A卷
一、填空题
1. 设A、B是两个事件,若已知P(A)?0.6,P(A?B)?0.2,则P(AB)? 0.6 . 2.从0，1，2，3四个数中任意取三个数，则这三个数中不含2的概率为__0.25_____ .
13. 已知随机变量X~B(n,)，且E(X)=18，则n= 54 .
34. 3人独立地编写一个程序，他们能编写成功的概率分别为0.3、0.4、0.5，则能将 此程序编写成功的概率为_____0.79______.
5. 若D(X)=9,D(Y)=16,，X与Y的相关系数为0.5，则D(X+Y）= ___37___. 6.设cov(X,Y)??1,且X~N(0,9),Y~N(1,4),则D(X?Y?1)? 15 . 7.设随机变量X~U(1,3)，试由切比雪夫不等式估计P(X?E(X)?1)?__2/3___.
8.设总体X~P(?)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的样本，则未知参数?的矩估计为__X___。 二、选择题
1. 某地区一年内刮风的概率为0.25、下雨的概率为0.2，既刮风又下雨的概率为0.1，则该地区的气候在下雨的条件下，刮风的概率是【 B 】. A.0.4 B. 0.5 C.0.8 D.1
2.设A，B为两个随机事件，且P（B）>0，则P（A∪B｜B）=【 D 】. A. P（AB） B. P（A） C. P（B） 3. X与Y为任意的随机变量，下面正确的是【 A 】。
D. 1
=E(X﹣)E(Y) A. E(X2)=D(X)+[E(X)]2 B. cov(X,Y)?
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(X)=[E(X)]2?E(X2)
4.设随机变量X服从区间[2，3]上的均匀分布，则下列结论中正确的是【 C 】. A. E（X）=2.5，D（X）=6.25 C. E（X）=2.5，D（X）=1/12
B. E（X）=0.5，D（X）=1/12 D. E（X）=2，D（X）=2
XY=【 C 】.
5.已知D（X）=4，D（Y）=25，Cov（X，Y）=4，则ρA. 0.004 B.0.04 C. 0.4
D. 4
6．设随机变量X服从正态分布,E(X)?1，D(X)?4，则P{2 A．?(0.5)??(1) B．?(1)??(0.5) C．?(0.5)??(0.25) D．?(0.25)??(0.5) 7．样本X1,X2,X3,X4取自总体X，E(X)??为未知，而D(X)??2已知，则下列随机变量中不能作为统计量的是【 D 】. 14142A. 2?(Xi?X) B. ?(Xi?X) C. ?Xi D.X1?X4?2? 3i?14i?1?i?11248.设(X1,X2,X3,X4)是来自总体 X的一个容量为4的样本， 其中E(X)未知，D(X)?1,X是样本平均数，则D（X）?【 B 】. A．1 B．0.25 C．1/16 D．16 三、判断题（判断对错，你认为对的，请在题前的括号内打“√”，否则打“×”。 【× 】1．设A为随机事件，P(A)?0，则A一定是不可能事件. 【√ 】2. 设随机事件A、B相互独立，则P(A?B)?1?P(A)P(B). 【 √ 】3．?(x)是标准正态随机变量的分布函数，则?(x)??(?x)?1. 【 × 】4．设A,B,C为随机事件，则A,B,C都不出现表示为ABC. 【× 】5．设X是随机变量，E(X)=D(X)=3,则X服从参数为3的泊松分布。 【√ 】6．已知X1,?,Xn是来自总体X的样本，X服从均匀分布U(0,?)，则未知参数?的 矩估计是2X. 四、解答题（本大题共5小题。） 1. 某人参加语文、数学、英语考试，假定语文、数学、英语考试合格的概率依次为0.8、0.6、0.7，各门课程能否考试合格相互独立，求下列事件的概率： （1）语文，数学合格而英语不合格（3分）；（2）3门课程都不合格（3分）； （3）3门课程中至少有1门合格.（3分） 解： （1）0.8×0.6×0.3=0.144 （2）0.2×0.4×0.7=0.056 （3）1－0.2×0.4×0.7=0.944 Y 2．二维随机变量（X，Y）的分布律为 X -2 0 2 0 0.15 0.15 0.25 1 0.25 0.05 0.15 （1）求关于X与Y的边缘分布律（4分）； （2）X与Y是否不相关？?与?是否相互独立？为什么？（4分） （3）求Z=2XY分布律（2分）。 解： （1）X的分布律为： X 0 1 P 0.55 0.45 Y的分布律为： Y ﹣2 0 2 P 0.4 0.2 0.4 ………………………4’ (2)∵P(X=1,Y=2)=0.15?0.45×0.4=P(X=1)×P(Y=2) ∴X与Y不独立。