高考数学专题复习 函数测试题
?12?x?3x?2,x?[0,2)?1、（本小题满分13分）已知函数f( x)??2??2x?10,x[2,??)?
（1）在下面所给坐标系中画出y?f(x)的图象； （2）若f(x)?,求x的取值范围。
29
2、（本小题满分13分）函数f， (x)?(1?a)x?3(1?a)x?6（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. （2）若f(x)的定义域为[－2，1]，求实数a的值. 3、（本小题满分14分）已知函数f(x)?ax?1(a?1)
a?1x22
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断其单调性；（3）求其值域。
4、（本题满分13分）已知f(x的反函数为f)?2?1(1)若f(x)?g(x)，求x的取值范围D；
(x)?g(x)?f(x)(2)设函数H，当x?D时，求函数H(x)的值域.
21?1x?1. (x)?log(3x?1)(x)，g4?1
5、（本题满分13分）已知函数f(x)的图象与函数h(x)?x??2的图象关于点A（0，1）
x1对称.（1）求函数f(x)的解析式（2）若g(x)=f(x)+小于6，求实数a的取值范围. 6、（本题满分14分）已知函数f(x)?集是[?2，?1]?[2，4]ax，且g(x)在区间（0，2]上的值不
x?cax?b2为奇函数，
f(1)?f(3)，且不等式0?f(x)?32的解
．
（1）求a，b，c．
2（2）是否存在实数m使不等式f(?2?sin?)?m?对一切??R成立？若存在，求出
32m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
7、（本题满分12分）把函数y?lnx?2的图象按向量a?(?1,2)平移得到函数
（1）若x?0证明：f(x)?2xx?2f(x)的图象。
。
（2）若不等式
1222x?f(x)?m?2bm?3对于x? [?1,1]恒成立，求实数m的取值范围。[?1,1]及b?2
8、（本题满分14分）已知函数f(x)?axx?b2，在x?1处取得极值为2。
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间（m，2m＋1）上为增函数，求实数m的取值范围； （Ⅲ）若P（x0，y0）为f(x)?axx?b2图象上的任意一点，直线l与f(x)?axx?b2的图
象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.
9、（本题满分14分）已知函数f(x)?lnx?ax(a?R).
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ) 当a >0时，求函数f(x)在[1,2]上最小值.
210.是否存在实数a，使函数f为奇函数，同时使函数()x?logx?x?2?a2???1?（12分） g(x)?x?x?a?为偶函数，证明你的结论。
1?a??
11. 设定义在R上的偶函数f(x)又是周期为4的周期函数，且当x∈[－2，0]时f(x)为增函数，若f??2??0，求证：当x∈[4，6]时，| f(x)|为减函数.（12分）
x12．已知f(x的反函数为f)?2?1?1. (x)?log(3x?1)(x)，g41(1)若f?(x)?g(x)，求x的取值范围D；
?1(2)设函数H，当x?D时，求函数H(x)的值域.（12分） (x)?g(x)?f(x)12x?x13．设函数f()(a为实数).（1）若a<0,用函数单调性定义证明:y?f(x)在x?2??a2?1(??,??)上是增函数; （2）若a=0,y?g(x)的图象与y?f(x)的图象关于直线y=x对称,
求函数y?g(x)的解析式.（12分）
14．已知y?f(x)是偶函数，当x?0时，f(x)?x?(a?0)，且当
xax?[?3,?1]时，
恒成立， n?f(x)?m（理科生做）求m?n的最小值．（文科生做）若a≥9，求m?n的最小值．（13分）
15．已知函数f(（1）若f(xx)?2ax?2,x?(0,1],)在x(0,1]是增函数，求a的取值范围;
x1（2）求f(x)在区间(0,1]上的最大值.（13分） 16．（本小题满分12分）
2 已知函数f满足f((x)?x?(lga?2)x?lgb?1)??2且对于任意x?R, 恒有f(x)?2x成立.
