?(x)?0，故函数g(x)在[0,??)上单调递减，故g(x)?g(0)?0成立． 由g?(x)?2ax?高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！
综上所述，实数a的取值范围是(??,0]． ················ 10分 （Ⅲ）据（Ⅱ）知当a?0时，ln(x?1)?x在[0,??)上恒成立 ········ 11分 2n11?2(?)， 又n?1(2?1)(2n?1)2n?1?12n?12482n)(1?)(1?)???[1?n?1]} ∵ln{(1?2?33?55?9(2?1)(2n?1)2482n?ln(1?)?ln(1?)?ln(1?)???ln[1?n?1]
2?33?55?9(2?1)(2n?1)2482n??????n?12?33?55?9(2?1)(2n?1)1111111111?2[(?)?(?)?(?)???(n?1?n)] ?2[(?n)]?1，∴
2335592?12?122?1n2482(1?)(1?)(1?)???[1?n?1]?e． ··········· 14分
2?33?55?9(2?1)(2n?1)高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！