an?Sn?Sn?1(an?2)2(an?1?2)2??(n?2)，整理得(an?an?1)(an?an?1?4)?0，因an?0、
88an?1?0，故an?an?1?4(n?2)、a1?2，所以数列 {an}是以2为首项、4为公差的等差数列，其通项公式为 an?2?4(n?1)即an?4n?2．
x2y27、设椭圆C:2?2?1(a?b?0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是 ．
ab14x2y24a22由椭圆C:2?2?1(a?b?0)恒过定点A(1,2)得2?2?1，所以b?2，
ababa?1a4a4a2(a2?1)2d?2?2?，令t?a?5(t?0)，则 22ca?ba?52d2?h(t)?(t?5)(t?4)20?(t?)?9?220?9?(5?2)2，dmin?2?5，所以椭圆的中心到准线的距
tt离的最小值是2?5．
，b?8、设a?x2?xy?y2pxy，c?x?y，若对任意的正实数x、y，都存在以a、b、c为三边长的三角
形，则实数由ap的取值范围是 ．
、c?x2?xy?y2?a?b?c?x?y知c?a，所以?恒成立，由a?c?b得
?a?c?bx2?xy?y2?(x?y)xy恒成立，因为x2pxy?x?xy?y?(x?y)，所以p?22?y2?2xy，
x?y?2xy，所以[x2?xy?y2?(x?y)xy，所以
]min?3，故p?3；再由a?b?c得
pxy?(x?y)?x2?xy?y2p?[(x?y)?x2?xy?y2]?[(x?y)?x2?xy?y2]xy?[(x?y)?x?xy?y]22?3xy(x?y)?x?xy?y22，所以
p?1，所以实数
p的取值范围是(1,3)．
二、解答题
29、设函数f(x)?x?ax?b,点(a,b)为函数y?5?2x的对称中心，设数列?an?、?bn?满足
x?21，?bn?的前n项和为Sn． 4an?1?f(an)?2an?2(n?N?)，a1?6且bn?an?4
16
（1）求a、b的值； （2）求证：Sn?12n?1?2； (3)求证：an?2?2． 65?2x1,故其对称中心为(2,?2)，所以a?2,b??2． 得y?2?x?2x?22 （２）由4an?1?f(an)?2an?2 =an?4an?an(an?4)，
【解析】（１）由
y?2anan4a?4an111则bn?， ???n?1??an?44an?14an?1an4an?1ananan?111111111 ?Sn?b1?b2?????bn?(?)?(?)?????(?)＝?a1a2a2a3anan?1a1an?122? an?4an，则 an?4an?1?4an?0，即an?1?an (n?N*)，所以数列{an}为递增数列，
11故an?1?a1，所以Sn??．
a16又4an?1（３）由4an?12? an?4an?(an?2)2?4an?1?4?4(an?1?2)，两边取2为底的对数，得
2log2(an?2)?2?log2(an?1?2)，即2[log2(an?2)?2]?log2(an?1?2)?2，
由此递推式得：
log2(an?1?2)?2?2[log2(an?2)?2]?22[log2(an?1?2)?2]?????2n[log2(a1?2)?2] ?2[log28?2)]?2nn， 所以log2(an?2)?2?2n?1，则an?2?22n?1?2（n?N*）．
10、已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)．
(I)求椭圆的方程； (II)直线l平行于OM，且与椭圆交于
(i)若?AOB为钝角，求直线l在
A、B两个不同点．
y轴上的截距m的取值范围；
(ii)求证：直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．
2??a?8?x2y2x2y2【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为2?2?1 (a?b?0)，则?4， 解得?2，∴椭圆的方程为??1 1ab82??b?2?2?2?1?a?2b?ab（Ⅱ）（ⅰ）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k?kOM?1，又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为 21?y?x?m,?1?222 得x?2mx?2m?4?0. 又直线l与椭圆交于A、B两个不同点， y?x?m，由?222?x?y?1,?2?8????????22?2?m?2?AOB,y2)，??(2m)?4(2m?4)?0，于是，为钝角等价于OA?OB?0且m?0，设A(x1,y1),B(x2