（1）求实数a,b的值; （2）解不等式f(. x)?x?517（本小题满分12分）
20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：
蔬 菜 棉 花 每亩需劳力 12每亩预计产值 1100元 750元 13
水 稻 14 600元 问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？ 18．（本小题满分12分）
2已知函数f (x)?ax?bx?1 (a,b为实数),x?R,f(x) (x?0)? F(x)?? ?f(x) (x?0)? （1）若f(?1)?0,且函数f(x)的值域为[0, ??),求F(x)的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当x是单调函数, 求实数k的取值?[?2, 2]时, g(x)?f(x)?kx范围;
（3）设m, m?n?0?n?0,a?0且f(x)为偶函数, 判断F(m)＋F(n)能否大于零? 19．（满分12分）
已知定义域为R的函数f（x）满足f[f（x）－x2+x]=f（x）－x2+x. （1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;
（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0-）= x0,求函数f（x）的解析表达式. 20．（本小题满分12分）
2设函数f(x)?x?4x?5.
（1）在区间[?2,6]上画出函数f(x)的图像；
???xf(x)?5,B?(??,?2]?[0,4]?[6,??) （2）设集合A. 试判断集合A和B
之间的关系，并给出证明；
（3）当k?2时，求证：在区间[?1,5]上，y?kx?3k的图像位于函数f(x)图像的 上方.
21．（本小题满分14分）
2设a为实数，记函数f的最大值为g（a）. (x)?a1?x?1?x?1?x?x?1?x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t） （1）设t＝1；
（2）求g（a）；
（2）试求满足g(a)?g()的所有实数a．
a1 参考答案
1、解：（1）函数图象如右图。…………………7分
A,B两点 （2）作直线y?交图象于2?[0,2)且?x?3x?2?得x?1,由x
22?[2,??)且?2x?10?得x?.由x
249119?A(1,),B(,).
242)?的x取值范围为(1,)………………13分 由图象知f(x249119111299
?a?0,即a??12、解:（1）①若1，
2
1）当a=1时，f(x)?6，定义域为R，适合；
2）当a=－1时，f(x)?6x?6，定义域不为R，不合；
222②若1为二次函数， ?a?0,g(x)?(1?a)x?3(1?a)x?6恒成立， g(x)?0对x?R?f(x)定义域为R，?2?1?a?0?1?a?1?5?； ?????a?1??22(a?1)(11a?5)?011???9(1?a)?24(1?a)?0??综合①、②得a的取值范围[?511,1] ------------6分
22（2）命题等价于不等式(的解集为[－2，1]， 1?a)x?3(1?a)x?6?02显然1?a?0
、x2?1是方程(的两根， ?1?a?0且x??21?a)x?3(1?a)x?6?01
??a??1或a?1a??1或a?1??3(a?1)?2??x?x???1?a?3a?2?0，解得a的值为a=2. ------13分 ?1?221?a??2a?4?6??x2???21?x21?a?2223、（1）定义域为R：
∴
f(x)a?1(a?1)a1?af(??x)?????fx()， x?xxxa?1(a?1)a1?a?x?xxx是奇函数。 ………………4分
xx（2）
a?1a?12?2f()x?x?x?1?x
a?1a?1a?1?ax当a>1时y∴
f(x)在R上是增函数，y?2a?1x是减函数，∴y??2a?1x是增函数，
在R上是增函数。 ………………9分
21xx f(x)1??,?a?0,?a?1?1,?0??1,xxa?1a?12（3）由
∴0?x22?2,??2??x?0,??1?1?x?1，即值域为(?1,1)a?1a?1a?1。…………14分
