安徽省无为县2018届高三数学上学期第一次月考试题 理
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21．集合A?x|x?2x?0，B?xx?2则( )
????A.A?B?? B.A?B?A C.A?B?A D.A?B?R
2已知复数m?4?xi，n?3?2i，若复数A.?6
B.6
n?R，则实数x的值为（ ） m8C. ?
3
8D.
33.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A.2?C.4?
4.已知等边?ABC与等边?DEF同时内接于圆O中，且BC//EF，若往圆O内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）
?2
B.2?D.4??3
?3?2
A．
3? B．
3? C．
32? D．
64?
5.已知等比数列A.2
?an?，且a6?a8?4，则a?a84?2a6?a8?的值为（ ）
C.8
D.16
B.4
6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人
三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S?1.5（单位：升），则输入k的值为（ ）
A．4.5
B．6
C．7.5
D．9
7．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为p(,y)，则sin(A．?12?2?2a)=（ ）
113 B． C．? D．1 222?2x?y?3?0,x?y?8、设x，y满足约束条件?2x?2y?1?0,若的最大值为2，则a的值为（ ）
x?y?x?a?0,?1135 B． C． D． 2489????????????????????????????9、已知向量OA?3，OB?2，OC?mOA?nOB，若OA与OB的夹角为60°，且
A．
????????mOC?AB，则实数的值为（ ）
n11A. B. C. 6
6410．函数f(x)?立的是( ）
D. 4
ax?b的图象如图所示，则下列结论成
(x?c)2A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
11.四面体A?BCD中，AB?CD?10，AC?BD?234，AD?BC?241，则四面体A?BCD外接球的表面积为（ ）
A.50? B.100? C.200? D.300?
?1?1, ?1 ?x2?3x?2, 0 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 213、已知函数f(x)?x?2xsin(，） B．（﹣∞，]∪（，+∞） C．[，） D．[， ?2x)?1的两个零点分别为m、n（m＜n），则 = 14.已知数列?an?为等差数列，?bn?为等比数列，且an?0,bn?0，记数列?an?bn?的前nn?项和为Sn，若a1?b1?1,Sn??n?1??3?1n?N，则数列????an?25??的最大项为第b?n?_______项. 15.若?x?y?1??2x?y?a?的展开式中各项系数的和为32，则展开式中只含字母x且x35的次数为1的项的系数为________ x2y216.已知双曲线C:2?2?1的右焦点为F，过点F向双曲线的 ab?????????一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MF?FN，则双曲线的离心 率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+sinC=sinB﹣sinAsinC． （1）求B的大小； （2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2 ，BD=1，求sin∠BAC的值． 2 2 2 B D C 18、（本小题满分12分） 2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 满意度等级 低于60分 不满意 60分到79分 基本满意 80分到89分 满意 不低于90分 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有680人． （Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率； 1 （Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不 3满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X)； 19（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD， ∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点． （1）求证：CE∥平面SAD； （2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小． 20.（本小题满分12分）已知A是抛物线y2?4x上的一点，以点A和点B(2,0)为直径的圆C交直线x?1于M，N两点，直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点． （Ⅰ）求线段MN的长； ?????（Ⅱ）若??? OP?OQ??3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程． 21．（本小题满分12分）函数f（x）=lnx+（1）讨论f（x）的极值点的个数； +ax（a∈R），g（x）=e+ x ． （2）若对于?x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：对于?x＞0，不等式e+x﹣（e+1）x+ x 2 ＞2成立． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分10分）． 22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 1??x??tcos?位，已知直线l的参数方程为?，（t为参数，0????），曲线C的极坐标方程2??y?tsin?为?sin2??2cos??0. （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当?变化时，求AB的最小值. 23.已知函数f?x??x?5?x?2. （1）若?x?R，使得f?x??m成立，求m的范围； （2）求不等式x2?8x?15?f(x)?0的解集 高三数学（理科）参考答案选择题 一、1-5 BCACD 6-10 BACAC 11-12CC 二、填空题 13? 