规律总结：
熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键．
【同步练】
（2016·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
类型六：抛物线与相似的综合问题
【例题6】（烟台市 2014 中考 -26）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
，抛物线y=ax﹣ax﹣a经过点B（2，
2
），
【解析】（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．
（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．
（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．
【解答】解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得解得a=
，
x﹣
2
=a×2﹣2a﹣a，
2
∴抛物线的表达式为y=
x﹣．
（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90° ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCF=90°， ∴∠ACO=∠CBF， ∵∠AOC=∠CFB=90°， ∴△AOC∽△CFB， ∴
=
，
=
，
设OC=m，则CF=2﹣m，则有
解得m1=m2=1， ∴OC=CF=1， 当x=0时，y=﹣∴OD=
，
，
∴BF=OD，
∵∠DOC=∠BFC=90°， ∴△OCD≌△FCB， ∴DC=CB，∠OCD=∠FCB， ∴点B、C、D在同一直线上， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．
（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则
，
解得k=﹣∴y=﹣
x+
，
，代入抛物线的表达式﹣
x+
=
x﹣
2
x﹣．
解得x=2或x=﹣2， 当x=﹣2时y=﹣
x+
=﹣
×（﹣2）+
=
，
∴点E的坐标为（﹣2，∵tan∠EDG=
=
=
）， ，
∴∠EDG=30° ∵tan∠OAC=
=
=
，
∴∠OAC=30°， ∴∠OAC=∠EDG， ∴ED∥AC．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．
【同步练】
（2016·湖北荆门·14分）如图，直线y=﹣
x+2
与x轴，y轴分别交于点A，点
B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和
个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过
点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由． （4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【达标检测】
1. （2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=
，10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
2. （2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O、P、A三点坐标； ②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
专题九：二次函数压轴题
【问题解析】
中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题．此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力．它符合新课标对学生能力提高的要求．
从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高．压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是必不可少的．近几年来主要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，
【热点探究】
类型一：抛物线与三角形的综合问题
【例题1】（2016·云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
的抛物线经过B（2，0）、
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；
（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．
【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）， 把C（0，4）代入：4=﹣2a， a=﹣2，
∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x+2x+4；
（2）如图1，设点P（m，﹣2m+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D， ∴S=S梯形+S△PDB=
m（﹣2m+2m+4+4）+
2
22
（﹣2m+2m+4）（2﹣m），
2
S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6， ∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S大=6；
（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形， 理由是：
设直线BC的解析式为：y=kx+b， 把B（2，0）、C（0，4）代入得：解得：
，
，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4， 设M（a，﹣2a+4）， 过A作AE⊥BC，垂足为E， 则AE的解析式为：y=
x+
，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2）， 设Q（﹣x，0）（x＞0）， ∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM， ∴
①，
2
2
2
2
由勾股定理得：x+4=2×[a+（﹣2a+4﹣4）]②， 由①②得：a1=4（舍），a2=当a=
时，x=
，
，
∴Q（﹣，0）．
【同步练】
（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
2
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
类型二：抛物线与四边形的综合问题
【例题2】2016·青海西宁·12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；
（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；
∠AMC=60°，进而
（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标． 【解答】（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上， 则MA=MB=MC=ME=2， 又∵CO⊥MB， ∴MO=BO=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2）， 抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2）， 设函数解析式为y=a（x+1）﹣2（a≠0） 把点B（1，0）代入y=a（x+1）﹣2， 解得：a=
，
（x+1）﹣2；
22
2
故二次函数解析式为：y=
（2）证明：连接DM， ∵△MBC为等边三角形， ∴∠CMB=60°， ∴∠AMC=120°， ∵点D平分弧AC， ∴∠AMD=∠CMD=∵MD=MC=MA，
∠AMC=60°，
∴△MCD，△MDA是等边三角形， ∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；
（3）解：存在． 理由如下：
设点P的坐标为（m，n）
∵S△ABP=∴
AB|n|，AB=4
×4×|n|=5，
即2|n|=5， 解得：n=±当
时，
，
（m+1）﹣2=
2
，
解此方程得：m1=2，m2=﹣4 即点P的坐标为（2，当n=﹣
时，
），（﹣4，
2
）， ，
（m+1）﹣2=﹣
此方程无解， 故所求点P坐标为（2，
），（﹣4，
）．
【同步练】
（2016·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
类型三：抛物线与图形变换的综合问题
【例题3】（2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
2
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
【解答】解：
（1）由抛物线过M、N两点，
把M、N坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x﹣3x+5， 令y=0可得x﹣3x+5=0，
2
2
，解得，
该方程的判别式为△=（﹣3）﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0， ∴抛物线与x轴没有交点；
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上， ∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2）， 可设平移后的抛物线解析式为y=x+mx+n，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣
，﹣
），而原抛物线顶点坐标为（
，
），
，解得
，
2
2
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线； ②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣
，﹣
），而原抛物线顶点坐标为（
，
），
，解得
，
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
