2013年高考真题理科数学（解析版） 浙江卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）
一．选择题：每小题5分，共50分。
1．已知i是虚数单位，则??1?i??2?i??（ ）
（A）?3?i （B）?1?3i （C）?3?3i （D）?1?i
2 2．设集合S??x|x??2?，T?x|x?3x?4?0，则eRS????T?（ ）
（A）??2,1? （B）???,?4? （C）???,1? （D）?1,???
3．已知x,y为正实数，则（ ） （A）2（B）2lg?x?y?lgx?lgy?2lgx?2lgy
?2lgx?2lgy （C）2lgx?lgy?2lgx?2lgy （D）2lg?xy??2lgx?2lgy
4．已知函数f?x??Acos??x????A?0,??0,??R?，则“f?x?是奇函数”是
???2的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分
S = 1 , k = 1条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
95．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，
5则a?（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
k > a ?10nt2?? 6．已知sin??2cos??则a（ ） ???R?，
24334（A） （B） （C）? （D）?
34431PB?AB，7．设?ABC，P是边上一定点，满足AB004且对边AB上任一点P恒有PB?PC?P。则（ ） 0B?PC0（A）?ABC?90 （B）?BAC?90 （C）AB?AC （D）AC?BC
8．已知e为自然对数的底数，设函数f?x??e?1?x?1?xS = S + 1k ( k + 1 )k = k + 1输出 S00??k?k?1,2?，则（ ）
（A）当k?1时，f?x?在x?1处取得极小值 （B）当k?1时，f?x?在x?1处取得极大值 （C）当k?2时，f?x?在x?1处取得极小值 （D）当k?2时，f?x?在x?1处取得极大值
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x2?y2?1与双曲线C2的9．如图，F1,F2是椭圆C1:4公共焦点，A,B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点。若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ） （A）2 （B）3 （C）
36 （D） 2210．在空间中，过点A作平面?的垂线，垂足为B，记B?f??A?。设?,?是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1?f???f??P???，Q2?f???f??P???，恒有PQ1?PQ2，
则（ ） （A）平面?与平面?垂直 （B）平面?与平面?所成的（锐）二面角为45 （C）平面?与平面?平行 （D）平面?与平面?所成的（锐）二面角为60
00二．填空题：每小题4分，共28分。
1?? 11．设二项式?x?3?的展开式中常数项为A，则A?________。
x?? 12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于________cm。
25?x?y?2?0? 13．设z?kx?y，其中实数x,y满足?x?2y?4?0，若
?2x?y?4?0?z的最大值为12，则实数k?________。
14．将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,B均在C的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）。
15．设F为抛物线C:y?4x的焦点，过点P??1,0?的直线l交抛物线C于两点A,B，
2点Q为线段AB的中点，若|FQ|?2，则直线的斜率等于________。
1，则sin?BAC?____。 3? 17．设e1,e2为单位向量，非零向量b?xe1?ye2?x,y?R?，若e1,e2的夹角为，则
60 16．?ABC中，?C?90，M是BC中点，若sin?BAM?|x||b|的最大值等于________。
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三．解答题：本大题共5小题，共72分。
18．在公差为d的等差数列?an?中，已知a1?10，且a1,2a2?2,5a3成等比数列。 ⑴求d,an；⑵若d?0，求|a1|?|a2|?|a3|??|an|。
19．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分。⑴当a?3,b?2,c?1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量?为取出此2球所得分数之和，求?分布列； ⑵从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量?为取出此球所得分数.
