7. B 8. C
【解析】??=log23，??=3；??=log24，??=4；??=log25，??=5；?；??=log28，??=8， 【解析】因为等轴双曲线 ?? 的一个焦点坐标是 2,0 ，
??2
??2
此时应终止循环，所以判断框内应填 ??≤7．
所以设等轴双曲线为 ??2???2=?? ??>0 ，??= 2，则标准方程为 ?????=1，则 ??2=??2=??，则 ??2=??2+??2=2??=2，则 ??=1，则等轴双曲线为 ??2???2=1，将 ??=????+?? 代入 ??2???2=1 得 ??2?1 ??2+2??????+1+??2=0，当 ??2?1=0，即 ??=±1 时，方程有一个解，满足条件．
三角形的边长为 1， ?? ，1，此时为等腰三角形，当 ??2?1≠0 时，若方程有一个解，则判别式 ??=0，即 4??2??2?4 ??2?1 1+??2 =0，整理得 1+??2=??2，则三角形的边长为 ?? ， ?? ，1 此时为直角三角形，综上三角形的形状为等腰或直角三角形． 9. D
【解析】如图，
设正三角形的边长为 ??，
由 ???? =?????? +?????? 得： ???? ????? =?????? 2+?????? ????? , ???? ????? =?????? ????? +?????? 2, cos15°=cos 60°?45° =1
2 32?
2
+
2
?
22
=
2+ 64
， 2所以
2 ???? ??=????2+
????22
,???①
2+ 6????24 ???? ??=
2
+????2,???②
① 2??
所以 得，22②
2+ 6=??+
??
4
2+??
，所以 3??=3? 32
??，
所以 ??
3?1
??=
2
． 10. C
【解析】①当 ????? ?? ???? ?? >0 即 ???1 ??? ?? >0 时， ?? ?? 在 ?∞,1 递减，在 1,+∞ 递增，
故 ?? ?? 的最小值是 ?? 1 ，函数 ?? ?? 存在最小值，故①正确； ②令 ?? ?? =???? ?? ，??? ?? =????? ?? +?? ?? ，
当 ????? ?? +?? ?? >0 时，函数 ?? ?? =???? ?? 在 ?? 递增，
故函数 ?? ?? 在 ?? 上不一定单调递增，比如 ?? ?? =1 是常函数，故②错误； ③令 ?? ?? =?? ?? e??，
则 ??? ?? =
??? ?? ??? ??
e??，
当 ??? ?? ??? ?? >0 时，??? ?? >0，?? ?? 在 ?? 递增，
第6页（共13页）
所以 ?? ??
?? ?? e??<
?? ??+1 e??+1，
所以 e?? ?? ＜?? ??+1 ,??∈???，故③正确； ④令 ?? ?? =?? ?? ?3??，则 ??? ?? =??? ?? ?3，
因为 ??? ?? <3，所以 ??? ?? <0，?? ?? 递减，而 ?? 1 =4，
所以 ?? 1 =4?3=1，不等式 ?? ln?? >3ln??+1，即 ?? ln?? >?? 1 ，即 ln??<1，故不等式的解集为 0,e ，故④正确． 第二部分 11. ?1 12. 2π ??+??≤1, 构成的平面区域 ??，??，分别为圆【解析】集合 ??= ??,?? ??+??≤1 ，??= ??,?? ? ??≥0,
??≥0
2
2
1
与直角三角形，
面积分别为 π，，随机地向 ?? 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入 ?? 中的概率为 =
2
π
1
12
12π
．
13.
ln212
,e
【解析】方法一：
因为 ?? ?? =?? ?? ????? 在区间 0,4 上有三个零点， 所以 ln?? ?????=0 在区间 0,4 上有三个不同的解， ?,0
??ln??
则当 0
ln????
ln????ln22
的值域为 0,+∞ ； 在 1,e 上是增函数，0≤≤
ln????
ln????
≤，
e
1
在 e,4 上是减函数，故当 ??∈ 方法二：
ln212
≤；
e
1
, 时，有三个不同的解． e
函数 ??= ln?? 的图象如图示：
第7页（共13页）
当 ??≤0 时，显然，不合乎题意， 当 ??>0 时，如图示，
当 ??∈ 0,1 时，存在一个零点，当 ??>1 时，?? ?? =ln??， 可得 ?? ?? =ln??????? ??∈ 1,3 ，??? ?? =???=
??1
1???????