????????115mOA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(x1?m)(x2?m)?x1x2?(x1?x2)?m2?0，由韦达定理x1?x2??2m，
2242x1x2?2m2?4代入上式，化简整理得m2?2，即?2?m?2，故所求范围是(?2,0)?(0,2)；
（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k1，k2.由k1?y1?1y?1，k2?2， x1?2x2?2 17
而k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)?? x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)xx?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)2?2?12
(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)2m2?4?2m2?4m?4m?4???0，所以k1?k2?0，故直线MA、
(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)MB的倾斜角互补，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
18
2013届高考数学基本能力题训练（36）
一、填空题： 1、设f1(x)?2，f2(x)?sinx?cos2x，f3(x)?sinx?cos2x，f4(x)?sinx2，上述函数中，周期2函数的个数是 .2
f1(x)?2是以任何正实数为周期的周期函数；f2(x)不是周期函数，因为sinx是以T1?2?cos2x是以T2?x2为周期的周期函数，
2?2为周期的周期函数，而T1与T2之比不是有理数，故f2(x)不是周期函数；f3(x)不是周期函
2?2数，因为sin是以T1?22?为周期的周期函数，cos2x是以T2?为周期的周期函数，而
T1?2，故T2f3(x)是周期函数；f4(x)?sinx2不是周期函数．
x2y2x2y22、已知A、B是椭圆2?2?1(a?b?0)和双曲线2?2?1(a?0,b?0)的公共顶点.过坐标原点O作一条
abab射线与椭圆、双曲线分别交于M、N两点，直线MA、MB、NA、NB的斜率分别记为k1、k2、k3、k4， 则k1、k2、k3、k4之间的关系式为 ．k1?k2*3、已知数列?an?(n?N)，首项a1???(k3?k4)
满足?52，若二次方程anx?an?1x?1?0的根?、?62??????1，则
数列
1__.?n?an?的前n项和Sn?__________224?n 34、若对|x|?1的一切x，t?1?(t?4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.
2①若t?4?0，则由
t?1t?11?211?211?21?x?1?t??t??2 恒成立得，解得，从而
t2?4t2?4222或2?t?t?1t?11?2122?x恒成立得2??1，；②若t?4?0，则t?2符合题意；③若t?4?0，则由2t?4t?42解得t??1?13?1?13?1?13?t?2. 或t?，从而222?1?131?21,). 22综上所述，t的取值范围是(35、已知三次函数f(x)?x?x，对任意的m?[?2,2]，f(mx?2)?f(x)?0恒成立，则x的取值范围是 ．
1
f/(x)?3x2?1?0恒成立，所以f(x)?x3?x在(??,??)上为增函数，所以由f(mx?2)?f(x)?0恒成立
得
f(mx?2)?f(?x)即mx?2??x恒成立，设p(m)?mx?x?2，则p(m)?mx?x?2?0对m?[?2,2]
恒成立，所以??p(?2)?02，故?2?x?．
3?p(2)?0p（p为常数且p?0），若f(x)在区间(1,??)上的最小值为4，则实数p? ． x?1pp9?[x(?1?)?]?1p2?，所以12p?1?4，所以p?． f(x)?x?x?1x?146、已知函数f(x)?x?7、如图，将数列?an?中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个
公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列．若a4?5，a86?518，则d? ．
第2行成公差为d的等差数列，可得a2的个数总和为
?a4?2d?5?2d，第n行的数的个数为2n?1，从第1行到第n行的所有数
n(1?2n?1)?n2，86?92?5，第10行的前几个数为：a82，a83，a84，a85，a86，…，所以
2a82?a86?4d?518?4d，第一列a1，a2，a5，a10，a17，a26，a37，a50，a65，a82，…构成一个公比为
2的等比数列，故有a82?a2?28?518?4d?(5?2d)?28，解得d?1.5．
