2．2.1 直线的参数方程
[对应学生用书P25]
[读教材·填要点]
1．直线的参数方程：经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?x＝x0＋tcos α，
?(t为参数)． y＝y＋tsin α，?0
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
2．过点M0(x0，y0)且与平面向量a＝(l，m)平行的直线l的参数方程为?x＝x0＋lt?t∈R y＝y＋mt?0
当M0M―→与a同向时，t取正数；当M0M―→与a反向时，t取负数． [小问题·大思维]
π
1．经过点M(1,5)且倾斜角为3的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？
提示：根据直线参数方程的定义，易得 π
x＝1＋t·cos??3，
?πy＝5＋t·sin??3，
即?
3
y＝5＋??2t.
1??x＝1＋2t，
2
??x＝－1－2t，
2．已知直线l的参数方程为?
2
?y＝2＋?2t为何值？
(t为参数)，则直线l的斜率
第1页
提示：直线l的参数方程可化为?3π
y＝2＋tsin??4，＝－1.
3π??x＝－1＋tcos4，
3π
故直线的斜率为tan 4
[对应学生用书P25]
直线参数方程的求法
[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(－2,6)的距离．
[思路点拨] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角α，然后写出直线l的参数方程．
3
[精解详析] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为4.设直线的倾斜角为α，
334
则tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5. 又点P(1,1)在直线l上，
4x＝1＋??5t，
所以直线l的参数方程为?3
y＝1＋??5t.
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上． 4
由1＋5t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.
第2页
因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝
?1＋2?2＋?1－6?2＝34. 直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．
其中k＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式，得 x－x0y－y0sin απ
y－y0＝cos α·(x－x0)，α≠2，即cos α＝sin α. 记上式的比值为t，整理后得 ?x＝x0＋tcos α，? y＝y＋tsin α.?0
π
1．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝4，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
2
?x＝3＋?2t，
解：设直线的参数方程为?
2
?y＝4＋?2t.将它代入3x＋2y－6＝0得 ??2?2?
3?3＋t?＋2?4＋t?＝6，
2?2???112解得t＝－5， 112
∴|MP0|＝|t|＝5.
直线的参数方程的应用(直线与圆)
第3页
?x＝－1＋3t，
[例2] 已知直线的参数方程为?它与曲线(y－2)2－x2＝1交于
?y＝2－4t，A，B两点．
(1)求|AB|的长；
(2)求点P(－1,2)到线段AB中点C的距离．
[思路点拨] 本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用．解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可．
[精解详析] (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2＋6t－2＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2， 62
则t1＋t2＝－7，t1t2＝－7. 所以，线段|AB|的长为
10
32＋?－4?2|t1－t2|＝5?t1＋t2?2－4t1t2＝7 23.
t1＋t23
(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为2＝－7.
所以，由t的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB中点C的距离为?3?15?－7?＝. 32＋?－4?2·
??7
不用求出A，B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB及点P到AB中点C的距离．
π
2．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝6.
第4页
(1)写出直线l的参数方程．
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P 到A，B两点的距离之积． π
x＝1＋tcos ??6，解：(1)直线的参数方程为?π
y＝1＋tsin??6.3
?x＝1＋?2t，即?
1y＝1＋??2t.
3??x＝1＋2t，(2)把?
1y＝1＋??2t
代入x2＋y2＝4，
31
得(1＋2t)2＋(1＋2t)2＝4，t2＋(3＋1)t－2＝0， t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.
直线的参数方程的应用(直线与圆锥曲线)
10
[例3] 过点P(2，0)作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．
[思路点拨] 本题考查直线与椭圆的位置关系．解答本题需要先确定直线的参数方程，然后利用参数的几何意义求解．
[精解详析] 设直线的参数方程为 10?x＝2＋tcos α，?
?y＝tsin α
t为参数，
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代入曲线方程并整理得
3
(1＋sin2α)t2＋(10cos α)t＋2＝0，
32
则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝
，
1＋sinα
2
π3π
所以当sinα＝1时，即α＝2时，|PM|·|PN|的最小值为4，此时α＝2.
2
?x＝x0＋tcos α，直线的参数方程?中，参数t具有明显的几何意义，搞清参
?y＝y0＋tsin α数t的几何意义是解决此类问题的关键．
?x＝3cos θ，
3．已知椭圆的参数方程?(0≤θ≤2π)，求椭圆上一点P到直线
?y＝2sin θ?x＝2－3t，?的最短距离． y＝2＋2t?
解：由题意，得P(3cos θ，2sin θ)，直线：2x＋3y－10＝0. ??π??
θ＋????62sin－10|6cos θ＋6sin θ－10|??4??
d＝＝，
1313?π?
而62sin?θ＋4?－10∈[－62－10,62－10]，
????π??
?62sin?θ＋4?－10??10－6210＋62?????
?. ∴∈?，
131313??10－62
∴dmin＝. 13
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[对应学生用书P27]
一、选择题
?x＝1＋2t，
1．若直线的参数方程为?，则直线的斜率为( )
?y＝2－3t，2
A.3 3C. 2
解析：选D k＝
y－2x－1
3t3＝－2t＝－2. 2B．－3 3D．－ 2
?x＝a＋t，
2．直线l的参数方程为?l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与
?y＝b＋t，P(a，b)之间的距离为( )
A．|t1| C.2|t1|
B．2|t1| 2D.2|t1|
解析：选C 点P1对应的点的坐标为(a＋t1，b＋t1)， ∴|PP1|＝
?a＋t1－a?2＋?b＋t1－b?2＝2t21＝2|t1|.
