荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟
2016届高三2月联考 数 学（理科）试 题（参考答案）
一、 选择题
C A D C C B C A D C B D 二、 填空题
132, 2, ， 22 323三、
解答题
17.解（Ⅰ）当n?2时，由an?2?3Sn①，得an?1?2?3Sn?1②，①-②即得
4an?an?1???2分,而当n?1时，a1?2?3a1，故a1?111?1?首项为公比为的等比数列，其通项公式为an????242?4?1???3分，因而数列?an?是2n?1?1?????2?2n?1,n?N*.??6分
?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）知an????2?n2n?1,故bn?1?2n .???8分，数列?an?bn?的前n项和
Tn?a1?b1?a2?b2???an?bn??a1???an???b1???bn?
1??1??1???2??4???11?4??n?1?1?2nn??221???????n2???,n?N*233?4? .???12分
18.法一（Ⅰ）取AD中点F，连接BF，则FD//BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴ FB//ED∵直角△BAF和直角△CBA中，
BACB??2∴直角△BAF?直角△CBA，易知AFBA分又∵PA?平面
BF?AC∴ED?AC???2
ABCD∴PA?ED??4分，而PA?AC?A∴ED?平面PAC.得证. ??5分
（Ⅱ）由△AGD?△CGE，知DG?DGAD2335??，∵AB?AD?2∴EG?DE?，GEEC35525设ED交AC于G，连接PG，则?EPG是直线PE与平面PAC所成的角，5sin?EPG?EG35?，∴PE?3，而AE?5故PA?PE2?AE2?2.??7分.EP5作GH?PC于H，由PC?DE，知PC?平面HDG，∴PC?DG，∴?GHD是二面角
6
A?PC?D的平面角.??9
GC?CE2?EG2?分∵△PCA?△GCH，∴
PAPC?，而GHGC65PA?GC30615∴GH?∴tan?GHD?，∴cos?GHD?，?5PC53515??12分（其他方法酌情给分） 5即二面角A?PC?D的平面角的余弦值为法二：（Ⅰ）∵PA?平面ABCD∴AB?PA 又∵AB?AD，故可建立建立如图所示坐标系??1分.由已知D(0,2,0)，E(2,1,0)，??????????0，（）∴，C(2,4,0)P(0,0,?)AC?(2,4,0)AP?(0,0,?)，
????????????????????DE?(2,?1,0)∴DE?AC?4?4?0?0，DE?AP?0.??4分，
∴DE?AC，DE?AP，∴ED?平面PAC??6分
????????（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一个法向量是DE?(2,?1,0)，PE?(2,1,??) ????????设直线PE与平面PAC所成的角为?，∴sin??|cos?PE,DE?|?|4?155??25，5|????2∵??0∴??2，即P(0,0,2) ???8分
????????设平面PCD的一个法向量为n?(x0,y0,z0)，DC?(2,2,0)，DP?(0,?2,2)
?????????2x?2y?00由n?DC，n?DP∴?0，令x0?1，则n?(1,?1,?1) ???10分
??2y0?2z0?0????DE??∴cos?n，
2?13?5?15???11分 显然二面角A?PC?D的平面角是锐角，5
∴二面角A?PC?D的平面角的余弦值为
15???12分（其他方法可酌情给分）
5
250??22?12?8?8?502219.解：(Ⅰ)由表中数据得K的观测值K???5.556?5.024
30?20?30?209所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）???3分
(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区
y域为??5?x?7(如图所示)
?6?y?81O1x设事件A为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x?y???5分
1?1?1112? 即乙比甲先解答完的概率.??7分 ?由几何概型P(A)?2?288(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C82?28种，其中
甲、乙两人没有一个人被抽到有C62?15种；恰有一人被抽到有C21?C61=12种；两人都
7
被抽到有C22?1种
?X可能取值为0,1,2，P(X?0)? P(X?1)?15， ???8分 28123?， ???9分 2871 P(X?2)? ???10分
28X的分布列为：
X 0 1
P 1512 28282 1 28
………11分 ?E(X)?0?分
151211+1?+2??2828282 .???12
20.（1）得圆M的圆心为M??1,0?,半径r1?1;圆N的圆心N?1,0?,半径r2?3.设圆P的圆心为P?x,y?,半径为R.因为圆P与圆M外切并与圆N内切，所以
PM?PN?R?r1?r2?R?r1?r2?4. ???3分
由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为3的椭x2y2??1?x??2?. ???5分 圆（左顶点除外），其方程为43（2）假设存在T?t,0?满足?OTS??OTR.设R?x1,y1?,S?x2,y2?