8、已知实数x、y满足方程x?y?4x?1?0，则：①
②
22y的最大值和最小值分别是 ； x?5y?x的最小值是 ；③x2?y2的最大值和最小值分别是 ．
①22yy2、的几何意义是斜率，则数形结合或设k?，用判别式便得；
x?5x?52②?6?2、设y?x?b，则b为截距， 数形结合或用?法；
、?③7?43、7?43，设t?x2?y2，消y得t?4x?1，而2?3?x?2?3．另：考虑t?x2?y2D E C
的几何意义．
二、解答题
9、在长方体ABCD-A2，E是棱CD上的一点． 1BC11D1中，AA=AD=1A
（Ⅰ）求证：
AD1?平面A1B1D；
D1 B C1
2
A1
B1
（Ⅱ）求证：B1E?AD1；
（Ⅲ）若E是棱CD的中点，在棱若存在，求出线段
AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？
AP的长；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）在长方体
所以
ABCD-A1BC11D1中，因为A1D1DA， 1B1?面A2，所以AD1?A1D．所以AD1?面A1B1D A1B1?AD1．在矩形A1D1DA中，因为AA=AD=1（Ⅱ）因为E?CD，所以B1E（Ⅲ）当点P是棱在
?面A1B1CD，由（Ⅰ）可知，AD1?面A1B1CD，所以B1E?AD1．
D E AA1的中点时，有DP∥平面B1AE． 理由如下：
，连接PM,ME．
是
C
AB1上取中点M因为P是棱且PMAA1的中点，MAB1的中点，所以PM∥A1B1，
A
B 11A1B1．又DE∥A1B1，且DE?A1B1．所以 22PM∥DE，且PM?DE，所以四边形PMED是平行四边形，
??面B1AE，ME?面B1AE，所以DPP
D1 M C1
所以DP∥ME．又DP∥平面B1AE，此时，
AP?1A1A?1． 2A1
B1
x2y210、已知椭圆2?2?1(a?b?0)，左右焦点分别为F1、F2，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，
ab直线l经过点F2，倾斜角为45，与椭圆交于（1）若｜F1F2?A、B两点．
|?22，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求?ABF1的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数?、?，使得OM22??OA??OB，试确定?、?2的关系式．
x2?y2?1； 【解析】（1）由已知可得c?2，a?3b，∵a?b?c，∴a?3，b?1，∴3 （2）设
A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l:y?x?2，代入椭圆方程得4x2?62x?3?0，x1?x2?366，|x1?x2|?，|y1?y2|?|x1?x2|?4222322，
x1x2?，∴S?16??22??3； 22 （3）由已知椭圆方程为x2?3y2?3b2…①，右焦点F的坐标为(2b,0)，直线AB所在直线方程为y?x?2b…②，
23b232b，x1x2? 由①②得4x?62bx?3b?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?，设M(x,y)，由
42????????????? OM??OA??OB得x??x1??x2，y??y1??y2，∵点M在椭圆上，∴(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2，
整理得?222(x12?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2，
3
故x12x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?2b)(x2?2b)?4x1x2?32b(x1?x2)?6b2?0……③，又点A,B在椭圆上，
22?3y12?3b2……④，x2?3y2?3b2…… ⑤，由③④⑤式得?2??2?1.
4
2013届高考数学基本能力题训练（37）
一、填空题：
1、若集合A?{x|2cos2?x?2x,x?R},B?{y|y2?1,y?R},则A?B? . 2、在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)?asinax?cosax(a?0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数
g(x)?a2?1的图像所围成的封闭图形的面积是 ． f(x)?a2?1sin(ax??)，其中tan??1a，它的最小正周期为
2?a，振幅为a2?1，由f(x)的图像与g(x)的
2?aa2?1.