，
若 ??? ?? <0，可得 ??>??，?? ?? 为减函数， 若 ??? ?? >0，可得 ??0,
ln21
所以 ?? 4 <0, 解得，2≤?? ?? 1 ≤0, 在区间 0,3 上有三个零点时，故实数 ?? 的取值范围为 14. 34,6 【解析】因为实数 ?? 是 ??，?? 的等差中项，所以 2??=??+??，则 ??=??:?????????+??=0 的距离平方：??2= ?? ??2+????+??2 ln212 1 1 1 , ． e ，所以圆心 0,0 到直线 ??+??22 =22 ??+??2 2??2+??2，因为 ??2+??2 2 ≥ ，所以 ??2≤2，当且仅当 1 1 ??=?? 时取等号，所以直线 ?? 被圆 ??2+??2=9 所截得弦长是：2 ??2???2=2 9???2≥2 9?2= 34，因为当直线 ?? 过圆心 0,0 时，所得的弦长最大是直径为 6，所以所截得弦长的取值范围是 34,6 ． 15. ②③ 【解析】①若 △?????? 为锐角三角形，则 0 2 2 2 π π π π2 即 0<π??????<， 即 ??+??>2， 所以 ??>2???， 所以 0<2???cos??， 所以 cos?? ②如图 1，取 ??1??1 的中点 ??，????1 的中点 ??， ππ π ππ 第8页（共13页） 则 ????1⊥平面??????，即 ?? 点轨迹是线段 ????， 因为在正方形 ??????1??1 边界及内部运动，且 ????⊥????1，则 ?? 点轨迹长等于 2；故②正确， ③由 ????1+????1+??=?1 得 ????1+????1+??=? ????2+????2+?? ，即 ?? ??1+??2 +?? ??1+??2 +2??=0，即 2 2 ????+????+?? ?? ??1+??22 +?? ??1+??22 +??=0，即直线 ?? 经过线段 ???? 的中点；故③正确． ④在 △?????? 中，??，?? 分别为 △?????? 的重心和外心，取 ???? 的中点为 ??，连接 ????，????，????，如图 2： 则 ????⊥????，????=3????， =???? +???? ，???? =1 ???? +???? ， 因为 ???? 2 1 ????? =5， 由 ????则 +???? ????? ???? ????? =???? 1 +???? ????? =? ????6=5, 1 +???? ???? ? =5， 即 ?6? ???????? 2????? 2=?30， 则 ???? 2= ???? 2+6 ???? 2> ???? 2+ ???? 2， 又 ????=5，则有 ????5 由余弦定理可得 cos??<0，即有 ?? 为钝角，则三角形 ?????? 为钝角三角形；故④错误． 第三部分 ?? ?? =cos 2??? 16. （1） = 3sin2??2 2π332 ?cos2?? ?cos2?? ππ = 3sin 2???3 , 令 2??π?2≤2???3≤2??π+2,??∈??， π π 第9页（共13页） 2016年四川省成都市新都一中高三文科二模数学试卷 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 已知集合 ??= ?? ?? ≤1 ，集合 ??=??，则 ??∩??= ?? A. 0 C. ?1,0,1 2. 已知 ?? 与 ?? 之间的一组数据： ???? A. 1 B. 0.85 0?? 123 35.57C. 0.7 D. 0.5 D. ? B. ?? ?1≤??≤1 已求得关于 ?? 与 ?? 的线性回归方程为 ?? =2.1??+0.85，则 ?? 的值为 ?? 3. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的 ?? A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为 2 的正三角形，则其左视图面积为 ?? A. 2 B. 3 C. 2 1 3 D. 2 1 35. 在 △?????? 中，若 3 tan??+tan?? =tan??tan???1，则 sin2??= ?? A. ? 3 2 B. 2 3C. ?2 D. 2 2 6. 已知各项不为 0 的等差数列 ???? 满足 ??4?2??7+3??8=0，数列 ???? 是等比数列，且 ??7=??7， 则 ??2??8??11 等于 ?? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 执行如图所示的程序框图，如果输出 ??=3，那么判断框内应填入的条件是 ?? 第1页（共13页） A. ??≤6 B. ??≤7 C. ??≤8 D. ??≤9 8. 已知等轴双曲线 ?? 的一个焦点坐标是 2,0 ，直线 ??=????+?? 与双曲线 ?? 恰有 1 个交点，以 ?? ， ?? ，1 为边长的三角形的形状是 ?? A. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 =?????? +?????? ，∠??????=45°，则 ?? 的值为 ?? 9. 正三角形 ?????? 内一点 ?? 满足 ?????? A. 3?1 B. 3+1 C. 3+1 2 D. 3?1 2 10. 已知定义在实数集 ?? 上的函数 ?? ?? 的导函数是 ??? ?? ，下列命题中： ①当 ????? ?? ???? ?? >0 时，函数 ?? ?? 存在最小值； ②当 ????? ?? +?? ?? >0 时，函数 ?? ?? 在 ?? 上单调递增； ③当 ??? ?? ??? ?? >0 时，e?? ?? ④当 ?? 1 =4，且 ??? ?? <3 时，不等式 ?? ln?? >3ln??+1 的解集为 0,e ． 所有正确的命题是 ?? A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 若复数 ??= ??+ii （其中 i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 ??= ． 第2页（共13页） ??+??≤1, 构成的平面区域分别为 ??，??，现12. 记集合 ??= ??,?? ??+??≤1 ，??= ??,?? ? ??