??y?k?x?1?2222联立? 得?3+4k?x?8kx?4k?12?0，由韦达定理有
22??3x?4y?12?0?8k2x1?x2???3?4k2①，其中??0恒成立， ???7分由?OTS??OTR(显然TS,TR的?2?xx?4k?1212?3?4k2?斜率存在)，故kTS?kTR?0即
y1y?2?0②，由R,S两点在直线y?k?x?1?上，x1?tx2?t故 y1?k?x1?1?,y2?k?x2?1?代入②得
2x1x2??t?1??x1?x2??2t?k?x1?1??x2?t??k?x2?1??x1?t?k????0即有 =?x1?t??x2?t??x1?t??x2?t?8
2x1x2??t?1??x1?x2??2t=0③ ???9分
将①代入③即有：
8k2?24??t?1?8k2?2t?3?4k2?3+4k2?6t?24?0④，要使得④与k的取23?4k值无关，当且仅当“t?4“时成立，综上所述存在T?4,0?，使得当k变化时，总有
?OTS??OTR. ???12分（其他方法酌情给分）
xx?121.（1）解：证明：F?x??xlnx?x，定义域为x??0,???，F??x??1?lnx+x，
ee而x??1,2?，故F??x??0，即F?x?在?1,2?上单调递增， 又F?1???,F?2??2ln2?
???2分
1e2?0，而F?x?在?1,2?上连续，故根据根的存在性定理有：e2 F?x?在区间?1,2?有且仅有唯一实根. ??4分 （2）当0?x?1时，f?x??xlnx?0，而g?x??（1）知，F??x??1?lnx+x?0，故此时有f?x??g?x?，由xex?1，当x?1时，F??x??0，且存在x0??1,2?使得ex故1?x?x0时，f?x??g?x?；当x?x0时，f?x??g?x?. F?x0??f?x?x??0，0??g00x??xlnx,??因而m?x???x,x?x0??ex0x，??6分显然当1?x?x0时，m?x??xlnx，
m??x??1?lnx?0因而m?x?单增；当x?x0时，m?x?=x1?x?mx??0，因而，??exexm?x?递减；m?x?=n在?1,???有两不等实根x1,x2，则x1??1,x0?,x2??1,???.??7
分
显然当x2?+?时，x1?x2?2x0，下面用分析法给出证明.要证：x1?x2?2x0即证
x2?2x0?x1?x0，而m?x?在?x0,???上递减，故可证m?x2??m?2x0?x1?，又由
m?x1??m?x2?，即证m?x1??m?2x0?x1?，即x1lnx1?分
记h?x??xlnx?2x0?x1， .??92x0?x1e2x0?x,1?x?x0，其中h?x0??0. e2x0?x1?x?2x02x0?x1h??x??1?lnx?=1+lnx??，
e2x0?xe2x0?xe2x0?xt1?t记??t??t，???t??t，当t??0,1?时，???t??0；t??1，+??时，???t??0故
ee
9
??t?max?，而??t??0故0???t??，而2x0?x?0，从而???此h??x??1?lnx?1e1e1e2x0?x?0，因
e2x0?x1?x?2x02x0?x11=1+lnx???1??0，即h?x?单增.从而2x0?x2x0?x2x0?xeeee2x?x1?x?x0时，h?x??h?x0??0即x1lnx1?20x0?x11，故x1?x2?2x0得证...?12分
e(其他方法酌情给分)
22．解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线 依据切割线定理得EA2?EF?EC??2分,另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同
样依据切割线定理得EB2?EF?EC故AE?EB. ??5分 （Ⅱ）连结BF，∵BC为圆O直径，∴BF?EC 由S?BCE?11BC?BE?CE?BF得22BF?分
41?2252?8分又在Rt?BCE中，由射影定理得EF?FC?BF?. ??10?55523．解：（1）B点的坐标为(2cos120?,2sin120?)，即B(?1,3)；C点的坐标为
(2cos240?,2sin240?)，即C(?1,?3)． ??5分
（2）由圆的参数方程，可设点P(cos?,?3?sin?)(0???2?)， 于是|PB|2?|PC|2?(cos??1)2?(sin??23)2?(cos??1)2?sin2?
??16?4cos??43sin??16?8cos(??)， ??8分
3∴|PB|2?|PC|2的范围是?8,24?． ??10分
24．解：（1）当a??4时，f(x)?6，即|x?4|?|x?2|?6，
即??x?2,?2?x?4,?x?4,或?或?
?4?x?2?x?6?4?x?x?2?6?x?4?x?2?6,解得x?0或x?6． 所以解集为(??,0]?[6,??)． ??5分 （2）原命题等价于f(x)?|x?3|在?0,1?上恒成立，即|x?a|?2?x?3?x在?1,2?上恒成立，??8分即?1?x?a?1?x在?1,2?上恒成立，即?1?a?0． ??10分
10
荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考
数 学（理科）试 题
本试卷共4页，总分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1. 复数z?1?2i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
z?iA. z的实部为?1 B. z的虚部为?2i C.z?z?5 D.z
2. 已知集合
分不必要条件，则实数m的取值范围为（ ）
A. ?A?x?Rx2?2x?3?0,B??x?R?1?x?m?B. ???，若x?A是x?B的充
D. ?3,+??
?1,3?