55,D??，求a:b:c。 39 20．如图，在四面体A?BCD中，AD?平面BCD，
若E??BC?CD，AD?2，BD?22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ?3QC。⑴证明：
PQ//平面BCD；⑵若二面角C?BM?D的大小为600，求?BDC的大小。
x2y2 21．点P?0,?1?是椭圆C1:2?2?1?a?b?0?ab的一个顶点，C1的长轴是圆C2:x?y?4的直径，其中l1交圆C2于l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线，
两点，l2交椭圆C1于另一点D。⑴求椭圆C1的方程；⑵求?ABD面积取最大值时直线l1的方程。
32 22．已知a?R，函数f?x??x?3x?3ax?3a?3。⑴求曲线y?f?x?在点
22?1,f?1??处的切线方程；⑵当x??0,2?时，求|f?x?|的最大值。
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2013年普通高校招生全国统考数学试卷浙江卷解答
一．BCDBA CDCDA
二．11．?10；12．24；13．2；14．480；15．?1；16．63；17．2
18．解：⑴由题5a3?a1??2a2?2?即50?10?2d???22?2d?，解得d??1或
22?d??1?d?4d?4。从而可得?或?；
a?11?na?4n?6?n?n⑵由题知an?11?n，且当n?11时an?0，当n?12时an?0。记Sn为?an?的前nnn21n?n2项和，则Sn?。故当n?11时?|ai|?Sn，当n?12时?|ai|??Sn?2S11。因
2i?1i?1??21n?n2?2?1?n?11??此?|ai|??。
2i?1???n?21n?220?2?n?12?n? 2 3 4 5 6 115113?31 P ?，19．解：⑴由题??2,3,4,5,6，P???2??43189366?642?313?12?252?11P???3???2?，P???4???2??，P???5???2?，
6?636?66?6186?691?11P???6???。故?的分布列如右所示；
6?636? 1 2 3 ?⑵由题知的分布列如右表所示，故
abc P 5a2b3c?E????， a?b?ca?b?ca?b?c3a?b?ca?b?ca?b?c5a5?bc?5???5?，联立可得a?3c，?D???1????2????3??93a?b?c3a?b?c3a?b?c??????b?2c，故a:b:c?3:2:1。
20．解：⑴取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF?3FC，连OP,OF,FQ。
2221AD。因O,P分别为BD,BM的中点，所以OP41P?DM。是?BDM的中位线，所以OP//DM，且O又点M是AD中点，故OP//AD，
21P?FQ，所以OPQF，故PQ//OF。又PQ?平且OP?AD。从而OP//FQ，且O4因AQ?3QC，故QF//AD，且QF?面BCD，OF?平面BCD，所以PQ//平面BCD；
⑵作CG?BD于点G，作GH?BM于点H，连CH，则CH?BM，故?CHG 4 / 6
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为二面角的平面角。设?BDC??，在Rt?BCD中，CD?BDcos??22cos?，
CG?2sin2?，BG?22sin2?。在Rt?BDM中，HG?在Rt?CHG中，3?tanCHG?BG?DM22sin2?。 ?BM3CG3cos?0?，故?BDC???60。 HGsin?x2?y2?1； 21．解：⑴由题b?1，2a?4即a?2，故C1:4⑵设A?x1,y1?，B?x2,y2?，D?x0,y0?，由题知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
4k2?3则l1：y?kx?1。故点O到直线l1的距离d?，知|AB|?24?d?2。22k?1k?112又l2：y???x?ky?k?01224?kx?8kx?0，因此x?1即x?ky?k?0，由?2可得??2k?x?4y?4?8k8k2?1184k2?3x0?2，所以|PD|?，故S?ABD?|AB|?|PD|?。令
k?4k2?42k2?44k2?3?t，则S?ABD?32t32t1613??t2?1321133t210x?1。 2，当且仅当t?13即k??210时取2等号。所以所求直线l1的方程为y??222．解：⑴由题f??x??3x?6x?3a，故f??1??3a?3。又f?1??1，所以所求的
切线方程为y??3a?3?x?3a?4；
⑵f??x??3?x?1??3?a?1??0?x?2?，故①a?0时，f??x??0，f?x?在?0,2?单减，故|f?x?|max?max|f?0?|,|f?2?|?3?3a；②a?1时，f??x??0，f?x?在③0?a?1时，x1,2?1?0,2?单增，|f?x?|max?max?|f?0?|,|f?2?|??3a?1；
2??1?a，则f??x??3?x?x1??x?x2??0?x1?x2?2?，f?x?在?0,x1???x1,x2???x2,2??。从而|f?x?|max?max|f?0?|,|f?x1?|,|f?x2?|,|f?2?|。因f?x1??1?2?1?a?1?a，??f?x2??1?2?1?a?1?a，故|f?x2?|?1?2?1?a?1?a?f?x1?，因此
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令1?a?t，当0?a?|f?x?|max?max?f?0?,f?x1?,|f?2?|?。
32又f?x1??f?0??1?2t?3t??t?1?2?2t?1??0，故|f?x?|max2时，f?0??|f?2?|，32?a?1；当?f?x?13232时，f?0??f?2??|f?2?|，f?x1??f?2??2t?3t?1??t?1??2t?1?，故当
233?a?时f?x1??f?2??0，|f?x?|max?f?x1?；当?a?1时f?x1??f?2??0，344?3?3a?a?0???|f?x?|max?f?2??3a?1。综上所述，|f?x?|max??1?2?1?a?1?a?0?a?34?。
??a?34???3a?1 6 / 6
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令1?a?t，当0?a?|f?x?|max?max?f?0?,f?x1?,|f?2?|?。
32又f?x1??f?0??1?2t?3t??t?1?2?2t?1??0，故|f?x?|max2时，f?0??|f?2?|，32?a?1；当?f?x?13232时，f?0??f?2??|f?2?|，f?x1??f?2??2t?3t?1??t?1??2t?1?，故当
233?a?时f?x1??f?2??0，|f?x?|max?f?x1?；当?a?1时f?x1??f?2??0，344?3?3a?a?0???|f?x?|max?f?2??3a?1。综上所述，|f?x?|max??1?2?1?a?1?a?0?a?34?。
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