图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为
2?a、宽为a2?1的长方形，故它的面积是3、设F为抛物线y2?2px（P?0）的焦点，A1、A2…、An是该抛物线上的任意n个点，若满足
???????????????FA1?FA2???FAn?0，则|FA1|?|FA2|???|FAn|? ．
???????????????设A，得 1、A2、……、An的横坐标分别为x1、x2、x3、…，xn，由FA1?FA2???FAn?0x1?x2???xn?n?pp?np. ，|FA1|?|FA2|???|FAn|?(x1?x2???xn)?n?224、有10台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的庄稼．现有两种工作方案：第一种方案，同时投入并连续工作至收割
完毕；第二种方案，每隔相同时间先后逐台投入，每一台投入后都连续工作至收割完毕．若采用第一种方案需要24小时，而采用第二种方案时，第一台投入工作的时间恰好为最后一台投入工作时间的5倍，则采用第二种方案时第一台收割机投入工作的时间为 小时.
设相同时间间隔为t1小时，第10台投入工作至收割完成为t2小时，则第1，2，3，4，5，6，7，8，9台投入工作的时间依次为9t1的
?t2,8t1?t2,?,t1?t2小时．因采用第一种方案总共用24小时完成，所以每台收割机每小时完成收割任务
?t2?5t2,1[(9t1?t2)?(8t1?t2)???t2]?1，?t2?8，故共需5t2?40（小时）． 24031f(uv)?uf(v)?vf(u)且f(2)?1、f(3)?2，则f()? .
241240，依题意有9t15、定义在R上的函数f(x)满足
26、若a?0、b?0、c?0，且a?ab?ac?bc?4，则2a?b?c的最小值为 ．
a2?ab?ac?bc?4?4?(a?b)(a?c)，2a?b?c?(a?b)?(a?c)?2(a?b)(a?c)?4
7、已知三次函数f(x)?极小值，则u1312x?ax?2bx?c，当x?(0,1)时，f(x)取得极大值，当x?(1,2)时，f(x)取得32?b?2的取值范围是 ． a?1 5
易知
?f/(0)?0?2b?0??f/(x)?x2?ax?2b在区间(0,1)和(1,2)内各有一根，则?f/(1)?0即?a?2b?1?0，由线性规划得
?f/(2)?0?2a?2b?4?0??b?21?(,1)． a?14u?8、设a?0，函数
a2f(x)?x?x，g(x)?x?lnx，若对任意的x1、x2?[1,e]，都有f(x1)?g(x2)成立，则实
数a的取值范围是 ． 问题等价于
f(x)min?g(x)max，g(x)max?g(e)?e?1，f/(x)?(x?a)(x?a)，当0?a?1时， 2x(x?a)(x?a)2?0，f(x)?f(1)?1?a?e?1，所以a?e?2，故e?2?a?1； 2xe?1 当1?a?e时，f(x)min?f(a)?a?a?e?1，所以a?，从而1?a?e；
2f/(x)?(x?a)(x?a)a2?0，f(x)min?f(e)?e??e?1恒成立，故a?e，综上，a?e?2．当a?e时，f(x)? 2xe/二、解答题
1x2y29、如图，A，B是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个顶点．|AB|?5，直线AB的斜率为?．
2ab（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l平行于
AB，与x、y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D．证明：?OCM的面积等于
?ODN
的面积．
【解析】（Ⅰ）依题意得
?b1x2?a?2?y2?1． ，解得 a?2，b?1，所以椭圆的方程为?4?a2?b2?5?1x2?y2?1， （Ⅱ）由于l//AB，设直线l的方程为y??x?m，将其代入
24消去
y整理得2x2?4mx?4m2?4?0．设C(x1,y1)，D(x2,y2)．
6
所以
???16m2?32(m2?1)?0,? ?x1?x2?2m,?2?x1x2?2m?2.证法一：记?OCM的面积是S1，?ODN的面积是S2． 由M(2m,0)，N(0,m)，则S1所以|2y1|?|2?(??S2?11?|2m|?|y1|??|m|?|x2|?|2y1|?|x2|．因为 x1?x2?2m， 221x1?m)|?|?x1?2m|?|x2|，从而S1?S2． 2证法二：记?OCM的面积是S1，?ODN的面积是S2．则S1合．因为 为