……………………………………………………2’ 因为 E（Y）=0，E（XY）=﹣0.2，即E（XY）?E（X）E（Y）， 所以X，Y不是不相关，即X与Y相关。……………………2’ （3） Z=2XY的分布律为： Z ﹣4 0 4 P 0.25 0.60 0.15 ………………………2’ 3．试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率是0.8，求（1）考生选出正确答案的概率（3分）；（2）已知某考生所选的答案是正确的，其确实会解这道题的概率。（3分） 解：记A1={ 考生会解这道题}， A2={考生不会解这道题}， B={考生所选的答案是正确} （1）由全概率公式,所求概率为 P(B)?P(A1)?P(B/A1)?P(A2)?P(B/A2) =0.8?1?0.2?0.25 =.85. ………………………………………………………3’ （2）由贝叶斯公式，所求概率为 P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)0.8??0.941………………………3’ P(B)0.854. X、Y依次表示甲、乙投资方案的一年后的净利润（单位：万元），统计资料表明，它们 的分布律为： X 50 20 -100 Y 70 20 -100 P 0.6 0.3 0.1 P 0.4 0.5 0.1 选用适当的指标（即随机变量的数字特征），比较甲方案与乙方案哪一个好? （6分） 解：因为 E(X)?50?0.6?20?0.3+（-100）?0.1?26.......2'E(Y)?70?0.4?20?0.5+（-100）?0.1?28.......2' E(X) 5. 随机变量X的密度函数为 ?4x3,0?x?1 f(x)?? ?0,其他求：（1）E(X);（3分） （2） D(X);（3分） （3）P(﹣0.2 (1)E(X)??10x?4x3dx?45..................................3'(2)?E(X2)??1x2?4x340dx?6 ?D(X)?46?(45)2?275.....................................3'(3)P(?2?X?0.2)??0.24x30dx?0.0016........................3' B卷 一、 选择题（） 1．掷硬币３次，概率论中将”至少出现一次正面”称为（ D A．样本空间 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 2.设Ａ、Ｂ为任意二事件，下面正确的是( C ) A p?AB??p?A??p?B? B p?AB??p?A?p?AB? C p?A?B??p?A??p?AB? D p?A?B??p?A??p?B??p?A?p?B? Ｘ １ ２ ３ 3.设 X~ Ｐ c c 2c ） 则C＝（ C ） A 1111 B C D 23464. 设X~N?1.5,4?，且??1.25??0.8944,??1.75??0.9599，则P??2?X?4?= （ A ） A ０.８５４３ B ０.１４５７ C ０.３５４１ D ０.２５４３ 5. 设X~E???，则 E(λ)= （ C ） 1A ? B ?? C 6. ? D ?1? 设X为随机变量，a，b为常数，则 D(aX+b)=（ D ） 2 2 A aD(X)+b B aD(X)+b C aD(X) D aD(X) 7. 设 X~ N(0,1), Y=2X+1, 则Y~ ( A ) A N(1,4) B N(0,1) C N(1,1) D N(1,1) 8. 设(X,Y)为二维随机变量，若E??X?E?X???Y?E?Y???存在，则称为随机变量X 和Y的协方差，记为Cov(X,Y),下列错误的是（ D ） A Cov(X,X)=D(X) B Cov(X,C)=0 (C为常数) D D (X+Y) =D(X)+ D(Y) C Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y) 9. 设总体X~ N(0,1)，X1 , X2,?, X6为来自总体X的样本， Y??X1?X2?X3???X4?X5?X6?，若CY~χ分布，则C=（ B ） 222 A 1111 B C D 23461n10.设X1 , X2,?, X10为来自总体X~ N(0,1)的样本，记X??Xi ni?11nS??Xi?Xni?12n??2 则T?3X ~（ B ） 2SnA t(8) B t(9) C t(10) D t(11) 二、填空题 1．设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示事件A,B,C中至少有一个发生 为 A∪B∪C 2．