3．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( ) ?x＝1＋t，
A.? ?y＝3＋t
?x＝1－t，B.? ?y＝5－2t25
?x＝2＋?5t，D.?
5
?y＝5＋?5t
?x＝1－t，
C.? ?y＝3－2t
解析：选C 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D1
中直线斜率为2，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B
第7页
项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
?x＝2＋t，
4．过点(0,2)且与直线?互相垂直的直线的参数方程为( )
?y＝1＋3t?x＝3tA.? ?y＝2＋t?x＝－3tC.? y＝2－t?
?x＝－3tB.? ?y＝2＋t
?x＝2－3tD.? y＝t?
??x＝2＋t，
解析：选B 直线?化为普通方程为y＝3x＋1－23，其斜率
??y＝1＋3t3
k1＝3，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－3，故参数方程为??x＝－3t，?(t为参数)． ??y＝2＋t
二、填空题
π
5．直线l过点M0(1,5)，倾斜角是3，且与直线x－y－23＝0交于M，则|MM0|的长为________．
t
x＝1＋2，??
解析：直线l的方程为?
3t
??y＝5＋2.
代入x－y－23＝0，得(1－3)t＝8＋43. 解得|MM0|＝|t|＝10＋63. 答案：10＋63
?x＝－2－2t，
6．直线?上与点A(－2,3)的距离等于2的点的坐标是
y＝3＋2t?
第8页
________．
解析：设P(－2－2t,3＋2t)是直线上满足条件的点，则(－2t)2＋(2t)212
＝(2)2，t2＝2，t＝±2，则P(－3,4)或(－1,2)．
答案：(－3,4)或(－1,2)
2
?x＝－4＋?2t，
7．设直线的参数方程为?
2?y＝?2t，
点P在直线上，且与点M0(－4,0)
?x＝－4＋t，
的距离为2，若该直线的参数方程改写成?(t为参数)，则在这个方
?y＝t程中点P对应的t值为________．
解析：由|PM0|＝2知，t＝±2，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t＝－1.
答案：±1
?x＝3＋at，8．直线?过定点________．
?y＝－1＋4t解析：消去t得
x－3y＋1
a
＝4，即－(y＋1)a＋4x－12＝0，则x＝3，且y＝－1时，
对于任何a都成立．
答案：(3，－1) 三、解答题
9．直线l1过点M(1,2)，且与向量α＝(3，－1)共线． (1)写出该直线的参数方程；
(2)直线l2的方程为2x＋y－1＝0，且l1交l2于N，求|MN|.
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??x＝1＋3t，
解：(1)直线l1的参数方程为?
??y＝2－t.(2)把l1的参数方程代入l2的方程中，得 2(1＋3t)＋2－t－1＝0.
3?413?
解得t＝－5，N的坐标为?－5，5?.
???9??3?90
∴|MN|2＝?5?2＋?5?2＝25，
????310|MN|＝5.
x＝1＋2t，???x＝－1＋2t，
10．已知直线l1的参数方程为?l2的参数方程为?5
y＝－?y＝－1＋4t，?2－t.?
试判断l1与l2的位置关系．
解：法一：将直线l1的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1；将l2的参数1
方程化为普通方程，得y＝－2x－2.
?1?因为k1·k2＝2×?－2?＝－1，所以两直线垂直．
??
法二：由参数方程知l1与向量a1＝(2,4)平行，l2与向量a2＝(2，－1)平行． 又2×2＋4×(－1)＝0，∴l1⊥l2， 即两条直线垂直．
5π
11．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为6. (1)写出直线l的参数方程；
?x＝2cos θ，?(2)设此直线与曲线C：(0≤θ≤2π)交于A，B两点，求|PA|·|PB|； ?y＝4sin θ
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(3)设A，B中点为M，求|PM|. 解：(1)直线l的参数方程是 5π3
?x＝－3＋tcos＝－3－?62t，?5π1y＝3＋tsin＝3＋??62t.
(2)消去曲线C中的参数，得4x2＋y2－16＝0， 把直线的参数方程代入曲线C的普通方程， 1??3??
得4?－3－t?2＋?3＋2t?2＝16，
?2???化简为13t2＋12(1＋43)t＋116＝0. 由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|， 116
∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝13. t1＋t2(3)由t的几何意义知，中点M对应的参数为2， |t1＋t2|6?1＋43?
∴|PM|＝2＝. 13
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(3)设A，B中点为M，求|PM|. 解：(1)直线l的参数方程是 5π3
?x＝－3＋tcos＝－3－?62t，?5π1y＝3＋tsin＝3＋??62t.
(2)消去曲线C中的参数，得4x2＋y2－16＝0， 把直线的参数方程代入曲线C的普通方程， 1??3??
得4?－3－t?2＋?3＋2t?2＝16，
?2???化简为13t2＋12(1＋43)t＋116＝0. 由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|， 116
∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝13. t1＋t2(3)由t的几何意义知，中点M对应的参数为2， |t1＋t2|6?1＋43?
∴|PM|＝2＝. 13
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