所以x1?x2?2m，
?S2?|MC|?|ND|?线段CD、MN的中点重
x1?x2y?y21x?x11?m，1???12?m?m．故线段CD的中点为(m,m)．因2222221M(2m,0)，N(0,m)，所以线段MN的中点坐标亦为(m,m)，从而S1?S2．
210、数列?an?中，an?0，an?1，且an?1?（1）证明：an（2）若a13an?（n?N）．
2an?1?an?1；
?3，计算a2，a3，a4的值，并求出数列?an?的通项公式； 4（3）若a1?p?an?，使得数列??a，求实数p（p?0）?成等比数列．
a?n?【解析】（1）若an?an?1，即
3an?an，得an?0或an?1与题设矛盾，?an?an?1
2an?1（2）a2?92781，a3?，a4? 1028823n解法一：用数学归纳法，先猜想an?n，再用数学归纳法证明．
3?1解法二：由
1an?11112111111?()?，得?1?(?1)，?数列{?1}是首项为?1?，公比为的
33an3an?13ana13an3n11n等比数列，? ?1?()，得an?nan33?1?p?an??成等比数列，公比为q，则
?an?（3）设数列?p?an?1an?1(2p?3)an?p??q，
p?an3(p?an)an7
?p??1?2p?3q?3?0?即(2p?3q?3)an?3pq?p，由p?0，??an?不是常数列，??，?1，
q??p(3q?1)?0?3?此时，??p?an?1?是公比为的等比数列.
3?an?
8
2013届高考数学基本能力题训练（38）
一、填空题：
????????1、已知AB?(x,2x)、AC?(?3x,2)，如果?BAC是钝角，则x的取值范围是 .
114(??,?)?(?,0)?(,??)
3332、函数y?x1?x2（?1?x?1）的最小值是 .?1 2x223、若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1（a?0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，
a????????则OP?FP的取值范围为 ．
x2?y2?1，设点P(x0,y0)，因为F(?2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a?1?4，即a?3，所以双曲线方程为322????????x02x0222?y0?1(x0?3)，解得y0??1(x0?3)，因为FP?(x0?2,y0)，OP?(x0,y0)，所以 则有33????????x024x022?1??2x0?1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 OP?FP?x0(x0?2)?y0?x0(x0?2)?33????????????????34x0??，因为x0?3，所以当x0?3时，OP?FP取得最小值?3?23?1?3?23，故OP?FP的取
43值范围是[3?23,??)．
ACBCAB2??4、已知?ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为 ． BCACBC?ACACBCAB2AC2?BC2?AB2???因为AC?BC?AB?2AC?BC?cosC，所以
BCACBC?ACBC?AC222
4S?ABC2AB2?2coCs??2cCos??BC?ACBC?AC 当C2BC?AC?siCn2Cc?os?BC?ACC2?cosC?2sinC2?2sin(4???4时，最大值为222．
225、已知关于x的方程x?2a?log2(x?2)?a?3?0有唯一解，则实数a? ．
由x2?2a?log2(x2?2)?a2?3?0得2a?log2(x2?2)?3?a2?x2，设f(x)?2a?log2(x2?2)，
g(x)?3?a2?x2，因为方程有唯一解，所以a?0，且两函数的公共点为各自的顶点，所以2a?3?a2，解得a?1
9
或a??3（舍）．
6、已知数列?xn?满足(n?1)xn?1?xn?n，且x1?2， 则x2005? ．
由(n?1)xn?1?xn?n，推出xn?1?1?xn?1，因此有 n?1xn?1?1?xn?1xn?1?1xn?2?1x1?111?1， 即有xn?1???????(n?1)!n?1(n?1)n(n?1)n(n?1)(n?1)n(n?1)?2(n?1)!?2005!?1.