设A,B为两随机事件且P(AB)? 3．已知6只产品中有两只次品，在其中任取两只，则两只都是正品的概率是 4．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,534，P(A)?P(B)?，则P(A?B)= 7772 ． 5111，则三人中至少有 534 一个能将密码译出的概率是 5．将一枚硬币连抛2次，以X表示‘正面朝上’的次数，则X的分布律 3 ． 5 为 X P 0 1 2 0.25 0.25 ． 0.5 ??0.01 6．记t?为Ｔ分布随机变量的上?分位点，已知P?T?2.7638则t0.01＝ 2,7638 ，t0.99＝ --2.7638 ． 7．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则P{a?X?b,Y?d}= F(b,d)- F(a,d) 8．设X~U(a,b)，则E(X)?a?b1?b?a?2 ，D(X)= 21229．设(X1,X2,X3,X4)取自正态总体X~N(0,2)的样本，且 Y? 11(X1?2X2)2?(3X3?4X4)2，则，Y~ χ2 (2) 分布． 20100210．设随机变量X具有E(X)??,D(X)??，则有切比雪夫不等式，有 P{X???3?}? 1 9三、 判断题（正确的打√，错误的打×） 1. 古典概型是研究随机试验中‘每一个结果等可能发生’的一种概率模型。（ ╳ ） 2．设A，B为二事件，当AB＝φ时 P(AB)取得最小值，当A?B?A?B?时P(AB)取得最大值。 （ ╳ ） 3. 设X~B(n,p)，则 D(X)=np(1-p) （ √ ） 4. 设A,B为二事件，则P(A-B)= P(A)- P(B) （ ╳ ） X?2~N?0,1? （ ╳ ） 5. 设随机变量X~N?2,5?，则56.设D(X)=3，D(Y)=1,X与Y相互独立，则D(X-Y)=2 （ ╳ ） 7.概率为０的事件必为不可能事件。 （ ╳ ） 8.对于任何常数c和随机变量X都有 D?X??E?X?c???E?X??c? （ √ ） 229. 设独立随机变量序列X1 , X2,?, Xn为具有相同的数学期望μ和方差σ２ ?1n?则对任意的正数ε，有 limP??Xi??????1 （ √ ） n???ni?1?10. 设总体的数学期望E(X)=μ和方差D(X)=σ２存在，样本（X1 , X2,?, Xn）来自总体Ｘ， 1n1n2设X??Xi，Sn??Xi?Xni?1ni?1??2则有E?X???,D?Sn2???2. （ ╳ ） 四、综合题（） ?Ax0?x?21. 已知随机变量X的密度函数为：f?x??? 0其它? 求：（1）常数A的值； （２分） （2）pX?1 （２分） （3）分布函数F(x) （３分） ??解：（1） ?????2?f?x?dx?1??Axdx?101即Ax222A?11A?220?1 11（2）p?X?1??p??1?X?1???xdx?x202411?01 4 ?0?1（3）F?x???x2?4?1x?00?x?1 x?12．设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下： Y X 0.4 0.8 2 0.15 0.05 5 0.30 0.12 8 0.35 0.03 (1)求X和Y的边缘分布； （３分） (2) 判断X和Y是否相互独立．为什么？ （２分） (3) Z=XY分布律； （３分） 解：（1）X和Y的边缘分布为 Y X 0.4 0.8 P{X=xi} 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yj} 0.8 0.2 (2) X和Y是不独立的．如： ０.１５≠０.８╳０.２ (3) 因为 （X,Y） （2,0.4） （2,0.8） Z=XY 0.8 1.6 P 0.15 0.05 所以，Z=XY分布律为 Z=XY 0.8 1.6 P 0.15 0.05 （5, 0.4） 2 0.3 （5, 0.8） 4 0.12 （8, 0.4） 3.2 0.35 （8, 0.8） 6.4 0.03 2 0.3 4 0.12 3.2 0.35 6.4 0.03 3.设相互独立的元器件R1,R2,R3 构成一个系统，若R1,R2,R3损坏的概率均为p，试确定系统的可靠性 ? (1) R1,R2,R3串联；（３分） (2) R1,R2,R3并联 （３分） (3) R1,R2并联后与R3串联 （３分） 解：设R1,R2,R3元器件正常工作的事件分别为A,B,C.