1、已知，集合A?x0?x?4，B?xx?a，若a??B，求实数a的范围 2、设A?x,x2,xy，B??1,x,y?，且A=B，求x,y的值
23、若集合A?xx?x?6?0，B?xmx?1?0，且B?A，求m的值
??????????4、满足条件?1,2???M??1,2,3,4,5?的集合M的个数有 个
§1.3集合的基本运算
★并 集:
【知识点】A?B?xx?A或x?B \或\有三重含义:2.x?A但x?B
??1.x?A但x?B3.x?A且x?B〖例1〗 ⑴A?xx??1,B?xx?3,则A?B?
⑵A?xx?3,B?xx??1,则A?B? 析:画数轴来说明
???????????〖例3〗 设A??xx?4x?0?,B??xx?2(a?1)x?a?1?0?,
22222〖例2〗 M?yy?2x?1且x?R,N?yy??x?1,则M?N? R
?⑴若A?B?A,求a的值;⑵若A?B?B,求a的值; 解:?x2?4x?0?x1?0,x2?4?A???4,0? ⑴若A?B?A,?B?A,而A有4个子集
①当B??,???4(a?1)2?4(a2?1)?0?a??1 ②当B??0?,?a?1?0?a??1
2而当a=1时,B=A,舍去;当a=-1时,B??0?符合题意 ③当B???4?时,?a?8a?7?0?a?7或a?1
2而当a=7时,B???12,?4?舍去,a=1也舍去
2??a?1?0?a?1 ④当B??0,?4?时,?2??a?8a?7?0综上得:a??1
⑵?A?B?B?A?B又A???4,0?
又B至多有2个元素,∴A=B∴由⑴得a=1
〖例4〗 A??1,3,x?,B?1,x2,A?B??1,3,x?,则满足条件的x的个数为 解:?A?B??1,3,x??A,⑴当x?3?x??3
而a?3时,A?1,3,3符合题意;a??3时,A?1,3,?3符合题意 ⑵当x?x?x?0或x?1
而a?0时,A??1,3,0?符合题意;a?1时,A??1,3,1?不成立,舍去 综上得:x??3或x?0
2??B?1,x2 ?B?A?x2?3或x2?x
?2????★交 集:
【知识点】A?B?xx?A且x?B是两集合的公共部分元素组成的集合.
22〖例1〗 M?xy?x?1,N?xy??2x?17,求M?N
??????22析:M?xy?x?1?xx?y?1?xx??1
???????117??17?N?xy2??2x?17??xx??y2????xx??
22??2???17??M?N??x?1?x??
2??22〖例2〗 A?xx?px?q?0,B?xx?(p?1)x?5?q?0,若A?B???1,求A?B
??????解:∵A?B???1?1?A且1?B???1?p?q?0?p??3 ??1?p?1??q?0q?3???A?xx2?3x?2?0??1,2? B?xx2?4x?3?0??1,3? ?A?B??1,2,3?
22〖例3〗 A?xx?ax?a?????19?0?,B??xx2??5x?6?0?,c??xx2?2x?8?0
?⑴若A?B?A?B,求a的值;⑵若???A?B且A?B??,求a的值;
解:?B??2,3?，C??2,?4?