2005!从而可得x20057、已知函数f(x)?x3?3ax(a?R)，若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线y?f(x)的切线，则实数 a的取值范围是 ．
由题意
1f/(x)?3x2?3a??1恒成立，即3a?3x2?1恒成立，则a?．
38、设函数f(x)?|x2?2x?1|，若a?b??1且f(a)?f(b)，则ab?a?b的取值范围是 ．
由
f(a)?f(b)得a2?2a?1??(b2?2b?1)即(a?1)2?(b?1)2?4，所以
4?(a?1)2?(b?1)2?2(a?1)(b?1)，所以0?(a?1)(b?1)?2，即0?ab?a?b?1?2，
故ab?a?b?(?1,1)．
另解：因为(a?1)2?a?1?2cos??a?2cos??1，所以?，由a?b??1 ?(b?1)2?4，所以?b?1?2sin?b?2sin??1??5?4，2?得cos??sin??0，所以?????2??5?2，所以t?ab?a?b?2sin2??1?(?1,1)．
二、解答题
9、正数列?an?的前n项和Sn满足：2Sn?anan?1?1，a1?a?0．
（1）求证：an?2?an是一个定值； （2）若数列?an?是一个单调递增数列，求a的取值范围；
（3）若S2013是一个整数，求符合条件的自然数a． 【解析】（1）2Sn?anan?1?1……（1），2Sn?1?an?1an?2?1…（2），(2)?(1)得2an?1?an?1?an?2?an?…（3），?0，?an?2?an?2；
1?2a11a?2，a,2?，?2?、（2）计算n?1、根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：2a?aa2?1，?a2?aaa114?，a?4，6?，所以奇数项是递增数列，偶数项是递增数列，整个数列成单调递增的充要条件是
aa1a?2??a?2 、解得1?a?1?2；
a1 (3) a2012?2012?、a2013?2012?a、S2013??a1?a3???a2013???a2?a4???a2012?
a任意n?N、an
10
*
2所以a?1、2、503、1006．
??a?2012?a??1007?(2?11?2012?)aa?1006?2026084?1007a?1006a2，S2013是一个整数，
另：2S201310061． ?a2013a2004?1?(2012?a)(2014?)?1、S2013?a2013a2004?1?1007?2012?1007a?aax2y2P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短10、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)C：的焦点为F1、F2，
ab轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且?PF1F2的周长为4?2（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线的l是圆O：x22．
?y2?4上动点P(x0,y0)（x0y0?0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q、R，3?c，可得a?2c，又因为?PF1F2的周
证明：?QOR的大小为定值．
（Ⅰ）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以bx2y2长为4?22，可得a?c?2?2，所以c?2，可得a?2,b?2，所求椭圆C的方程为??1．
42（Ⅱ)直线的l方程为x0x?y0y?422 ，且x0?y03?x2y2??1?4?42，记，，联立方程，消去yR(x,y)Q(x1,y1)?22?3?xx?yy?400?3?得(y02?2x0)x2?216322x0x??4y03916x0?0，?x1?x2?232y0?2x0322?4y0， x1x2?922y0?2x0162?4x01441?1642y1y2?2(?x0x1)(?x0x2)?2??x0(x1?x2)?x0x1x2??9223y03y0?93y0?2x0，
3216161616?4y02?4x02?4(x02?y02)?93330，?QOR?90?为定值． 从而x1x2?y1y2?92???y0?2x02y02?2x02y02?2x02y02?2x02