则 P(A)= P(B)= P(C)=1-p （1）R1,R2,R3串联，则系统的可靠性为 P?ABC??P?A?P?B?P?C???1?p?3 (2) R1,R2,R3并联, 则系统的可靠性为 P?A?B?C??1?P?A?B?C??1?P?ABC??1?P?A?P?B?P?C??1?p3 (3) R1,R2并联后与R3串联，则系统的可靠性为 因为 P??A?B?C??P?A?B?P?C? 而 P?A?B??1?P?A?B??1?P?AB??1?P?A?P?B??1?p2 所以 P??A?B?C??P?A?B?P?C??p?1?p2? 4、设随机变量X与Y的联合概率分布如下： Y X -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 求E(X)，E(Y)，D(X) , D(Y) , Cov(X,Y)．（１０分） 解 ： E?X??0?0.07?0?0.18?0?0.15?1?0.08?1?0.32?1?0.2?0.6E?Y????1??0.07???1??0.08?0?0.18?0?0.32?1?0.15?1?0.2?0.2??E?Y????1??0.07???1??0.08?0?0.18?0D?X??E?X???E?X???0.6?0.6?0.24D?Y??E?Y???E?Y???0.5?0.2?0.462222222222EX2?02?0.07?02?0.18?02?0.15?12?0.08?12?0.32?12?0.2?0.62?0.32?12?0.15?12?0.2?0.5 E?XY??0???1??0.07?0?0?0.18?0?1?0.15?1???1??0.08?1?0?0.32?1?1?0.2?0.12Cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??0.12?0.6?0.2?0 5、从一批电子元件中抽取８个样品进行寿命测试（单位：百小时），得到如下数据： 12 15 17 13 18 14 15 16 （1）求这批元件的平均寿命μ的矩估计值；（３分） （2）若这批元件的寿命Ｘ服从参数为λ的指数分布，求λ的矩估计值．（３分） 解：由于样本均值 x??15 （1） 所以，这批元件的平均寿命μ的矩估计值为 （2）由于Ｅ（Ｘ）＝ ??x?15 ???1?，所以λ的矩估计值为 ?11? x15 C卷 一、填空题（） 1.某地区一年内刮风的概率为0.25，既刮风又下雨的概率为0.10，则该地区在刮风的条件，下雨的概率为_0.4____。 2. 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，其期望值为12，方差为6，则n=__24___。 E(X)?3,则D(3X?2)? 27 . 3. 设X服从泊松分布，且4．设随机变量X服从指数分布，E(X)=1000,则P???e-1-e-1.5 1000?X?15005.设（?,?）为二维随机变量，且?与?相互独立，则cov(X,Y)= 0 . 6. 设总体X服从正态分布N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，令U?则D(U)? 1 . X???/n 7.（?,?）为二维随机变量，D(?)=16，D(?)=25，?xy?0.8，则D(???)= 73 8．设总体X服从参数为λ的指数分布，X1，…，Xn为总体X的一个样本，X为样本均值，则未知参数λ的矩估计量为___（X)-1____. 二、单项选择题（） 1．设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，则P{2 2．设随机变量X服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是【 A 】 A．E（X）=0.5，D（X）=0.25 B．E（X）=2，D（X）=2 C．E（X）=0.5，D（X）=0.5 D．E（X）=2，D（X）=4 3．设A与B为任意的事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列各式中错误的是【 C 】 ．．A． P(AB)?P(A)P(B/A) B．P(AB)?P(B)P(A/B) C．P(AB)?P(A)P(A/B) D．P(AB)?P(A) 4．已知D(X)=1，D(Y)=25，COV(X,Y)=2，则D(X－Y)=【 B 】 A．6 B．22 C．30 D．46 5．设总体X服从正态分布N(1,4)，Y?2X?3，则Y服从正态分布【 D 】 ．N(5,19) B．N(2,19) C.N(2,16)． D.N(5,16) 6．3个外形相同的灯泡中只有1个废品，从中任取2个，则恰好取到这个废品概率为 【 B 】 1221A. B. C. D. 43537．设每次试验成功的概率为p(0 23 1A．1-(1-p)3 B．p(1-p)2 C．