22⑴由A?B?A?B，?A?B ∴2，3都是x?ax?a?19?0的根
?2?3?a由韦达定理得??a?5 2?2?3?a?19⑵由???A?B且A?B???3?A,2?A,?4?A 由?3?A得9?3a?a?19?0?a?5或a??2 ①当a=5时，②当a=-2时，综上得：a=-2
222〖例4〗 A?xx?ax?a?1?0,B?xx?3x?2a?4?0且A?B??，求a与集合A，B
2A?xx2?5x?6?0??2,3?与2?A矛盾，舍去
2?A??xx??2x?15?0???5,3?符合题意
?????解：由x2?ax?a?1?0?(x?a?1)(x?1)?0?x?a?1,或1 ⑴ ⑵
〖例〗
①②③④⑤⑥⑦ ⑴⑵⑶⑷⑸⑹ ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ ★▲●△☆【】 ?〖〗∵∴ §
高中数学《必修1》知识汇编
§高初中衔接知识（补充）
★几个公式：
33（a?b）?a3?3a2b?3ab2?b3，变：（a?b）?a3?3a2b?3ab2?b3 ①
【注】齐3次；a降幂b升幂；杨辉三角。
2（a?b?c）?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca ②
③立方和：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) 立方差：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)
〖例〗化简：①(a?2)(a?2)(a4?4a2?16)；
②(x?3y?4z)2；
③已知：x?2?32?3，求：x3?y3的值； ,y?2?32?3⑤3a2b?81b4。
因式分解：④?27x3?8；
★十字相乘法：
〖例〗①x?5x?6；②x2?(p?q)x?pq；③2x?7x?6；④4x?4x?15
22〖练习〗①4x?15x?9；②3x?x?2；③4x?27xy?18y； 2④6x?5x?50；⑤mx?(2m?1)x?m?1
222222
★一元二次方程：ax2?bx?c?0(a?0)
b?x?x??12?a 【知识点】 1、根的情况：△>0;=0;<0；2、韦达定理：当??0时，???x?x?c12?a?【题型】：⑴求两根的代数式的值：对称式；非对称式。
???0???0??⑵根的符号：①两个正根??x1?x2?0；②两个负根??x1?x2?0；
?x?x?0?x?x?0?12?12???0③一正一负根?x1?x2?0；④一零根?c?0；⑤两根相反数??；⑥一根为?1?a?b?c?0
b?0?〖例1〗函数y?x?析：判别式法
1(x?R)，求值域。 x〖例2〗一元二次方程(1?k)x2?2x?1?0有两个不相等的实根，求K的范围.
析：??1?k?0
???0〖例3〗已知x、y满足x2?y2?xy?2x?y?1?0，试求：x、y的值
解：看成x的方程，x2?（y?2)x?y2?y?1?0有根，??0即?3y2?0?y?0
?x2?2x?1?0?x??1
〖例4〗若x1,x2是方程x?2x?2006?0的两根， 求：①x1?x2；②
222112233?；③（x1?5)(x2?5)；④x1?x2；⑤x1x2?x1x2；⑥x1?x2 x1x2b?1a?1? a?1b?1〖例5〗若a?b且a2?8a?5?0,b2?8b?5?0，求
2〖例6〗若t是一元二次方程的根，??b?4ac，M?(2at?b)2，比较：△ M
析：作差，M???4a2t2?4abt?b2?b2?4ac?4a(at2?bt?c)?0，???M 〖例7〗已知：关于x的方程x?3x?m?0两根的平方和为11，求a 〖例8〗已知：关于x的方程x?(k?1)x?2212k?1?0，问：⑴k取何值时，方程有两个正根； 4⑵若方程两是矩形的两边，且对角线为5，求k.
★解不等式：
★1、绝对值不等式：
?x?a?x?a?x?a的解集为?xx?a或x??a?x?a的解集为
〖例〗①x?3；②x?5； 〖变式〗1?3x?4
★2、平方不等式：
x2?a的解集为x?a?x?ax2??xx??a的解集为?a或x??a?
〖例〗①x?8；②x?3 〖变式〗(2x?1)?18
222★3、一元二次不等式：图象法（口诀：大于的取两边，小于的夹中间）；符号法。 ⑴图象法：利用二次函数图象求解
〖例〗①x?x?6?0；
2 ②y?x2?x?6； ③x2?x?6?0 -2 3 析：⑴由y=0得，即抛物线与x轴的交点的横坐标