11
2013届高考数学基本能力题训练（39）
一、填空题：
221、若点P在直线l1:x?my?3?0上，过点P的直线l2与圆C:(x?5)?y?16只有一个公共点M，且|PM|的
最小值为4，则m? ．?1
2、在等比数列{an}中，a1=1,a4=-4，则公比q= ；a1+a2+a3+L+an= ． 2?2、2n-1-1
2x3、已知函数f(x)?10，且实数a、b、c满足f(a)?f(b)?f(a?b)，f(a)?f(b)?f(c)?f(a?b?c)，
则c的最大值为 ．lg4 34、O是锐角三角形?ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别是D、E、F，给出下列命题：
????????????????????????????????????①OA?OB?OC?0； ②OD?OE?OF?0； ③|OD|：|OE|：|OF|?cosA:cosB:cosC；
????????????ABAC??④???R，使得AD??(???????)，以上命题正确的个数是 ．2 |AB|SINB|AC|SINC?ax?1?1?x?0?，其中a、b?R， f?x???bx?20?x?1?x?1?5、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1,1]上，
13f()?f()，则a?2b的值为 . 10 22bx?c126、已知函数f(x)?2（a、b、c?R，且a?0）是奇函数，若f(x)的最小值为?，且f(1)?，
ax?125则b的取值范围是 ．
2b2bxb?，又a?0，故b?0，所以f(x)?2由f(0)?0得c?0，由f(1)?得 ?15a?15ax?1ax?x若
在(??,0)上取最小值为?111b1]??2a，所以??，所以a?b2，所以 ，因为ax???[(?ax)?2x?x2?2af(1)?b21??b?2． ，故2b?152?????????????7、在?ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且3aBC?4bCA?5cAB?0，则a:b:c? ．
??????????????????????????????????????由3aBC?4bCA?5cAB?0得3a(BA?AC)?4bAC?5cBA?(3a?5c)BA?(3a?4b)AC?0，
12
3?c?a??????????3a?5c?0?5 又BA、AC不共线，所以?，解得?，所以a:b:c?20:15:12．
?3a?4b?0?b?3a??4x2y28、设F是双曲线2?2?1（a?0、b?0）的右焦点，两渐近线分别为l1、l2，过Fab作直线l1的垂线，分别交
???????? l1、l2于A、B两点．若OA、AB、OB的长成等差数列且向量BF与FA同向，则双曲线的离心率e? ．
显然OF平分?AOB，过F作MF?OB于M，则FM?FA，l1:y?bx，F(c,0)， aAF?bca?b22?b、OF?c，所以OA?a，FM?FA?b，S?AFO?S?OFB?S?AOB，设AB?x、
1?ax21?1b?by?a则?2OB?y，2?y?2x?a?2，即?b?byax??ax?a?y?2，将上式两边同乘x得abx?bxy将下式两边同乘bx ?ax2，
得abx?bxy?2bx，所得两式相减得a?2b，所以a?2b、c?5b，e?c5． ?a2二、解答题
9、设Tn为数列?an?的前n项的积，即Tn?a1?a2???an．
⑴若Tn?n2，求a3a4a5的值；
an2n?N*?，证明数列?log2an?为等比数列，并求?an?的通项公式；⑵若数列?an?各项都是正数，且满足Tn? ?4⑶数列?an?共有100项，且满足以下条件：① a1?a2???a100?2；②等式
a1?a2???ak?ak?1?ak?2???a100?3T525【解析】（1）a3a4a5??；
T24对1?k?99,k?N*恒成立．试问符合条件的数列共有多少个？为什么？
a12Tnan2a1?T1? （2）当n?1时，，所以a1?4，当n?2时，log2a1?2，an??4Tn?1an?12则log2an，又an2所以an?an?1， ?0，
?2log2an?1， 所以数列?log2an?为等比数列，logaan?2n，所以an?22n；
（3）a1?a2?a3???a100?3，所以a1?1或2，Tk是方程x2?3x?2?0的一个实根，当数列前k?2?k?98?项