14.14 15.-7 16.2323 三、解答题 17.解：（本小题满分12分） （1）在△ABC中，∵sin2A+sin2C=sin2 B﹣sinAsinC， ∴a2+c2=b2﹣ac，? ∴cosB= =﹣ =﹣ ，? ∵B∈（0，π），? ∴B= ．? （2）在△ABD中，由正弦定理： ∴sin∠BAD===，? ∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2×=，? ，∴sin∠BAC===． ? 18. 解： (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)1 ＝1，所以a＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝.又市民的满意度评分相互 4独立， 18967 故所求事件的概率P＝1－＝.6分 256256 1 (2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×＝5人，从15人中选取3名 3C1024 整改督导员的所有可能情况为C，由题知X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝3＝，P(XC1591 315 3 C5C1045＝1)＝3＝， C1591 C5C1020C52 P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝， C1591C1591 21 3 12 X分布列为 X P 所以E(X)＝0× 19【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD， ∵E是边SB的中点， ∴EF∥AB，且EF= AB， 0 24 911 错误!2 错误!3 2 912445202＋1×＋2×＋3×＝1.8分 12分 91919191 又∵∠ABC=∠BCD=90°， ∴AB∥CD， 又∵AB=2CD，且EF=CD， ∴四边形EFDC是平行四边形， ∴FD∥EC， 又FD?平面SAD，CE?平面SAD， ∴CE∥面SAD． 解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM， 又SA⊥平面ABCD， 以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1）， 则 =（0，2，0）， =（﹣1，0，1），=（x，y，z）， ，取x=1，得=（0，1，2）， = ， =（1，0，1）， =（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1）， 设面BCE的一个法向量为则 同理求得面DEC的一个法向量为cos＜ ＞= 由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角， ∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣ ． .. y02y02,y0)，圆C方程为(x?2)(x?)?y(y?y0)?0， 20. 解：（20.解：（Ⅰ）设A(44y02y02?1?0，∴yM?yN?y0，yMyN??1， 令x?1，得y?y0y?442y02|MN|?|yM?yN|?(yM?yN)?4yMyN?y0?4(?1)?2． 422（Ⅱ）设直线l的方程为x?my?n，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则 由??x?my?n,2?y?4x,消去x，得y2?4my?4n?0， y1?y2?4m，y1y2??4n， ????????(y1y2)2?y1y2??3， ∵OP?OQ??3，∴x1x2?y1y2??3，则 16∴n2?4n?3?0，解得n?1或n?3， 当n?1或n?3时，当B(2,0)到直线l的距离d?11?m2， y021∵圆心C到直线l的距离等于直线x?1的距离，∴， ?281?my02?242y0?644?64，求得y02?8， 又m?，消去m得y0?y016y02?2?0，直线l的方程为x?3， 此时，m?4y0综上，直线l的方程为x?1或x?3． 21.解：（1）由题意得f'（x）=x+ +a= ， 当a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，无极值点； 当a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2时， ①a＜﹣2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，不妨设x1＜x1，x2， 则x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故0＜x1＜x2， ∴x1，x2是函数的两个极值点． ②a＞2时，设方程x+ax+1=0两个不同实根为x1，x2， 则x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x1＜0，x2＜0， 故函数没有极值点． 综上，当a＜﹣2时，函数有两个极值点； 当a≥﹣2时，函数没有极值点． （2）（i）f（x）≤g（x）等价于e﹣lnx+x≥ax， 由x＞0，即a≤设φ（x）= 对于?x＞0恒成立， （x＞0）， x 2 2 φ′（x）= ∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减， x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增， ∴φ（x）≥φ（1）=e+1， ∴a≤e+1． （ii）（ ii）由（ i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x）， 即：ex+ x ， x2≥lnx+ 2 x2+（e+1）x， 等价于e+x﹣（e+1）x≥lnx?①当且仅当x=1时取等号， 以下证明：lnx+设θ（x）=lnx+ ≥2， ，则θ′（x）= ﹣ = ， ∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减， x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增， ∴θ（x）≥θ（e）=2， ∴lnx+ ≥2，②当且仅当x=e时取等号； x 2 由于①②等号不同时成立，故有e+x﹣（e+1）x+ ＞2． 22.解：（I）由?sin2??2cos??0，得?2sin2??2?cos?. ??4分?曲线C的直角坐标方程为y2?2x ??5分