【同步练】
（2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+
2
x+3
与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的
对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
类型四：抛物线下的动态最值问题
【例题4】（2016·贵州安顺·14分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
）三点代入求出a、b、c的值即可；
2
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
）三点在抛物线上，
2
∴，
解得．
2
∴抛物线的解析式为：y=
x﹣2x﹣；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣
2
，
∴其对称轴为直线x=﹣连接BC，如图1所示， ∵B（5，0），C（0，﹣
=﹣=2，
），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
x﹣，
，
∴直线BC的解析式为y=当x=2时，y=1﹣∴P（2，﹣
（3）存在．
）；
=﹣
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣∴N1（4，﹣
）；
），
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA）， ∴N2D=OC=∴
2
，即N2点的纵坐标为
=
，
，
．
x﹣2x﹣
解得x=2+或x=2﹣
∴N2（2+，），N3（2﹣，）．
），（2+
，
）或（2﹣
，
）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
【同步练】
（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧且FH=1.5
（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
上的点F作FH⊥AD于点H，
2
类型五：抛物线下的动态存在问题
【例题5】（枣庄市 2015 中考 -25）如图，直线y=x+2与抛物线y?ax2?bx?6（a≠0）相交于A（
15，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴22于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
思路分析：
此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，很容易求得m的值，又因为已知抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
对于题（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图形从三种情况进行分类讨论，分别求解．
解题过程：
解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（
15，）、B（4，6）在抛物线y?ax2?bx?6上， 22121?5?a?2??()a?b?6∴?2，解得， 22?b??8???6?16a?4b?6∴抛物线的解析式为y?2x2?8x?6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2?8n?6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2?8n?6）， =?2n2?9n?4， 949=?2(n?)2?，
48∵PC＞0， ∴当n=
949时，线段PC最大且为． 48（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°． 如答图3﹣1，过点A（
1515，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=． 2222过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN=AN=
515，∴OM=ON+MN=+=3， 222∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b， 5?1?k??1?k?b?则：?2， 2，解得?b?3???3k?b?0∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ① 又抛物线的解析式为：y=2x﹣8x+6 ② 联立①②式，解得：x=3或x=
1（与点A重合，舍去） 22
∴C（3，0），即点C、M点重合． 当x=3时，y=x+2=5， ∴P1（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°． ∵y=2x﹣8x+6=2（x﹣2）﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． 如答图3﹣2，作点A（
15，）关于对称轴x=2的对称点C， 2275，）． 222
2
则点C在抛物线上，且C（当x=
711时，y=x+2=． 22711，）． 22∴P2（
∵点P1（3，5）、P2（
711，）均在线段AB上， 22
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（
711，）． 22
3. （2016·广西桂林·12分）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．
4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示） 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣
，
）
2
2
5. （枣庄市 2014 中考 -25）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．
2
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
6. （郴州市 2014 中考 -26）已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
2
7. （2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线
经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
8. （2016·福建龙岩·14分）已知抛物线的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
与y轴交于点C，与x轴2y??1x?bx?c2（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
类型一：抛物线与三角形的综合问题 【同步练】
（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
2
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x+bx+c得，
解得
2
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，
配方得y=﹣（x﹣1）+5， ∴点M的坐标为（1，5）；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
解得
2
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F
把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）
∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）
∵MG=1，GC=5﹣4=1 ∴MC=
=
，
把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5）， ∵NG=GC，GM=GC， ∴∠NCG=∠GCM=45°， ∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点 ①若有△PCM∽△BDC，则有∵BD=1，CD=3， ∴CP=
=
=
，
∵CD=DA=3， ∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴， ∵∠PCH=45°，CP=∴PH=把x=∴P1（
=
，
代入y=﹣x+4，解得y=
）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣∴P2（
）；
代入y=﹣x+4，解得y=
②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP=∴PH=3
÷
=3
=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1； 若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7 ∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（1），P4（﹣3，7）．
类型二：抛物线与四边形的综合问题 【同步练】
（2016·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
），P2（
），P3（3，
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；
（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c， ∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），
2
2
∴，
解得：a=﹣，b=﹣，c=3，
2
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x﹣x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形， ∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB， ∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形； （3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（1，0），P（5，3）， ∴