99确定后，其前k项积Tk确定，由Tk?1可得到两个ak?1，所以符合条件的数列共有2个．
x2y2?10、椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点F1(?c,0)、F2(c,0)，M是椭圆C上一点，且满足?F1MF2?．
3ab（1）求椭圆的离心率e的取值范围； （2）当离心率e取得最小值时，点N(0,33)到椭圆上的点最远距离为43，求此时椭圆C的方程；
13
（3）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求t?PF1?PF2OP的取值范围．
【解析】(1)在?MF1F2中，MF1即
2?MF2?2MF1?MF2cos?F1MF2?4c2
2?MF1?MF2?2?3MF1?MF2?4c2 ，即4a2?3MF1?MF2?4c2，则
2?MF1?MF2?23MF1?MF2?4a2?4c2，MF1?MF2????a，当且仅当MF1?MF2?a时取等号，
2??∴4a2?4c2?3a2即a2?4c2，∴e2?11，即e?[,1)； 421(2)由(1)知e的最小值为
2x2y2?2?1，则y?[?3c,3c] ，令 即a?2c,b?3c，则椭圆方程为:24c3c?x2?y?33N(0,3??3)到椭圆上点的距离平方为u，则u??2?4c2?42y?y2?63y?27 321y?93?4c2?108，若?3c??93时,即c?9时,umax?u?93?4c2?108?48， 3????则c无解；若?3c??93时，即0?c?9时，umax?u?3c?3c2?18c?27?48，解得c?1或
??x2y2c??7(舍)，∴所求椭圆方程为??1；
43(3)令OP2222?m、则m??b,a?，又PF1?PF2?2a，由余弦定理可得PF， ?PF?2m?2c122m2?c2?a2a2?c2则(PF，∴t??21?1?PF2)?4m?c?amm22?222?，∵m?[b,a] ，
a2?c2a2?c2a2?c2??∴
a2m2b2a2?c2c2?2即0?1?m2a，∴t的取值范围是0?t?2c． a
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2013届高考数学基本能力题训练（40）
一、填空题：
?1、已知O是?ABC的外心，AB?2，AC?1，?BAC?120，设AB?a，AC?b，若AO?ma?nb，
则m?n? ．?1 2yl2、函数f(x)?1?2x?3?2x的最大值是 .
f(x)?1?2x?3?2x?22，其等号仅当11?2x?3?2x即x?时成立.
2PxF1x2y2a?0、b?0）的左、右焦点， 3、如图，已知F1、F2，是双曲线L:2?2?1（
ab过点F1且斜率为2的直线l交双曲线L的左支于点P，若直线PF2值为 ．
OF2?直线l，则
ab的
1 21是定义在(??,?1]?[1,??)上的奇函数，则f(x)的值域为 ． 2x?1111x由f(?1)??f(1)得a??，所以f(x)???x，当x?[1,??)时，2?1?[1,??)，所以
222?1113113??x?[?,?)，由于f(x)为奇函数，所以当x?(??,?1]时，f(x)?(,]，从而f(x)的值域为22?122223113[?,?)?(,]． 22224、若函数f(x)?a?5、设Sn是等比数列?an?的前n项和，S3、S9、S6成等差数列，且a2?a5?2am，则m? ．
由S3、S9、S6成等差数列知q?1显然不符合题意，当q?1时，由S3、S9、S6成等差数列得
1a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)33693，即q?q?2q，解得q??或q?1（舍），由a2?a5?2am得 ??2?21?q1?q1?q1a1q?a1q4?2a1qm?1即q?q4?2qm?1即q3?q6?2qm?1即q9???qm?1，所以m?1?9，m?8．
8
6、设无穷数列{an}的各项都是正数，Sn 是它的前n项之和，对于任意正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比
中项，则该数列的通项公式为 ．
a?2?2Snan?4n?2(n?N)．由题意知n2?(an?2)2即Sn?8……①，由a1?S1得
a1?2?2a12，从而
(an?1?2)2(n?2)……②，于是有 a1?2，又由①式得Sn?1?8 15