C.?3，???
?1,3?
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间
?0,???上单调递减的是（ ）
开始???y?sin?x??32y?lnxy??x?1 y?x2??A. B. C. D.
5???5???sin?cos????1212a?bS???? 4. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则
的值为( )
输入a,b否a?b是S?abS?b2输出S312?32?3A. 4 B. 4 C.4 D. 4
5. 以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分） 甲组 乙组 9 0 9 y x 2 1 5 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为（ ） A．2,5
B．5,5
C．5,8
D．8,8
结束第4题图
6. 设实数列n和n分别是等差数列与等比数列，且
下结论正确的是（ ）
A．
?a??b?a1?b1?16，a5?b5?1，则以
a2?a3 B．a3?b3 C．a3?b3 D．b2?b3
????????7．在?ABC中，点D在线段BC上，且BD?2DC，点O在线段CD上(与点C,D不重
????????????AO?xAB??1?x?ACx合).若
，则的取值范围是( )
A.??
8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,
0,1?2??,1?B. ?3? ?1??0，?C. ?3? ?12??，?D.?33?
bd*a,b,c,d?Nacx其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），
1
b?d则a?c是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道??3.14159???，若令314916???1015，则第一次用“调日法”后得5是?的更为精确的过剩近似值，即3116???105，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得?的近似分数为
（ ）
22A.7 63B.20 78C.25 109D.35
??????f??x??f??x?,f?x??asinx?bcosx,??4?则直线ax?by?c?0的倾斜9. 已知若?4角为（ ）
2?3?C. 3 D. 4 22xOyx?2y?1的右支上的一个动点，P10. 在平面直角坐标系中，点为双曲线若点P到
直线2x?2y?2?0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为（ ） A.2
?A.4 ?B.3
3B.2 6C. 3 26D. 3
11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）
A． 12? B． 43? C．48? D．323?
12. 已知函数
?x,f?x??处的切线方程l:y?g?x?，若函数f?x?满足
x?x时，?f?x??g?x???x?x??0恒?x?I（其中I为函数f?x?的定义域），当
f?x?的图像在点
00002fxfx?lnx?ax?x?0，e?????x成立，则称0为函数的“转折点”.已知函数在上
存在一个“转折点”，则a的取值范围为（ ）
?1?,???2?2e??A.
1???1,?2?2e?? B.?1??2,1??? C. ?2e1????,??2?2e?? D.
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知函数
??1?x??,x?4f?x?????2??fx?2,x?4???2，则
f?3?的值为 .
14. 已知抛物线y?4x上一点P到焦点F的距离为5，则?PFO的面积为 .
2??x???2y?nxy?xx??15. 若的展开式所有的系数之和为81，则直线与曲线所围成的封闭
区域面积为 .
nACABBC2??16. 已知三角形ABC中，BC边上的高与BC边长相等，则ABACAB?AC的最大
值是______
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
*a?2?3Sn?Nan???. S?nn17.（本小题满分12分） 已知数列的前n项和为n，且满足
（I）求数列
{an}的通项公式；(II)设bn?log2an，求数列{an?bn}的前n项和Tn.
18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥P?ABCD中，直线PA?平面ABCD，
AD//BC,AB?AD，BC?2AB?2AD?4BE=4.
（I）求证：直线DE?平面PAC.
5（II）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为5，
求二面角A?PC?D的平面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验
证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
（I）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率． （III）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望
E?X?．
3
附表及公式
20.（本小题满分12分）已知圆
（I）求C的方程. （II）若直线
M:?x?1??y2?1,2圆
N：?x?1??y2?9,2动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
y?k?x?1?与曲线C交于R,S两点，问是否在x轴上存在一点T，使
得当k变动时总有?OTS??OTR? 若存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数
（I）记
f?x?=xlnx,g?x??，证明
xex
?1,2?区间内有且仅有唯一实根；
F?x??1,2?内的实根为x0，m?x??min?f?x?,g?x??，若
（II）记在m?xn?n?R?1，x,x?x?x2?+??x?x2与2x0的大小，???在有两不等实根121，判断1在
并给出对应的证明.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.
如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆OAD交于点F
F?x??f?x??g?x?F?x?，连结CF并延长交AB于点E．
EF（I）求证：AE?EB； （II）求EF?FC的值.
BOC
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线
C1的极坐标方程
C为??2,正三角形ABC的顶点都在1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的
4
坐标为(2,0)．
（I）求点B，C的直角坐标；
2222C|PB|?|PC|x?(y?3)?12P（II）设是圆：上的任意一点，求的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?|x?a|?|x?2|．
（I）当a??4时，求不等式f(x)?6的解集；
（II）若f(x)?|x?3|的解集包含?0,1?，求实数a的取值范围.
5