，
解得：k=，b=﹣，
∴直线PA的解析式为y=x﹣，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA， 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣大值为5．
）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．
类型三：抛物线与图形变换的综合问题 【同步练】
（2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
2
x+3
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）先求出S△PCD最大时，点P（路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；
，
），然后判断出所走的路径最短，即最短
（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可． 【解答】解：（1）△ABC为直角三角形， 当y=0时，即﹣x2+∴x1=﹣∴A（﹣∴OA=
，x2=3
，0）， x+3=0，
2
2
2
2
2
2
，0），B（3，OB=3
，
当x=0时，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=3，
根据勾股定理得，AC=OB+OC=12，BC=OB+OC=36， ∴AC2+BC2=48， ∵AB=[3
2
）]=48，
2
﹣（﹣
∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， （2）如图，
∵B（3，0），C（0，3），
x+3，
∴直线BC解析式为y=﹣过点P作∥y轴， 设P（a，﹣ a2+∴G（a，﹣
a+3），
a+3），
∴PG=﹣a+
2
a，
2
设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC， S△PCD=×（xD﹣xC）×PG=﹣∵0＜a＜3∴当a=
，
时，S△PCD最大，此时点P（
（a﹣
）+ ，
）， ，
将点P向左平移称轴于点M，
个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对
连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，
∴P（∴P′（∵点A（﹣
，，
） ）， ，0），
x+，
，
+
=
∴直线AP′的解析式为y=当x=0时，y=， ∴N（0，），
过点P′作P′H⊥x轴于点H， ∴AH=
，P′H=
，AP′=
∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=（3）在Rt△AOC中， ∵tan∠OAC=
=
，
；
∴∠OAC=60°， ∵OA=OA1，
∴△OAA1为等边三角形， ∴∠AOA1=60°， ∴∠BOC1=30°， ∵OC1=OC=3，
∴C1（∵点A（﹣∴AE=2
，）， ，0），E（
，
x+2， ，4），
+2﹣）=a﹣
2
2
a+7，
，
∴A′E′=AE=2
∵直线AE的解析式为y=设点E′（a，∴A′（a﹣2∴C1E′=（a﹣2C1A′2=（a﹣2
﹣
2
a+2）， ，
2
﹣2） ）+（
）2+（
2
2
﹣2﹣）2=a2﹣
a+49，
①若C1A′=C1E′，则C1A′=C1E′ 即： a﹣∴a=∴E′（
，
2
a+7=a﹣
2
a+49，
， ），或（
（舍），
，7﹣
，5），
②若A′C1=A′E′， ∴A′C1=A′E′ 即： a2﹣∴a1=∴E′（
a+49=28， ，a2=，7+
2
2
），
③若E′A′=E′C1， ∴E′A′=E′C1 即： a2﹣∴a1=∴E′（
a+7=28， ，a2=，3+
2
2
），
即，符合条件的点E′（﹣
），（
，3+
，5），（）．
，7+），或（
，7
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．
类型四：抛物线下的动态最值问题 【同步练】
（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧且FH=1.5
（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
上的点F作FH⊥AD于点H，
2
【解析】
（1）首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标，将A、B、D三点代入，即可求出本题的答案；
（2）由于点E与点B 关于x轴对称，所以，连接BF，直线BF与x轴的交点，即为点P，据此即可得解；
（3）从CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三个方面进行分析，据此即可得解． 【解答】
解：（1）连接BD，
∵AD是⊙M的直径，∴∠ABD=90° ∴△AOB∽△ABD， ∴
=
，
在Rt△AOB中，AO=1，BO=2， 根据勾股定理得：AB=∴∴AD=5，
∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4， ∴D（4，0），
把点A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax+bx+c可得：
2
，
，
，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）连接FM，
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．
①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，
∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）． ②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线L经过O、P、A三点， ∴有
，
解得：，
∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．
（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点， ∴设点E的坐标为（m，﹣∴S△OAE+SOCE=
OA?yE+
+2m）（0＜m＜4），
2
2
OC?xE=﹣m+4m+2m=﹣（m﹣3）+9，
∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．
3. （2016·广西桂林·12分）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）直接将点A的坐标代入y1=ax﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；
（2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；
2
（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；②当1＜t≤2时，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合，这里不重合的图形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：
将A（m，1）代入y1=ax﹣2ax+1得：am﹣2am+1=1， 解得：m1=2，m2=0（舍），
∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；
（2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴， 若四边形ABDE为矩形，则BC=CD， ∴BM+CM=BC=CD， ∴1+（﹣a）=2， ∴a=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∵y1抛物线开口向下， ∴a=﹣
，
），
∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣∴设y2=a（x+1）+1﹣∴y2=
x+2
2
2
，则a=，
x+1；
（3）如图1，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD， 得BQ=
，DQ=3，则BD=2
，
∴∠BDQ=30°， ∴PH=∴S=
，PG=
t，
t2，
（t﹣1），E′F=2（t﹣1），
（PE+PF）×DP=
如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G=S不重合=
（t﹣1），
+
2
S=S1+S2﹣S不重合==﹣
（t﹣1）﹣；
（t﹣1）2，
综上所述：S=t（0≤t≤1）或S=﹣
2
（1＜t≤2）．
4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示） 注：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣
2
，）
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用对称轴方程可求得b，把点A的坐标代入可求得c，可求得抛物线的解析式；
（2）根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标；
（3）根据B、C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径，可求得圆的面积．
【解答】解：
（1）由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（2）由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6， ∴OB=5，
∴B点坐标为（5，0）， ∵y=x2﹣4x﹣5， ∴C点坐标为（0，﹣5）；
（3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，
，解得
，
∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度， 在Rt△OBC中，OB=OC=5， ∴BC=5
，
，
）2=
π．
∴圆的半径为∴圆的面积为π（