2010~2014年高考真题备选题库
第8章 平面解析几何
第5节 椭圆
1. (2014辽宁，5分)已知椭圆C： ＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的
94焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________.
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，
x2y2
B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
答案：12.
2．(2014江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)＋(y＋1)＝4截得的弦长为________．
|2－2－3|3
解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x55＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2255
答案：
5
3. (2014辽宁，12分)
圆 x＋y＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．
(1)求点P的坐标；
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋3 交于A，B两点．若△PAB 的面积为2，求C的标准方程．
2
2
2
2
1212
92554－＝. 55
解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－
x0
y0x0y0
144
(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝22
2x0y0＝
8
x0y0
.
1
由x0＋y0＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝2时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(2，2)．
22
x2y2
(2)设C的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
xy??2＋2＝1，22ab由点P在C上知2＋2＝1，并由?
ab??y＝x＋3，
22
得bx＋43x＋6－2b＝0，
222
43?x＋x＝－，?b又x，x是方程的根，因此?
6－2bxx＝.??b1
2
2
1
2
2
12
2
由y1＝x1＋3，y2＝x2＋3， 得|AB|＝2|x1－x2|＝22由点P到直线l的距离为
2
2
48－24b＋8b24
b2
.
313422
及S△PAB＝33|AB|＝2得b－9b＋18＝0，解得b＝6
222
2
2
或3，因此b＝6，a＝3(舍)或b＝3，a＝6.
从而所求C的方程为＋＝1.
63
x2y2
x2y2
4. (2014江西，5分)设椭圆 C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，过F2 作x 轴
ab的垂线与C相交于A，B两点，F1B 与y 轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆 C的离心率等于________．
解析：由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝a－b，因为过F2且与x轴垂直的直线
2
2
b??b??为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A?c，?，B?c，－?.因为AB平行于y轴，a??a??b??且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为?0，－?，
2a??
2
b2?b?b2－?－?－－0a?2a?a2
又AD⊥F1B，所以kAD2kF1B＝－1，即3＝－1，整理得3b＝2ac，所
c－0c－?－c?
2
22
以3(a－c)＝2ac，又e＝，0 答案： 3 3 22 ca2 3 (e＝－3舍去)． 3 2 1 5（2013广东，5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C2的方程是( ) A.＋＝1 34C.＋＝1 42 x2y2x2y2 B.＋＝1 43D.＋＝1 43 x2y2 x2y2 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法， x2y2 意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)， abc＝1，??c1所以?＝，a2??c＝a－b， 2 2 2 解得a＝4，b＝3. 22 答案：D 6（2013山东，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为6 的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE4 2. 2 ????????交椭圆C于点P.设OP＝tOE，求实数t的值． 解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力． x2y2 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)， ab??c2 由题意知?＝， a2??2b＝2， a2＝b2＋c2， 2 解得a＝2，b＝1， 因此椭圆C的方程为＋y＝1. 2(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时， 设直线AB的方程为x＝m，由题意得－2 x2 3 将x＝m代入椭圆方程＋y＝1， 2得|y|＝ 2－m， 2 2－m6 ＝， 24 22x2 2 所以S△AOB＝|m| 1322 解得m＝或m＝.① 22 ????????1????????1 又OP＝tOE＝t(OA＋OB)＝t(2m,0)＝(mt,0)， 2 2 因为P为椭圆C上一点， ?mt?所以＝1.② 2422 由①②得t＝4或t＝， 323 又t>0，所以t＝2或t＝. 3(ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时， 设直线AB的方程为y＝kx＋h， 将其代入椭圆的方程＋y＝1， 2得(1＋2k)x＋4khx＋2h－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由判别式Δ>0可得1＋2k>h， 4kh2h－2 此时x1＋x2＝－2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k2 2 2 2 2 2 2 x2 2 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝ 所以|AB|＝1＋k2 2 2h2， 1＋2k2 ?x1＋x2?－4x1x2 2 2 1＋2k－h＝2221＋k2 . 21＋2k因为点O到直线AB的距离d＝ |h|1＋k2 ， 1＋2k－h22 1＋2k2 2 所以S2 △AOB11＝2|AB|2d＝32 22 21＋k2 2|h|1＋k2 ＝ 1＋2k－h22 2|h|. 2 1＋2k2 4 又S△AOB＝6， 4 2 2 1＋2k－h6 所以22 2|h|＝.③ 2 1＋2k4 令n＝1＋2k，代入③整理得3n－16hn＋16h＝0， 422 解得n＝4h或n＝h， 3 42222 即1＋2k＝4h或1＋2k＝h.④ 3 2 2 2 4 ????????1????????1?2kht2，ht2?， 又OP＝tOE＝t(OA＋OB)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝?－?22?1＋2k1＋2k? 因为P为椭圆C上一点， 2kh?2?h?221?所以t?－2?＋?2?＝1， 2?1＋2k??1＋2k? h22t2即2＝1.⑤ 1＋2k422 将④代入⑤得t＝4或t＝. 3 23 又t>0，所以t＝2或t＝.经检验，符合题意． 3综合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或t＝ 23 . 