?1x4、解：(1)∵f(x，∴f( (x＞-1) )?2?1x)?log(x?1)2由f?1(x)≤g（x） ∴??0?x?12，解得0≤x≤1 ∴D＝［0，1］…………… 6分
(x?1)?3x?1?(2)H（x）＝g（x）－
113x?112?1 f(x)?log?log(3?)2222x?12x?1∵0≤x≤1 ∴1≤3－
2x?1≤2
∴0≤H（x）≤5、
12 ∴H（x）的值域为［0，
12］ ………………………12分
解：（1）设f(x)图象上任一点坐标为(x,y)，点(x,y)关于点A（0，1）
的对称点(?x,2?y)在h(x)的图象上………… 3分
111即f(x)?x? …… 6分 ?2?y??x??2,?y?x?,?xxx （2）由题意 g(x)?x?a?1x ，且g(x)?x?a?1 ?6x∵x?（0，2] ∴ a，即a，………… 9分 ??x?6x?1?1?x(6?x)令q，x?（0，2]，q， (x)??x?6x?1(x)??x?6x?1＝－(x?3)?82222(x)max?7 ∴x?（0，2]时，q …11′∴ a?7 ……………… 12分 ?方法二：q， (x)??2x?6?(xx?（0，2]时，q )?0(x)max?7即q(x)在（0，2]上递增，∴x?（0，2]时，q ∴ a?7
6、解：（1）∵
(?x)?cx?c∴??，解得b?0. f(x)?为奇函数，a(?x)?bax?bax?b32x?c2221分
∵0?f(x)? 的解集中包含2和－2，∴?2)?0?f(22)＝?f(2)?0?f(?
2?c即得f( 2分 ＝?42)?0?,所以c2a∵f ∴??，所以a?0. 3分 (1)?f(3)，f(1)??,f(3)??,a3a3535a3a
下证：当a>0时，在（0，+∞）上f(x)?在（0，+∞）内任取x1，x2，且x1 x?4ax2是增函数。 12那么f (x)?f(x)?????(x?x)(1?)?01212x4x414aaxaaxa12xx12x?4即f 5分 (x)?f(x),?当a?0时，在（0,??）上f(x)?是增函数12ax34?4所以，f (2)0(＝，f4)??，解得a?2.24a22x?4综上所述：a 6分 ?2,b?0,c??4,f(x)?2x2（2）∵f(x)?x?42x2∴f(x)?为奇函数，x?42x2在（－∞，0）上也是增函数。7分 32又? ∴f 而m2??, 3??2?sin???1,(?3)?f(?2?sin?)?f(?1)?,222所以，m为任意实数时，不等式f 12分 (?2?sin?)?m?对一切??R成立3332xln(x?1)，令g7、解：（1）由题设得f?(x)?fx()???2'2x2x则?ln(x?1)?,x?2x?212(x??2)2xx'g(x)???.?x?0,?gx()?0,?g(x)在?0,???上是增22x?1(x?2)(x?1)(x?2)函数。故g即f()x?g(0)?0,（2）原不等式等价于 ?x??2xx?2。 1222x?f(x)?m?2bm?3。 232xx?x11'2222(x)?x??(x)?x?fx()?x?ln(1?x),令h则h。 22221?x1?x令h(x)?0,得x列表如下（略） ?0,x?1,x??1.',1,?m?2bm?30?。 ?当x???1?时，h(x)max?022?Q(1)?m?2m?3?0?()b??2mbm??3,令Q则?解得m??3或m?3。 2Q(?1)?m?2m?3?0??2a(x?b)?ax(2x)f'(x)?8、解：（Ⅰ）已知函数f(x)?2，? 22(x?b)x?bax2 ?f'(1)?0又函数f(x)在x?1处取得极值2，?? ?f(1)?2 a(1?b)?2a?0?a?4?4x?即?a ?f(x ?)?2?x?1b?1?2??1?b?2 24(x?1)?4x(2x)4?4x2（Ⅱ）?由f'(x，?4x?0)?0，得4f'(x)??2222(x?1)(x?1)即? 1?x?1所以f(x)?4x2x?1的单调增区间为（－1，1） 因函数f(x)在（m，2m＋1）上单调递增， ?m??1?则有?2m?1?1， ??2m?1?m解得?即m时，函数f(x)在（m，2m＋1）上为增函数 1?m?0?(?1，0]4xf(x)?（Ⅲ）?2x?14(x?1)?4x(2x)?f'(x)? 22(x?1)2224(x?1)?8x00?f'(x)?