⑵由y>0得，即抛物线在x轴上方的图象，所对应的x的范围
由图可知：⑶的解集为：xx??2或x?3
??【推广】：全部情况如下表：只对a>0研究，对a<0的化为a>0求解
??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c(a?0) x1 x2 X1=x2 ax2?bx?c?0(a?0)ax2?bx?c?0(a?0)ax2?bx?c?0(a?0) x1,2??b?? 2ax1?x2??b 2a无解 ?xx?x或x?x? 12?b?xx???? 2a??R（恒成立） ?xx1?x?x2? ?（无解或恒不成立） ?（无解或恒不成立） 【注】1、先化为a>0;2、口诀：大于的取两边，小于的夹中间； 【总结】：由表可知，解一元二次不等式的三步骤： ?1、化为标准式：ax2?bx?c?0(?0);a?0?2 ?2、求根：ax?bx?c?0的根?3、据口诀写解集?12222〖例〗①3x?7x?0；②?x?2x?3?0；③?x?4x?4?0；④x?x??0
4⑵符号法：
【知识点】1、法则：两数相乘，同号得正，异号得负；
2、步骤：先因式分解；再据符号法则化为不等式组求解。
〖例〗①(x?2)(x?3)?0； 〖练习〗①x?3x?18?0；
2②(x?3)(x?4)?0； ②?x2?x?3x?1；
③(3?x)(x?4)?0 ③x(x?9)?3(x?3)
【小结】两种方法的优劣：图象法，难理解，但直观，能直接写出解集；符号法，好理解，
但不能直接写出解集，计算量增大，有些不等式组无解；建议都用图象法或第二种方法干脆不教，以免学生老用第二种方法。
★4、高次不等式的解法----穿线法
〖引例1〗(x?2)(x?1)(x?3)?0
析：三个一次式；当三正或一正两负时，不等式成立；三个零点，分四段；
一正两负 三正 两正一负 三负 〖引例2〗(2?x)(x?4)(x?1)?0
析：这样无法直接画线，须变形为：(x?2)(x?4)(x?1)?0
+ + - - ②(x?1)(x?2)3(x?3)(x?4)?0
〖引例3〗①(x?3)(x?1)2(x?1)?0
【总结】穿线法的关键： ①先因式分解为一次式的积；
②画线时从最右边的上方向下穿过； ③偶次方的零点穿而不过； ④奇次方的看成一次方的。
〖练习〗①x(x?1)(x?3)?0；
2②(x2?1)(x?2)3(x?3)?0
★5、分式不等式的解法：
【知识点】法一：解分式不等式应等价变形化为整式不等式来解；法二：符号法则法。 法一：
?f(x)g(x)?0(或?0)f(x)f(x) ?0(或?0)?f(x)g(x)?0(或?0)；?0(或?0)??g(x)g(x)?g(x)?0?f(x)?0?f(x)?0f(x)；注：若是?或?的等价转换为什么？ ?0??或?g(x)?0g(x)?0g(x)??2x?3x?33x?15?xx?4?0；②2?0；③?2；④2??1；⑤2?0 x?12x?1x?x?1x?2x?3x?x?2法二：
〖例〗①
★一元二次不等式解集的含义：
【知识点】若已知二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)的解集，则有四重含义：
⑴a的符号可知；⑵相应方程的根可知；⑶韦达定理；⑷b、c的符号可知
22〖例1〗不等式3x?x?2?0的解集为：?1?x?
3析：解集的端点为方程3x?x?2?0的根。
22?1?x?推广：若ax?bx?c?0的解集为：
22，则：①可知a>0；②x??1或是方程ax2?bx?c?0332b??1?????3a的根；③韦达定理：?；④由③可得b?0,c?0
??1?2?c?3a?〖例2〗设关于x的不等式ax?bx?1?0的解集为?x?1?x??，求ab
2??1?3?析：法一：把端点值代入，可求；法二：利用韦达定理可求； 〖例3〗二次不等式ax?bx?c?0的解集为?xx?2??11?或x??，求：不等式cx2?bx?a?0的解集 32?11?或x??，求：不等式cx2?bx?a?0的解集 32?析：由解集含义可知a>0,韦达定理可知
〖变式1〗二次不等式ax?bx?c?0的解集为?xx?2??【结论】不等式ax2?bx?c?0与cx2?bx?a?0的两根互为倒数。 22〖变式2〗A?xx?3x?2?0，B?xx?(a?1)x?a?0，⑴若A?B，求a的范围；⑵若A?B，
????求a的范围；⑶若A?B，求a的范围；
22〖变式3〗A?xx?4x?3?0，B?xx?2x?a?8?0且A?B，求a的范围；
????