C3p(1?p)2 D．p+p+P8．(X,Y)为二维随机变量，如果cov(X,Y)=0，则【 D 】。 A. [D(X)]2?E(X) B. X与Y独立 C. X与Y互不相容 D. X与Y不相关 三、判断题（判断对错，你认为对的，请在题前的括号内打“√”，否则打“×”。） 【 √ 】1．设A,B是随机事件，P(A)?0，则P(AB)?0. ，则E(XY)?E(X)E(Y). 【 × 】2．设X,Y是任意的两个随机变量【× 】3．设F(x)是连续型随机变量X的分布函数.则D(X)??【√ 】4．设随机变量X～N（3，9），则P?X?3??P{X?3}. 【√ 】5．已知X1,?,Xn是来自总体X的样本，X服从N(?,32)，E(X)=?. 【 × 】6．设X是随机变量，则E?X?E(X)?也是随机变量。 22?x-E(X)?F(x)dx. -???四、解答题 Y 1．设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X 1 2 -1 0.1 0.3 0 0.2 0 1 0.2 0.2 （1）求关于X与Y的边缘分布律；(4分) （2）X与Y是否不相关？ ?与?是否相互独立？为什么？ （4分） （3）求P{X+Y=1}；（2分） （4）求Z=2X+Y分布律。（2分） 解： （1）X的分布律为： X ﹣1 0 1 P 0.4 0.2 0.4 Y的分布律为： Y 1 2 P 0.5 0.5 ………………………4’ (2)∵P(X=0,Y=2)=0?0.2×0.5=P(X=1)×P(Y=2) ∴X与Y不独立。……………………………………………………2’ 因为 E（X）=0，E（XY）=﹣0.1，即E（XY）?E（X）E（Y）， 所以X，Y不是不相关，即X与Y相关。……………………2’ (3) P{X+Y=1}=0.5……………………………………..................2’ （4） Z=2X+Y的分布律为： Z ﹣1 0 1 2 3 4 P 0.1 0.3 0.2 0 0.2 0.2 ……………2’ 2.设随机变量X的概率密度为 ?x?, f(x)??2??0,0?x?2;其他. 试求：（1）E(X)，D(X)；（5分） （2）D(2﹣3X)；（3分） （3）P{0 解： E(X)??20xx34xdx??26032， x422xE(X)??xdx??22800222………………….2’ 22??D(X)?E(X)?E(X)?2?(4/3)?2/9………………….3’ （2）D(2?3X)?9D(X)?9?2/9?2……………………………..3’ （3) xP{0X?1}??dx?x2/4|10?1/402……………………………3’ 13.经过调查分析，甲、乙两种投资方案的月收益（单位：万元）的资料如下 月收益（万元） 甲方案月收益（X）的概率p1 乙方案月收益（Y）的概率p2 －1 0.2 0.1 0 0.3 0.5 1 0.4 0.3 2 0.1 0.1 选用适当的指标（即随机变量的数字特征），比较甲、乙两种方案哪一种好.（6分） 解：因为 E(X)??1?0.2?0?0.3?1?0.4?2?0.1?0.4………………..2’ E(Y)??1?0.2?0?0.4?1?0.3?2?0.1?0.3………………….2’ 即得E(X)?E(Y)， 所以，所以甲方案比乙方案好。…………2’ 4．某商品由三个厂家供货.甲、乙、丙三厂家提供的商品分别占总数的10%,70%,20%,其优等品率分别为0.1,0.2,0.3,试计算 (1)从这批商品中任取一件是优等品的概率;（3分） (2)已知从这批商品中随机地取出的一件是优等品,问这件商品由乙厂提供的概率。（3分） 解： 记A?{所取一件商品是优等品},B1,B2,B3分别表示”商品来自甲、乙、丙厂”， 依题意有:P(B1)?0.10, P(B2)?0.70,P(B3)?0.20 P(AB1)?0.1,P(AB2)?0.2,P(AB3)?0.3 (1) 由全概率公式 P(A)??P(ABi)P(Bi)?0.21 3’ i?13（2）由贝叶斯公式 P(B2)P(AB2)0.7?0.22P(B2A)???……………………………3’ P(A)0.2135. 某班50名同学参加专业资格考试，以往的资料表明考生能通过的概率为0.6，试用切贝雪夫不等式估计：该班能通过资格考试的人数多于20人且少于40人的概率。（5分） 解： 设该班能通过资格考试的人数为X,由题设，X服从二项分布B(50,0.6)，则E(X)=30,D(X)=12,有由切贝雪夫不等式得 12P(20?X?40)?P(X?30?10)?1-2?0.88 10即该班能通过资格考试的人数多于20人且少于40人的概率不少于88%.............................5’