直线l的斜率k…………９分 022(x?1)0 即k?4[112 令， 则 ?]?t，t?(0，1]k?4(2t?t)，t?(0，1]2222(x?1)x?1x?1000211?k?[?，4] 即直线l的斜率k的取值范围是[?，4] 2219、解： (Ⅰ) f?(x)??a(x?0), x1①当a ≤ 0时，f?(x)??a>0， x 故函数f(x)增函数，即函数f(x)的单调增区间为(0,??)． ②当a?0时，令f?(x)??a?0，可得x?x11a, 1?axx?0， 当0?x?1a时，f?(x)?1?axx?0；当x?11a时，f?(x)?1a故函数f(x)的单调递增区间为(0,],单调减区间是[,??). a(Ⅱ)①当 1a?1,即a?1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数, ∴f(x)的最小值是f(. 2)?ln2?2a②当 1a?2，即a?121时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数， ∴f(x)的最小值是f(1)??a. ③当1?1a2又f， (2)?f(1)?ln2?a?2，即?a?1时，函数f(x)在[1,1a]上是增函数，在[1a,2]是减函数． ∴当 ?a?ln2时,最小值是f(1)??a； 2当l时,最小值为f(. n2?a?12)?ln2?2a1综上可知,当0时, 函数f(x)的最小值是f(x当a?ln2时，函数f(x)?a?ln2)??a；min的最小值是f. ()x?ln22?amin1log2?a?0?a?10．解：f(x)为奇函数，所以f（0）＝0，得。 22 若g（x）为偶函数，则h（x）＝ h(－x)+h（x）＝0??x11a?1x?a为奇函数， 1??ax??a0 a?1a?1xa11?2a???2a1??a? xxa?1a?12∴存在符合题设条件的a＝。 11. 解：在[4，6]内任取x1、x2，设4≤x1 ??2??x?4??x?4?0,21?f(x)在[?2,0]内为增函数,?f(?x?4)?f(?x?4)?f(?2)?0,12?f(x?4)?f(x),?f(?x)?f(x),?f(?x)?f(?x)?0,12?f(x)?f(x)?0,12 ?当4?x?x?6时,有|f(x)|?|f(x)|?f(x)?f(x)?0,121212即|f(x)|?|f(x)|,故当x?[4,6]时,|f(x)|为减函数.1212．解：(1)∵f(x，∴f( (x＞-1) )?2?1x)?log(x?1)2?1x?1由f?0?x?1(x)≤g（x） ∴?，解得0≤x≤1 ∴D＝［0，1］ 2(x?1)?3x?1? (2)H（x）＝g（x）－∵0≤x≤1 ∴1≤3－∴0≤H（x）≤ 12113x?112?1 f(x)?log?log(3?)2222x?12x?12x?1≤2 12 ∴H（x）的值域为［0， ］ 1122x?xx?x13．解： (1)设任意实数x1?x2,则f (x)(??fx)(22?a??1)?(2?a?2?1)12(2?2)??(2?2)?a(2?2)?x1x2?x1?x2x1x221x?x2?a2xx1?2 xxxxx?x ?. x?x,22??,2??20?;?a??0,2??a012121212 又2x1?x2,所以f(x)是增函数. x)?f(x)?0?0,所以f(12x (2)当a?0时,y?f(,所以2x?y?1, 所以x)?2?1x?log(y?1),y?g()x?log(x?1)。 2214．解：因为f(x)是偶函数，且x>0，f(x)?x?， xx)?f(?x)??x? x?0，f(所以x<0时，?xaa因为f(x)在(??,?a)单调递减，在(?a,0)单调递增 x??2a，当且仅当x??a时取等号． 因为x??[3,?1]，所以y??x3时，y?3?而x??aa31时，y?1?a ；x???a?1，m?3?1?若0a3?n??a?2 1?a，n?，m3a32?a?3，所以f(x)在[?3,?1]上最大值为3?2?若1，最小值为2a a3)?3?，n?2a，所以m?n?3?2a? 所以m?f(?33?n?1?a?2a ?1?a3?若3?a?9，m，n?2a，则ma ?3)?3?，m?n? 4? 若a?9，m，n?f(?f(?1)?1?a3a2a3?2 ?????3?? 