★含参的一元一次不等式：
【知识点】首项系数为参数则须讨论：（分=0；>0；<0） 〖例1〗已知，A?x0?ax?1?5，B??x??????1?x?2?，⑴若A?B，求a的范围；⑵若B?A，2?求a的范围；⑶A与B能相等？若能，求a,若不能，请说明理由；
解：⑴分三种情况：
①当a=0时，A=R，则A?B成立；
1?1?????14??a2?a?2 ②当a>0时，则A??x??x??，由A?B得?a??a?4?2??a?1??2??41??a?a??8 ③当a<0时，则A??x?x???由A?B得?a??a?4??1?2?a综上得：当A?B时a的范围为aa??8或a?2
1?1?2a4a2
???142a?12 a
⑵分三种情况：①当a=0时，显然B?A；
1?1?????a2?0?a?2 ②当a>0时，由B?A得??4?2??a?1??2?1?a???a?0 ③当a<0时，由B?A得?2?4??1?2?a综上得：当B?A时，a的范围为?a?11??a22 4a????1?a?2? 2?142a?12 a⑶当且仅当A、B互为包含时，A=B，由⑴、⑵得 a=2
22〖练习〗A?yy?x?2x?4，B?yy?ax?2x?4a，且A?B，求a的范围
????解：A?yy?3
当a=0时，B=R，A?B成立
??116a2?416a2?4?3???a?1 当a>0时，y?，由A?B得
44a4a16a2?4当a<0时，y?，显然A?B不成立
4a综上得，?
1?a?1 4★含参的一元二次不等式：
〖例1〗解不等式：x2?(2m?1)x?m2?m?0
析：(x?m)(x?m?1)?0，?x1?m或x2?m?1?原不等式的解集为xm?x?m?1 〖例2〗解不等式：ax?2?2x?ax(a?R)
解：原不等式可化为：ax?(a?2)x?2?0?(ax?2)(x?1)?0
⑴当a=0时，原不等式可化为：?2(x?1)?0，?x??1，则解集为xx??1
22????⑵当a>0时，x1??1,x2?2?2??0，则解集为?xx??1或x?? aa??2a2?0 a⑶当a<0时，原不等式可化为：(x?)(x?1)?0?x1??1,x2?由于
2a?2?(?1)?，于是 aa①当a=-2时，x1?x2??1，则解集为{1} ②当-2 2?2???1，则解集为?x?x??1? a?a?2?2?，则解集为?x?1?x?? aa??③当a<-2时，?1?综上得，（略） 【小结】：参数的不同取值，对不等式的次数有影响；对二次函数的开口有影响；对函数与x轴的位置关系有影响；分类讨论要全面，须不重不漏。 【知识点】：解参数不等式的步骤和讨论原则： ⑴化为标准不等式（ax2?bx?c?0(?0),a?0） (?0;?0;?0;)?二次项系数讨论?(??0,??0,??0)⑵参数讨论的三原则：?根的情况讨论 ?根的大小讨论(x1?x2,x1?x2,x1?x2)?⑶用口诀写解集 〖例3〗解不等式；?(m?3)x?1?(x?1)?0 解：⑴当m=-3时，原不等式可化为：?(x?1)?0?x??1，则解集为xx??1 ⑵当m>-3时，原不等式可化为：(x?则解集为?xx??1或x???11)(x?1)?0，x1??0,x2??1， m?3m?3??1?? m?3?11)(x?1)?0，x1??0,x2??1， m?3m?3⑶当m<-3时，原不等式可化为：(x?由 1m?4?(?1)? m?3m?3Ⅰ当m=-4时，x1?x2??1，则解集为空集 Ⅱ当-4 1?1???1，则解集为?x?1?x?? m?3m?3??Ⅲ当m<-4时，综上得（略） 1?1???1，则解集为?x?x??1? m?3?m?3? 第一章《集合与函数》 §1.1集合的含义与表示 ★集合的元素性质：①确定性；②互异性；③无序性。 〖例1〗判断是否是集合： ①接近于0的数的总体（ ） ③正三角形的总体（ ） ②比较小的数的总体（ ） ④2的近似数的总体（ ） 〖例2〗数集2,x,x2?x中的元素x满足条件： ???x?2?2析：由互异性知?x?x?2得，x?2且x??1且x?0 ?x2?x?x?〖例3〗已知，A?a?2,2a2?5a,10，且?3?A，求a 解：??3?A?a?2??3或2a?5a??3?a??1或a??22??3 2但a??1时，a?2??3且2a?5a??3与互异性矛盾，舍去 ∴a??3 22【注】求解后一定要注意检验互异性。 〖例4〗已知，x??1,0,x?