3 x2y2 7（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2， abP是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( ) A. 3 6 1B. 3D.3 3 1C. 2 解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力． c2c法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝＝ a2a＝ |F1F2|3m3 ＝＝. |PF1|＋|PF2|2m＋m3 b2 法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以a 5 b2b222 |PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝32，变形可得3(a－c)＝ aa2ac，等式两边同除以a，得3(1－e)＝2e，解得e＝ 答案：D 2 2 3 或e＝－3(舍去)． 3 x2y2 8．（2013辽宁，5分）已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直 ab4 线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( ) 5 3A. 54C. 5 5B. 76D. 7 解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝105 10，所以e＝＝. 147 答案：B x2y2 9．（2013四川，5分）从椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左 ab焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.2 42 2 1B. 2D.3 2 C. 解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思 b??想．由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P?－c，?.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，a??bb2c222222 即－＝－，则b＝c，∴a＝b＋c＝2c，则＝，即该椭圆的离心率是. aaca22 答案：C 2 x2y210．（2013福建，4分）椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为 ab2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能 6 力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝32c2cc，所以该椭圆的离心率e＝＝＝3－1. 2ac＋3c答案：3－1 x2y2 11.(2012安徽，13分)如图，F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，Aab是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值． 1 解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. 2(2)法一：a＝4c，b＝3c， 直线AB的方程可为y＝－3(x－c)． 833222 将其代入椭圆方程3x＋4y＝12c，得B(c，－c)． 55816 所以|AB|＝1＋32|c－0|＝c. 55 11163232 由S△AF1B＝|AF1|2|AB|sin ∠F1AB＝a2c2＝a＝403，解得a＝10，b＝ 2252553. 法二：设|AB|＝t. 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)＝a＋t－2atcos 60°可得， 2 2 2 2 2 2 2 t＝a. 183232 由S△AF1B＝a2a2＝a＝403知， 2525 8 5 a＝10，b＝53. x2y2 12．（2012新课标全国，5分）设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，Pab3a为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) 2 1A. 2 2B. 3 7 3C. 44D. 5 33 解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝. 24答案：C x2y2 13．（2012江西，5分）椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分 ab别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) 1 A. 41C. 2 解析：依题意得 |F1F2|＝|AF1|2|F1B|，即4c＝(a－c)(a＋c)＝a－c，整理得5c＝a，所以e＝＝答案：B 2 2 2 2 2 2 B. 5 5 D.5－2 ca5. 5 x2y2y22 14．（2011浙江，5分）已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x－＝1有公共 ab4 的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( ) 132 A．a＝ 212 C．b＝ 2 B．a＝13 D．b＝2 22 解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝， 3 因tan∠COx＝2， ∴sin∠COx＝cos∠COx＝ 125， a， 5 2 a24a2222 则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得2＋2＝1，∴a＝11b.∵5＝a－b， 45a45b3535 a2a12 ∴b＝. 2 答案：C 8 x2y23 15．(2011陕西，12分)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为. ab5 (Ⅰ)求C的方程； 4 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 5解：(Ⅰ)将(0,4)代入C的方程得16 b2＝1，∴b＝4， 又e＝ca＝35得a2－b29a2＝25 ， 即1－169 a2＝25，∴a＝5， ∴C的方程为x2y2 25＋16 ＝1. (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝4 5(x－3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y＝4 5(x－3)代入C的方程，得 x2 2 25＋?x－3?25＝1， 即x2 －3x－8＝0，解得 x3－411＝ 2，x＝3＋41 22 ， ∴AB的中点坐标x＝ x1＋x2＝3 2 2 ， y＝ y1＋y2＝2 5(x6 21＋x2－6)＝－5 ， 即中点坐标为(32，－6 5 )． 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分． 16．（2011新课标全国，5分）椭圆x2y2 16＋8＝1的离心率为( A.13 B.12 C.33 D.22 解析：由x2＋y2 ＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2 2 2 168 ＝a－b＝8. ) 9 c212∴e＝2＝.∴e＝. a22 2 答案：D 17．（2010福建，5分）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭 43 x2y2 ????????圆上的任意一点，则OP2FP的最大值为( ) A．2 C．6 B．3 D．8 ????????解析：由椭圆＋＝1，可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP2FPx2y2 4 3 ????????1212 ＝x＋x＋y＝x＋x＋3(1－)＝x＋x＋3＝(x＋2)＋2，当且仅当x＝2时，OP2FP取 444 2 2 2 x2 得最大值6. 答案：C 10