所以m?n???1?????23a3a?2,0?a?1?2a,1?a?3a,3?a?9 a?223a?2,a?9(当(m?n)?4?23mina=3时取最小值) a3?3)?3?， （文科生做）参考上面解答可知：若a?9，m，n?f(?f(?1)?1?a2a2，((当a=9时取最小值) m?n)?4m??n??2???924min33??15．解：（1）f (x)?2a?,?命题等价于f(x)?0对x?(0,1]恒成立,即3x211a??3,而g(x)??3在x?(0,1]为增函数,xx?a?[g(x)]?g(1)??1,max2(1?x)?而当a??1时,f?(x)?,?当x?(0,1)时,f?(x)?0,3x?f(x)在(0,1]也是增函数;3 综上，a的取值范围是a??1. a??1时,?f(x)在(0,1]为增函数,?[f(x)]?f(1)?2a?1;（2）①当 max211?②当a ??1时,令f(x)?2a??0得x???1,???(0,1],333xaa且f?(x)的值在x??13处左正右负,a13 2316． ?（当1） ?由?知, …①f(?1)??2,lg?lga1?0,a1时,[f(x)]?fb(?)???3a. ∴maxaab22x?x?lga?lgb?0?(lga)?4lgb?0恒成立,故?． 22?10.…②又f(x)?2x恒成立, 有 a)?2lgb?1?0b?1)?0,故lgb?1． 将①式代入上式得:(lg, 即(lg 即b?10, 代入② 得,a?100． （2）f( ∴x?x)?x?4x?1, f(4x?1?x?5,3x?4?0, x)?x?5,即x?解得: ?, ∴不等式的解集为{． 4?x?1x|?4?x?1}17．设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u， 111 依题意得x+y+z=50，x?y?z?20，则u=1100x+750y+600z=43500+50x. 234 ∴ x?0,y=90－3x?0,z=wx－40?0,得20?x?30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20. ∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元． ∴?a?0 ∴ 222, ∴b, b∴f. ?2, a?1(x)?x?2x?1?(x?1)?4(b?1)?022218 （1） ∵f(恒成立, ?1)?0, ∴a?b?1?0,又x?R, f(x)?0?2??b?4a?0?2?(x?1) (x?0) ?F(x)??2??(x?1) (x?0)? （2） 则g (x)?f(x)?kx?x?2x?1?kx?x?(2?k)x?12222?k2(2?k), ?(x?)?1?24k?2k?2当时, g(x)是单调函数. ?2或?2??2时, 即k?6或k?22ax?1 (x?0), ? （3） ∵f(x)是偶函数∴f(x)?ax?1,F(x)?2?2?2??ax?1 (x?0)? ∵m ?n?0,设m?n?0, m??n?0,?n,则n?0.又m ∴|m| ? |?n|F(m)＋F(n) ?,∴F(m)＋F(n)能大于零. f(m)?f(n)?(am?1)?an?1?a(m?n)?079．（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2. 又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1. 若f（0）=a，则f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A． （2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f（x0）－ x0. 所以对任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0. 在上式中令x= x0,有f（x0）－x0 + x0= x0, 又因为f（x0）－ x0，所以x0－ x0=0，故x0=0或x0=1. 若x0=0，则f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质， 故x2≠0. 