，求x 解：⑴当x?1时，x??1 而x=1时，集合为?1,0,1?，舍去；x=-1时，集合为?1,0,?1?符合 ⑵当x?0时，，不满足互异性，舍去 ⑶当x?x时，x?0或x??1，由上可知，都舍去 综上得，x=-1 222★元素与集合的关系：（??） 〖例1〗辨：a与{a}不同：前者为元素，后者为单元素集合；0与{0}不同 〖例2〗设P，Q为两个非空集合，定义集合P?Q?a?ba?P,b?Q，若P??0,2,5?，Q??1,2,6?，则P+Q中的元素的个数是 个 ???，互异性 析：P?Q??1,2,3,4,6,7,8,11〖例3〗已知：集合M?xx?3n,n?Z，N?xx?3n?1,n?Z，P?xx?3n?1,n?Z，且 ??????a?M,b?N,c?P，设d=a-b+c,则（ ） A d?M B d?N C d?P D 以上都不对 析：设a=3n,b=3m+1,c=e=3s-1,则d=3(n-m+s-1)+1,选B ★集合的表示法，求法： ?x?y?3〖例1〗方程组?的解集是 3，5，6，7 x?y??1?①?x?1,y?2?；②?1,2?；③?(1,2)?；④(x,y)x?1或y?2； ????x?1???22⑤?(x,y)x?1且y?2?；⑥?(x,y)??；⑦(x,y)(x?1)?(y?2)?0 ??y?2?????222〖变式〗下面三个集合；①xy?x?1；②yy?x?1；③(x,y)y?x?1，它们是相等的集合吗？ ??????2析：①=R；②=yy?1；③Pp是抛物线y?x?1上的点 ????〖例1〗设集合A中的元素满足：①1?A；②若a?A则1?A 1?a⑴若2?A，求A中的所有元素；⑵集合A能否为单元素集合？若能，求出该元素；若不能说明理由； 11111??1?A，又?1?A???A，?A??2?A 11?21?(?1)221?21∴A中有三个元素：2，-1， 21?a2?a?1?0，????3?0?方程无解，∴A不可能为单元素集⑵若A是单元素集合，则a?1?a解：⑴∵2?A?合 〖练习〗 ⑴已知，a?Z，A?(x,y)ax?y?3且（2，1）?A,(1,?4)?A，则满足条件的a的值为 解：∵（2，1）?A,(1,?4)?A?2a?1?3且a?4?3??1?a?2,又a?Z∴a=0,1,2 ⑵已知，4?1,a2,(a?1)2，求a 解：∵4?1,a,(a?1)?a?4或(a?1)?4?a??2或a??1或a??3 当a=2时，(a?1)?1不满足互异性 当a=-1时，a?1不满足互异性 当a=-2或a=3时，经检验符合题意 综上得：a=-2或a=3 2?????22?222 §1.2集合间的基本关系 ★子集与真子集:A?B,A??B,??A,??? 〖例1〗判断:①空集没有子集( F ) ②空集是任何一个集合的真子集( F ) ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集( F )④若???A则A??( T ) ⑤?0???0,1?( F ) ⑧0?? ( F ) ⑥????0?( T ) ⑦?0,?1,1????1,0,1?( T ) ⑨?(0,0)???0? ( F ) 〖例2〗已知,M?(x,y)y?x,N?(x,y)y?x,那么( ) 析:N?(x,y)y??x,选D 〖例3〗已知,A???1,3,2m?1?,B?3,m2,若B?A,则m= 2析:B?A?m?2m?1?m?1 ????????〖例4〗 已知,A?xx??1或x?2,B?x4x?p?0且A??B,求P范围 ????析:B?x4x?p?0??xx??????pp?A??B????1?p?4 ∵?44?? p?142★集合相等: 【知识点】A?B且B?A?A?B 〖例1〗 集合A?xx?2n?1,n?Z,B?yy?4k?1,k?Z,求证:A=B 证:⑴先证A?B 设x?A则x?2n?1且n?Z ①当n为偶数时，可设n=2m m?Z,∴x=4m+1,?x?B ②当n为奇数时，可设n=2m-1 m?Z,∴x=2（2m-1）+1=4m-1,?x?B ∴不论n是奇数还是偶数，都有?x?B∴A?B ⑵再证A?B 设y?B则y?4k?1或y?4k?1且k?Z ?????y?4k?1?2(2k)?1或y?4k?1?2(2k?1)?1 ?k?Z?2k?Z 2k?1?Z?y?A?A?B 综上得：A=B ▲注：证明集合相等，①一一列出比较；②看代表元素是否一致且元素共同特征即满足的条件是否一致。 〖练习〗