≥0, ??≥0 2 2 随机地向 ?? 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入 ?? 中的概率为 ． 13. 设 ?? ?? = ln?? ，若函数 ?? ?? =?? ?? ????? 在区间 0,4 上有三个零点．则实数 ?? 的取值范围 是 ． 14. 已知实数 ?? 是 ??，?? 的等差中项，则直线 ??:?????????+??=0 被圆 ??2+??2=9 所截得弦长的取值 范围为 ． 15. 在下列给出的命题中，所有正确的命题的序号为 ． ①若 △?????? 为锐角三角形，则 sin?? ②在棱长为 2 的正方体 ???????????1??1??1??1 中，?? 为 ??1??1 的中点，若 ?? 点在正方形 ??????1??1 边界及内部运动，且 ????⊥????1，则 ?? 点轨迹长等于 2； ③已知 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 为不同两点，直线 ??:????+????+??=0，若 ????1+????1+??=?1，则直线 ?? 2 2 ????+????+?? 经过线段 ???? 的中点； =5，则 △?????? 是直④在 △?????? 中，????=5，??，?? 分别为 △?????? 的重心和外心，且 ?????????角三角形． 三、解答题（共6小题；共78分） 16. 已知函数 ?? ?? =cos 2??? 2π3 ?cos2?? ??∈?? ． ?? 3，??2 （1）求函数 ?? ?? 的单调递增区间； （2）△?????? 内角 ??，??，?? 的对边长分别为 ??，??，??，若 ?? 2 =? ??>??，求 ?? 和 ??． 17. 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组： 第 1 组 75,80 ，第 2 组 80,85 ，第 3 组 85,90 ，第 4 组 90,95 ，第 5 组 95,100 ，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在 85 分以上（含 85 分）的学生为“优秀”，成绩小于 85 分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格． =1，??= 3 且 （1）求出第 4 组的频率，并补全频率分布直方图； （2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数； （3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么 至少有一人是“优秀”的概率是多少? 18. 设数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，已知 ????=2 ?????1 ． 第3页（共13页） 3 （1）求 ??1 的值，并求数列 ???? 的通项公式； （2）若数列 ???? 为等差数列，且 ??3+??5=?8，2??1+??4=0，设 ????=?????????，求数列 ???? 的 前 ?? 项和 ????． 19. 如图所示的多面体 ?????????? 中，已知 ????∥????，????⊥????，△?????? 是正三角形，????=????= 2????=2，????= 5，?? 是 ???? 的中点． （1）求证：????∥平面??????； （2）求直线 ???? 与平面 ???????? 所成角的余弦值； （3）求多面体 ?????????? 的体积． 20. 已知椭圆 ??：??2+??2=1 ??>??>0 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 60° 的菱形的四个 顶点． （1）求椭圆 ?? 的方程； （2）若直线 ??=???? 交椭圆 ?? 于 ??，?? 两点，在直线 ??：??+???3=0 上存在点 ??，使得 △?????? 为等边三角形，求 ?? 的值． 21. 已知函数 ?? ?? =ln???????+??，??∈??． （1）求函数 ?? ?? 的单调区间． （2）若 ?? ?? ≤0 在 ??∈ 0,+∞ 上恒成立，求实数 ?? 的取值范围． （3）在（2）的条件下，任意的 0 ?? ?? ??? ?? ????? 1 ??2 ??2 第4页（共13页） 答案 第一部分 1. C 2. D 【解析】集合 ??= ?? ?? ≤1 = ?? ?1≤??≤1 ， 【解析】因为 ??= 0+1+2+3 所以 ??∩??= ?1,0,1 ． 4 3??+15.5 4 =2，??= ， 3??+3+5.5+7 4 = ??+15.5 4 ， 所以这组数据的样本中心是 2,所以 3. B ??+15.5 4 3 因为关于 ?? 与 ?? 的线性回归方程 ?? =2.1??+0.85， =2.1×2+0.85，解得 ??=0.5，所以 ?? 的值为 0.5． 【解析】根据事件互斥的定义，可得A，B两事件互斥时，A，B两事件不一定对立； 反之A，B两事件对立时，A，B两事件一定互斥，故A，B两事件互斥是A，B两事件对立的必要不充分条件． 4. C 【解析】因为三棱锥的正视图、俯视图均为边长为 2 的正三角形，则三棱锥的直观图如下所示： 故三棱锥的左视图是一个直角边长为 3 的等腰直角三角形，如下图所示： 故左视图面积为：2× 3× 3=2． 5. B tan??+tan?? 3， 3 13 【解析】△?????? 中，若 3 tan??+tan?? =tan??tan???1， 则 tan ????? =1?tan??tan??=?所以 ??+??=150°， 所以 ??=30°， 所以 sin2??=sin60°=6. D 3． 2 【解析】因为数列 ???? 是各项不为 0 的等差数列， 2222 由 ??4?2??7+3??8=0，得 ??4+??8 ?2??7+2??8=0，2??6?2??7+2??8=0，2 ??6+??8 ?2??7=0， 2所以 4??7+2??7=0，解得：??7=2． 则 ??7=??7=2． 又数列 ???? 是等比数列， 343则 ??2??8??11=??7 5???7?????7??=??7=2=8． ?? 第5页（共13页）