若x2=1,则有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f（x）= x2 –x+1（x?R）. 20．（1） （2）方程f(x)?5的解分别是2?和2?14,0,4 14， 222222?,?1]和[2,5]上单调递减， 由于f(x)在(?,2]和[5,??)上单调递增，因此 在[?1 A. ???,2?14?[0,4]?2?14,?? ???? 由于2. ?14?6,2?14??2,?B?A22 （3）[解法一] 当x. g x)??x?4x?5(x)?k(x?3)?(?x?4x?5)?[?1,5]时，f(22?k20k?36?4?k? ?， x?(k?4)x?(3k?5)?x????2?2?4 ?k?2,?4?k2， 1?x?5?1. 又? ① 当?1?4?k22时，取x??k?6?1，即24?k2， k?20k?3612 g(x)min?. ?????k?10?6444 ?， 则g. 16?(k?10)?64,?(k?10)?64?0(x)?0min ② 当 22??4?k21， g(x)min＝2k?0. ??1，即k?6时，取x?? 由 ①、②可知，当k?2时，g(x)?0，x?[?1,5]. 因此，在区间[?1,5]上，y?k(x?3)的图像位于函数f(x)图像的上方. [解法二] 当x. x)??x?4x?5?[?1,5]时，f(2y?k(x?3),?2由? 得x?， (k?4)x?(3k?5)?02x?4x?5,?y?? 令 ?，解得 k?2或k?18， ?(k?4)?4(3k?5)?0在区间[?1,5]上，当k?2时，y?2(x?3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8)； 当k?18时，y?18(x?3)的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线y?k(x?3)过点(?3,0)，当k?2时，直线y?k(x?3)是由直线 2y?2(x?3)绕点(?3,0)逆时针方向旋转得到. 因此，在区间[?1,5]上，y?k(x?3)的图像 位于函数f(x)图像的上方. ?x?1?x?x?0?x?01?x?121．（1）∵t?1，∴要使t有意义，必须1且1，即? 2?21?x?[2,4]∵t?，且t?0……① ∴t的取值范围是[2,2]。 ?x?t?1(t)?a(t?1)?t?由①得：1，∴m2222212121at?t?a，t?[2,2]。 22 2 （2）由题意知g(a)即为函数m(t)?1at?t?a，t?[2,2]的最大值， 2∵直线t??1a是抛物线m(t)?1at?t?a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： 221）当a?0时，函数y?m(t)，t?[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段， 由t??1a?0知m(t)在t?[2,2]上单调递增，故g(a)?m(2)?a?2； 2）当a?0时，m(t)?t，t?[2,2]，有g(a)=2； 3）当a?0时，，函数y?m(t)，t?[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段， 若t??1a1a1?(0,2]即a??222时，g(a)?m(2)?2， 若t??若t???(2,2]即a?(?111时，， ?m(?)??a?g(a),?]a2a221． ?(2,??)即a?(?,0)时，g(a)?m(2)?a?22a1(a??)2． 21,(??a??)222(a??)2??a?2综上所述，有g(a)=?1???a?2a??2?? （3）当a??12时，g(a)?a?2?32?2； 当?12112??(,1]?a??时，，，∴， ?a?[,)?a??2a22a22222111，故当a??g(a)??a??2(?a)?(?)?22a2a22时，g(a)?2； 当a?0时， 111?0，由g(a)?g()知：a?2??2，故a?1； aaa1a?1，故a??1或 11??1，从而有g(a)?2或g()?aa2， 当a?0时，a? 要使g(a)?g(此时，g(a)?1a)，必须有a??2，12a??2， 2，即 ?2?a??2212?g()。 a12综上所述，满足g(a)?g()的所有实数a为：?2?a??或a?1． a2